Theorem rnglidlmcl 14036

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
rnglidlmcl.b	|- B = ( Base ` R )
rnglidlmcl.t	|- .x. = ( .r ` R )
rnglidlmcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	|- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables x a b j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14035	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
6		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x .x. a ) = ( X .x. a ) )
7	6	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) )
8	7	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
9	8	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
10		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = Y -> ( X .x. a ) = ( X .x. Y ) )
11	10	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = Y -> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) )
12	11	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = Y -> ( ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
13	12	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = Y -> ( A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
14	9, 13	rspc2v 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
16		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = .0. -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) )
17	16	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = .0. -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
18	17	rspcv 2864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .0. e. I -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
21		rnggrp 13494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
22	21	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> R e. Grp )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Grp )
24		simpll1 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Rng )
25		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> X e. B )
26		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> I C_ B )
27		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. I )
28	26, 27	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. B )
29	2, 4	rngcl 13500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) = ( X .x. Y ) )
32	31	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I <-> ( X .x. Y ) e. I ) )
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
40	39	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( .0. e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
42	41	3exp 1204	. . . 4 |- ( R e. Rng -> ( I C_ B -> ( E. j j e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) ) ) )
43	42	3impd 1223	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Rng -> ( I e. U -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
45	44	3imp1 1222	1 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132  Rngcrng 13488  LIdealclidl 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-lssm 13909  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025

This theorem is referenced by:  dflidl2rng  14037  rnglidlmmgm  14052  2idlcpblrng  14079