ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcn2 Unicode version

Theorem mulcn2 10665
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    v, u, y, z, A    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 9130 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
213ad2ant1 964 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3 abscl 10449 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
433ad2ant3 966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
5 abscl 10449 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
653ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
7 1re 7466 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8 readdcl 7447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
10 absge0 10458 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
11 0lt1 7589 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
12 addgegt0 7906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_  ( abs `  B )  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
1312an4s 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
147, 11, 13mpanr12 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
155, 10, 14syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
16153ad2ant2 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
179, 16elrpd 9140 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR+ )
182, 17rpdivcld 9160 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )
1918rpred 9142 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR )
204, 19readdcld 7496 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )
21 absge0 10458 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
22213ad2ant3 966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
23 elrp 9105 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  <->  ( ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
24 addgegt0 7906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( abs `  C
)  /\  0  <  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2524an4s 555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )
2623, 25sylan2b 281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
274, 22, 18, 26syl21anc 1173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2820, 27elrpd 9140 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
292, 28rpdivcld 9160 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
30 simprl 498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
31 simpl2 947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
3230, 31subcld 7772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  B )  e.  CC )
3332abscld 10579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  B
) )  e.  RR )
342adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3534rpred 9142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3628adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
3733, 35, 36ltmuldivd 9190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
38 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
39 simpl3 948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
4038, 39abs2difd 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <_  ( abs `  ( v  -  C
) ) )
4138abscld 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  v )  e.  RR )
424adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
4341, 42resubcld 7838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  e.  RR )
4438, 39subcld 7772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  C )  e.  CC )
4544abscld 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR )
4619adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
47 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4940, 48mpand 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
5041, 42, 46ltsubadd2d 7996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  <->  ( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5149, 50sylibd 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5220adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
53 ltle 7551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  < 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5551, 54syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <_  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5632absge0d 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( u  -  B ) ) )
57 lemul2a 8292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  v )  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5857ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  -> 
( ( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
6033, 41remulcld 7497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  e.  RR )
6133, 52remulcld 7497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
62 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6360, 61, 35, 62syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6463expd 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  <  ( A  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) ) )
6555, 59, 643syld 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6665com23 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6737, 66sylbird 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  ( abs `  v ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
6867impd 251 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6932, 38absmuld 10592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) ) )
7030, 31, 38subdird 7872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
u  -  B )  x.  v )  =  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )
7170fveq2d 5293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7269, 71eqtr3d 2122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7372breq1d 3847 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
7468, 73sylibd 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
7517adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
7645, 35, 75ltmuldiv2d 9191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  <->  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
7731, 38, 39subdid 7871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  ( v  -  C
) )  =  ( ( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )
7877fveq2d 5293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
7931, 44absmuld 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8078, 79eqtr3d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8131abscld 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8281lep1d 8364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  <_  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
839adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR )
84 abscl 10449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  ( abs `  ( v  -  C ) )  e.  RR )
85 absge0 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) )
8684, 85jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
87 lemul1a 8291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  /\  ( abs `  B )  <_  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8887ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
8986, 88syl3an3 1209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
v  -  C )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
9081, 83, 44, 89syl3anc 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  B
)  +  1 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  ( v  -  C ) ) )  <_  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) ) )
9182, 90mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9280, 91eqbrtrd 3857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9331, 38mulcld 7487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
9431, 39mulcld 7487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
9593, 94subcld 7772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
9695abscld 10579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  e.  RR )
9783, 45remulcld 7497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  e.  RR )
98 lelttr 7552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2 )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
9996, 97, 35, 98syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10092, 99mpand 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  -> 
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10176, 100sylbird 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <  ( A  /  2 ) ) )
102101adantld 272 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
10374, 102jcad 301 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
104 mulcl 7448 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
105104adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  x.  v )  e.  CC )
106 simpl1 946 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR+ )
107106rpred 9142 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR )
108 abs3lem 10509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  x.  v )  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  /\  ( ( B  x.  v )  e.  CC  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
110103, 109syld 44 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) )
111110ralrimivva 2455 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
112 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  y  <->  ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
113112anbi1d 453 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z ) ) )
114113imbi1d 229 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <-> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
1151142ralbidv 2402 . . 3  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
116 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
117116anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
118117imbi1d 229 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
1191182ralbidv 2402 . . 3  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
120115, 119rspc2ev 2735 . 2  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR+  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
12129, 18, 111, 120syl3anc 1174 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632    / cdiv 8113   2c2 8444   RR+crp 9103   abscabs 10395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397
This theorem is referenced by:  climmul  10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator