Theorem mulcn2 11477

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulcn2	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   v, u, y, z, A   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 9756	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) e. RR+ )
2	1	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
3		abscl 11216	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
4	3	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` C ) e. RR )
5		abscl 11216	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
6	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7		1re 8025	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
8		readdcl 8005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
10		absge0 11225	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
11		0lt1 8153	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
12		addgegt0 8476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` B ) /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
13	12	an4s 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
14	7, 11, 13	mpanr12 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
15	5, 10, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
16	15	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
17	9, 16	elrpd 9768	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
18	2, 17	rpdivcld 9789	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
19	18	rpred 9771	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
20	4, 19	readdcld 8056	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
21		absge0 11225	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
22	21	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
23		elrp 9730	. . . . . 6 |- ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ <-> ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
24		addgegt0 8476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` C ) /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
25	24	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
26	23, 25	sylan2b 287	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1248	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
28	20, 27	elrpd 9768	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
29	2, 28	rpdivcld 9789	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
30		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
31		simpl2 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> B e. CC )
32	30, 31	subcld 8337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - B ) e. CC )
33	32	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - B ) ) e. RR )
34	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
36	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
37	33, 35, 36	ltmuldivd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
38		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
39		simpl3 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
40	38, 39	abs2difd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
41	38	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` v ) e. RR )
42	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	41, 42	resubcld 8407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR )
44	38, 39	subcld 8337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - C ) e. CC )
45	44	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
46	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
47		lelttr 8115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR /\ ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
49	40, 48	mpand 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 8570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) <-> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
51	49, 50	sylibd 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
52	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
53		ltle 8114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
54	41, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
56	32	absge0d 11349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) )
57		lemul2a 8886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) /\ ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
60	33, 41	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR )
61	33, 52	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
62		lelttr 8115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
64	63	expd 258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
65	55, 59, 64	3syld 57	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
67	37, 66	sylbird 170	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
69	32, 38	absmuld 11359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) )
70	30, 31, 38	subdird 8441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( u - B ) x. v ) = ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) )
71	70	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
72	69, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
73	72	breq1d 4043	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
74	68, 73	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
75	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 9820	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
77	31, 38, 39	subdid 8440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. ( v - C ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) )
78	77	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) )
79	31, 44	absmuld 11359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
80	78, 79	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
81	31	abscld 11346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
82	81	lep1d 8958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) )
83	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
84		abscl 11216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
85		absge0 11225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
86	84, 85	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) )
87		lemul1a 8885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) /\ ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
89	86, 88	syl3an3 1284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( v - C ) e. CC ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
91	82, 90	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
92	80, 91	eqbrtrd 4055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
93	31, 38	mulcld 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
94	31, 39	mulcld 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
95	93, 94	subcld 8337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) e. CC )
96	95	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR )
97	83, 45	remulcld 8057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR )
98		lelttr 8115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
100	92, 99	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
101	76, 100	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
102	101	adantld 278	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
103	74, 102	jcad 307	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
104		mulcl 8006	. . . . . 6 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
105	104	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
106		simpl1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR+ )
107	106	rpred 9771	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR )
108		abs3lem 11276	. . . . 5 |- ( ( ( ( u x. v ) e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) /\ ( ( B x. v ) e. CC /\ A e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
110	103, 109	syld 45	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
111	110	ralrimivva 2579	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
112		breq2 4037	. . . . . 6 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < y <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
113	112	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) ) )
114	113	imbi1d 231	. . . 4 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
115	114	2ralbidv 2521	. . 3 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
116		breq2 4037	. . . . . 6 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < z <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
117	116	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
118	117	imbi1d 231	. . . 4 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
119	118	2ralbidv 2521	. . 3 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
120	115, 119	rspc2ev 2883	. 2 |- ( ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1249	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   2c2 9041   RR+crp 9728   abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  climmul  11492  mulcncntop  14800  mpomulcn  14802  mulc1cncf  14825  mulcncf  14844