Theorem isring 14278

Description: The predicate "is a (unital) ring". Definition of "ring with unit" in [Schechter] p. 187. (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isring.b	|- B = ( Base ` R )
isring.g	|- G = (mulGrp ` R )
isring.p	|- .+ = ( +g ` R )
isring.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isring	|- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, .+ , y, z   x, R, y, z   x, .x. , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem isring

Dummy variables p b r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
2		isring.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	1, 2	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = G )
4	3	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> G e. Mnd ) )
5		basfn 13389	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
6		vex 2824	. . . . . . 7 |- r e. _V
7		funfvex 5707	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
8	7	funfni 5478	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
9	5, 6, 8	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
11		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
12		isring.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
13	11, 12	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
14		plusgslid 13443	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
15	14	slotex 13357	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( +g ` r ) e. _V )
16	15	elv 2825	. . . . . . 7 |- ( +g ` r ) e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) e. _V )
18		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> r = R )
19	18	fveq2d 5694	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
20		isring.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
21	19, 20	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = .+ )
22		mulrslid 13463	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
23	22	slotex 13357	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) e. _V )
24	23	elv 2825	. . . . . . . 8 |- ( .r ` r ) e. _V
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) e. _V )
26		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> r = R )
27	26	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
28		isring.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
29	27, 28	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = .x. )
30		simpllr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> b = B )
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> t = .x. )
32		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> x = x )
33		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> p = .+ )
34	33	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
35	31, 32, 34	oveq123d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
36	31	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
37	31	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
38	33, 36, 37	oveq123d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
39	35, 38	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
40	33	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
41		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> z = z )
42	31, 40, 41	oveq123d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
43	31	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
44	33, 37, 43	oveq123d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
45	42, 44	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
46	39, 45	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
47	30, 46	raleqbidv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
48	30, 47	raleqbidv 2765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
49	30, 48	raleqbidv 2765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
50	25, 29, 49	sbcied2 3089	. . . . . 6 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
51	17, 21, 50	sbcied2 3089	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
52	10, 13, 51	sbcied2 3089	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
53	4, 52	anbi12d 477	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
54		df-ring 14276	. . 3 |- Ring = { r e. Grp | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
55	53, 54	elrab2 2985	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
56		3anass 1013	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) <-> ( R e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
57	55, 56	bitr4i 187	1 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   Mndcmnd 13706   Grpcgrp 13782  mulGrpcmgp 14194   Ringcrg 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-ring 14276

This theorem is referenced by:  ringgrp  14279  ringmgp  14280  ringdilem  14290  ringrng  14314  ringpropd  14316  isringd  14319  ringsrg  14325  ring1  14337