Theorem rnglidlmcl 14628

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
rnglidlmcl.b	|- B = ( Base ` R )
rnglidlmcl.t	|- .x. = ( .r ` R )
rnglidlmcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	|- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables x a b j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14627	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
6		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x .x. a ) = ( X .x. a ) )
7	6	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) )
8	7	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
9	8	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
10		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = Y -> ( X .x. a ) = ( X .x. Y ) )
11	10	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = Y -> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) )
12	11	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = Y -> ( ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
13	12	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = Y -> ( A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
14	9, 13	rspc2v 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
16		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = .0. -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) )
17	16	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = .0. -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
18	17	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .0. e. I -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
21		rnggrp 14082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
22	21	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> R e. Grp )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Grp )
24		simpll1 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Rng )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> X e. B )
26		simpll2 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> I C_ B )
27		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. I )
28	26, 27	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. B )
29	2, 4	rngcl 14088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) = ( X .x. Y ) )
32	31	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I <-> ( X .x. Y ) e. I ) )
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
40	39	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( .0. e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
42	41	3exp 1229	. . . 4 |- ( R e. Rng -> ( I C_ B -> ( E. j j e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) ) ) )
43	42	3impd 1248	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Rng -> ( I e. U -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
45	44	3imp1 1247	1 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713  Rngcrng 14076  LIdealclidl 14615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-rng 14077  df-lssm 14501  df-sra 14583  df-rgmod 14584  df-lidl 14617

This theorem is referenced by:  dflidl2rng  14629  rnglidlmmgm  14644  2idlcpblrng  14671