Theorem rnglidlmcl 14459

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
rnglidlmcl.b	|- B = ( Base ` R )
rnglidlmcl.t	|- .x. = ( .r ` R )
rnglidlmcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	|- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables x a b j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14458	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
6		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x .x. a ) = ( X .x. a ) )
7	6	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
9	8	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
10		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = Y -> ( X .x. a ) = ( X .x. Y ) )
11	10	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = Y -> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) )
12	11	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = Y -> ( ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
13	12	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = Y -> ( A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
14	9, 13	rspc2v 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
16		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = .0. -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) )
17	16	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = .0. -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
18	17	rspcv 2903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .0. e. I -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
21		rnggrp 13916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
22	21	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> R e. Grp )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Grp )
24		simpll1 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Rng )
25		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> X e. B )
26		simpll2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> I C_ B )
27		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. I )
28	26, 27	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. B )
29	2, 4	rngcl 13922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) = ( X .x. Y ) )
32	31	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I <-> ( X .x. Y ) e. I ) )
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
40	39	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( .0. e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
42	41	3exp 1226	. . . 4 |- ( R e. Rng -> ( I C_ B -> ( E. j j e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) ) ) )
43	42	3impd 1245	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Rng -> ( I e. U -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
45	44	3imp1 1244	1 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   .rcmulr 13126   0gc0g 13304   Grpcgrp 13548  Rngcrng 13910  LIdealclidl 14446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-ip 13143  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-rng 13911  df-lssm 14332  df-sra 14414  df-rgmod 14415  df-lidl 14448

This theorem is referenced by:  dflidl2rng  14460  rnglidlmmgm  14475  2idlcpblrng  14502