Theorem rnglidlmcl 14493

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
rnglidlmcl.b	|- B = ( Base ` R )
rnglidlmcl.t	|- .x. = ( .r ` R )
rnglidlmcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	|- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables x a b j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14492	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
6		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x .x. a ) = ( X .x. a ) )
7	6	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
9	8	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
10		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = Y -> ( X .x. a ) = ( X .x. Y ) )
11	10	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = Y -> ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) )
12	11	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = Y -> ( ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
13	12	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = Y -> ( A. b e. I ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
14	9, 13	rspc2v 2923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I ) )
16		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = .0. -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) = ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) )
17	16	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = .0. -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
18	17	rspcv 2906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .0. e. I -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I ) )
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
21		rnggrp 13950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
22	21	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> R e. Grp )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Grp )
24		simpll1 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> R e. Rng )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> X e. B )
26		simpll2 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> I C_ B )
27		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. I )
28	26, 27	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> Y e. B )
29	2, 4	rngcl 13956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) = ( X .x. Y ) )
32	31	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I <-> ( X .x. Y ) e. I ) )
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) .0. ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. b e. I ( ( X .x. Y ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) /\ .0. e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) )
40	39	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( .0. e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ I C_ B /\ E. j j e. I ) -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
42	41	3exp 1228	. . . 4 |- ( R e. Rng -> ( I C_ B -> ( E. j j e. I -> ( A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) ) ) )
43	42	3impd 1247	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) ( +g ` R ) b ) e. I ) -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Rng -> ( I e. U -> ( .0. e. I -> ( ( X e. B /\ Y e. I ) -> ( X .x. Y ) e. I ) ) ) )
45	44	3imp1 1246	1 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ .0. e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. I ) ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   0gc0g 13338   Grpcgrp 13582  Rngcrng 13944  LIdealclidl 14480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-rng 13945  df-lssm 14366  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-lidl 14482

This theorem is referenced by:  dflidl2rng  14494  rnglidlmmgm  14509  2idlcpblrng  14536