Theorem mulcn2 10970

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulcn2	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   v, u, y, z, A   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 9367	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) e. RR+ )
2	1	3ad2ant1 985	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
3		abscl 10712	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
4	3	3ad2ant3 987	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` C ) e. RR )
5		abscl 10712	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
6	5	3ad2ant2 986	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7		1re 7686	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
8		readdcl 7667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 407	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
10		absge0 10721	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
11		0lt1 7809	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
12		addgegt0 8127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` B ) /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
13	12	an4s 560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
14	7, 11, 13	mpanr12 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
15	5, 10, 14	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
16	15	3ad2ant2 986	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
17	9, 16	elrpd 9377	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
18	2, 17	rpdivcld 9397	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
19	18	rpred 9379	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
20	4, 19	readdcld 7716	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
21		absge0 10721	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
22	21	3ad2ant3 987	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
23		elrp 9342	. . . . . 6 |- ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ <-> ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
24		addgegt0 8127	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` C ) /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
25	24	an4s 560	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
26	23, 25	sylan2b 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1198	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
28	20, 27	elrpd 9377	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
29	2, 28	rpdivcld 9397	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
30		simprl 503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
31		simpl2 968	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> B e. CC )
32	30, 31	subcld 7993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - B ) e. CC )
33	32	abscld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - B ) ) e. RR )
34	2	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
36	28	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
37	33, 35, 36	ltmuldivd 9427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
38		simprr 504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
39		simpl3 969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
40	38, 39	abs2difd 10858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
41	38	abscld 10842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` v ) e. RR )
42	4	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	41, 42	resubcld 8059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR )
44	38, 39	subcld 7993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - C ) e. CC )
45	44	abscld 10842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
46	19	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
47		lelttr 7772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR /\ ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
49	40, 48	mpand 423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 8220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) <-> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
51	49, 50	sylibd 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
52	20	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
53		ltle 7771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
54	41, 52, 53	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
56	32	absge0d 10845	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) )
57		lemul2a 8524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) /\ ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
58	57	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
60	33, 41	remulcld 7717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR )
61	33, 52	remulcld 7717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
62		lelttr 7772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
64	63	expd 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
65	55, 59, 64	3syld 57	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
67	37, 66	sylbird 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
68	67	impd 252	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
69	32, 38	absmuld 10855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) )
70	30, 31, 38	subdird 8093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( u - B ) x. v ) = ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) )
71	70	fveq2d 5379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
72	69, 71	eqtr3d 2149	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
73	72	breq1d 3905	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
74	68, 73	sylibd 148	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
75	17	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 9428	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
77	31, 38, 39	subdid 8092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. ( v - C ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) )
78	77	fveq2d 5379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) )
79	31, 44	absmuld 10855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
80	78, 79	eqtr3d 2149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
81	31	abscld 10842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
82	81	lep1d 8596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) )
83	9	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
84		abscl 10712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
85		absge0 10721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
86	84, 85	jca 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) )
87		lemul1a 8523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) /\ ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
88	87	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
89	86, 88	syl3an3 1234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( v - C ) e. CC ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
91	82, 90	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
92	80, 91	eqbrtrd 3915	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
93	31, 38	mulcld 7707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
94	31, 39	mulcld 7707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
95	93, 94	subcld 7993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) e. CC )
96	95	abscld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR )
97	83, 45	remulcld 7717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR )
98		lelttr 7772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
100	92, 99	mpand 423	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
101	76, 100	sylbird 169	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
102	101	adantld 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
103	74, 102	jcad 303	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
104		mulcl 7668	. . . . . 6 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
105	104	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
106		simpl1 967	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR+ )
107	106	rpred 9379	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR )
108		abs3lem 10772	. . . . 5 |- ( ( ( ( u x. v ) e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) /\ ( ( B x. v ) e. CC /\ A e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1200	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
110	103, 109	syld 45	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
111	110	ralrimivva 2488	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
112		breq2 3899	. . . . . 6 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < y <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
113	112	anbi1d 458	. . . . 5 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) ) )
114	113	imbi1d 230	. . . 4 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
115	114	2ralbidv 2433	. . 3 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
116		breq2 3899	. . . . . 6 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < z <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
117	116	anbi2d 457	. . . . 5 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
118	117	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
119	118	2ralbidv 2433	. . 3 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
120	115, 119	rspc2ev 2774	. 2 |- ( ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1199	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7542   RRcr 7543   0cc0 7544   1c1 7545   + caddc 7547   x. cmul 7549   < clt 7721   <_ cle 7722   - cmin 7853   / cdiv 8342   2c2 8678   RR+crp 9340   abscabs 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660  ax-arch 7661  ax-caucvg 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-rp 9341  df-seqfrec 10109  df-exp 10183  df-cj 10504  df-re 10505  df-im 10506  df-rsqrt 10659  df-abs 10660

This theorem is referenced by:  climmul  10985  mulcncntop  12537  mulc1cncf  12559  mulcncf  12574