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Theorem isring 13136
Description: The predicate "is a (unital) ring". Definition of "ring with unit" in [Schechter] p. 187. (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isring.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isring.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
isring.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isring.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isring  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, B    x,  .+ , y, z   
x, R, y, z   
x,  .x. , y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem isring
Dummy variables  p  b  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
2 isring.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
31, 2eqtr4di 2228 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  G )
43eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  <->  G  e.  Mnd ) )
5 basfn 12514 . . . . . . 7  |-  Base  Fn  _V
6 vex 2740 . . . . . . 7  |-  r  e. 
_V
7 funfvex 5532 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  Base  /\  r  e.  dom  Base )  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
87funfni 5316 . . . . . . 7  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  r  e.  _V )  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
95, 6, 8mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
109a1i 9 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
11 fveq2 5515 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
12 isring.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
1311, 12eqtr4di 2228 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
14 plusgslid 12565 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
1514slotex 12483 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  _V  ->  ( +g  `  r )  e. 
_V )
1615elv 2741 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  r )  e.  _V
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  e.  _V )
18 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  r  =  R )
1918fveq2d 5519 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  ( +g  `  R ) )
20 isring.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2119, 20eqtr4di 2228 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  .+  )
22 mulrslid 12584 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
2322slotex 12483 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  ( .r `  r )  e. 
_V )
2423elv 2741 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  r )  e. 
_V
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  e. 
_V )
26 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  r  =  R )
2726fveq2d 5519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
28 isring.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2927, 28eqtr4di 2228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
30 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  b  =  B )
31 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  t  =  .x.  )
32 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  x  =  x )
33 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  p  =  .+  )
3433oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
3531, 32, 34oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
3631oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
3731oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
3833, 36, 37oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
3935, 38eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
4033oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
41 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  z  =  z )
4231, 40, 41oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
4331oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
4433, 37, 43oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
4542, 44eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
4639, 45anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4730, 46raleqbidv 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4830, 47raleqbidv 2684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4930, 48raleqbidv 2684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
5025, 29, 49sbcied2 3000 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
5117, 21, 50sbcied2 3000 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
5210, 13, 51sbcied2 3000 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
534, 52anbi12d 473 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) )  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
54 df-ring 13134 . . 3  |-  Ring  =  { r  e.  Grp  |  ( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
5553, 54elrab2 2896 . 2  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
56 3anass 982 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
5755, 56bitr4i 187 1  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   [.wsbc 2962    Fn wfn 5211   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   .rcmulr 12531   Mndcmnd 12771   Grpcgrp 12831  mulGrpcmgp 13083   Ringcrg 13132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-ring 13134
This theorem is referenced by:  ringgrp  13137  ringmgp  13138  ringdilem  13148  ringpropd  13170  isringd  13173  ringsrg  13177  ring1  13189
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