Theorem mulcn2 11838

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulcn2	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   v, u, y, z, A   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 9889	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) e. RR+ )
2	1	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
3		abscl 11577	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
4	3	3ad2ant3 1044	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` C ) e. RR )
5		abscl 11577	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
6	5	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7		1re 8156	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
8		readdcl 8136	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
10		absge0 11586	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
11		0lt1 8284	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
12		addgegt0 8607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` B ) /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
13	12	an4s 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
14	7, 11, 13	mpanr12 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
15	5, 10, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
16	15	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
17	9, 16	elrpd 9901	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
18	2, 17	rpdivcld 9922	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
19	18	rpred 9904	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
20	4, 19	readdcld 8187	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
21		absge0 11586	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
22	21	3ad2ant3 1044	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
23		elrp 9863	. . . . . 6 |- ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ <-> ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
24		addgegt0 8607	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` C ) /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
25	24	an4s 590	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
26	23, 25	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1270	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
28	20, 27	elrpd 9901	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
29	2, 28	rpdivcld 9922	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
30		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
31		simpl2 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> B e. CC )
32	30, 31	subcld 8468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - B ) e. CC )
33	32	abscld 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - B ) ) e. RR )
34	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9904	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
36	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
37	33, 35, 36	ltmuldivd 9952	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
38		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
39		simpl3 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
40	38, 39	abs2difd 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
41	38	abscld 11707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` v ) e. RR )
42	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	41, 42	resubcld 8538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR )
44	38, 39	subcld 8468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - C ) e. CC )
45	44	abscld 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
46	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
47		lelttr 8246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR /\ ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
49	40, 48	mpand 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 8701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) <-> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
51	49, 50	sylibd 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
52	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
53		ltle 8245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
54	41, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
56	32	absge0d 11710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) )
57		lemul2a 9017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) /\ ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
60	33, 41	remulcld 8188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR )
61	33, 52	remulcld 8188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
62		lelttr 8246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
64	63	expd 258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
65	55, 59, 64	3syld 57	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
67	37, 66	sylbird 170	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
69	32, 38	absmuld 11720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) )
70	30, 31, 38	subdird 8572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( u - B ) x. v ) = ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) )
71	70	fveq2d 5633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
72	69, 71	eqtr3d 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
73	72	breq1d 4093	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
74	68, 73	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
75	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 9953	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
77	31, 38, 39	subdid 8571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. ( v - C ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) )
78	77	fveq2d 5633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) )
79	31, 44	absmuld 11720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
80	78, 79	eqtr3d 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
81	31	abscld 11707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
82	81	lep1d 9089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) )
83	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
84		abscl 11577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
85		absge0 11586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
86	84, 85	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) )
87		lemul1a 9016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) /\ ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
89	86, 88	syl3an3 1306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( v - C ) e. CC ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
91	82, 90	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
92	80, 91	eqbrtrd 4105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
93	31, 38	mulcld 8178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
94	31, 39	mulcld 8178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
95	93, 94	subcld 8468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) e. CC )
96	95	abscld 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR )
97	83, 45	remulcld 8188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR )
98		lelttr 8246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
100	92, 99	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
101	76, 100	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
102	101	adantld 278	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
103	74, 102	jcad 307	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
104		mulcl 8137	. . . . . 6 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
105	104	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
106		simpl1 1024	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR+ )
107	106	rpred 9904	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR )
108		abs3lem 11637	. . . . 5 |- ( ( ( ( u x. v ) e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) /\ ( ( B x. v ) e. CC /\ A e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1272	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
110	103, 109	syld 45	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
111	110	ralrimivva 2612	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
112		breq2 4087	. . . . . 6 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < y <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
113	112	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) ) )
114	113	imbi1d 231	. . . 4 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
115	114	2ralbidv 2554	. . 3 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
116		breq2 4087	. . . . . 6 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < z <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
117	116	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
118	117	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
119	118	2ralbidv 2554	. . 3 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
120	115, 119	rspc2ev 2922	. 2 |- ( ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1271	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   / cdiv 8830   2c2 9172   RR+crp 9861   abscabs 11523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525

This theorem is referenced by:  climmul  11853  mulcncntop  15253  mpomulcn  15255  mulc1cncf  15278  mulcncf  15297