Theorem pythagtriplem18 12298

Description: Lemma for pythagtrip 12300. Wrap the previous M and N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   B, m, n   C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2188	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	pythagtriplem13 12293	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
3		eqid 2188	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
4	3	pythagtriplem11 12291	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
5	3, 1	pythagtriplem15 12295	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
6	3, 1	pythagtriplem16 12296	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
7	3, 1	pythagtriplem17 12297	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 5897	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( n ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
9	8	oveq2d 5906	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) <-> A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
11		oveq2 5898	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. n ) = ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
12	11	oveq2d 5906	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
13	12	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. n ) ) <-> B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
14	8	oveq2d 5906	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
15	14	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <-> C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
16	10, 13, 15	3anbi123d 1322	. . 3 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17		oveq1 5897	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
18	17	oveq1d 5905	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
19	18	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
20		oveq1 5897	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
21	20	oveq2d 5906	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
22	21	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) <-> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
23	17	oveq1d 5905	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2200	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
25	19, 22, 24	3anbi123d 1322	. . 3 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
26	16, 25	rspc2ev 2870	. 2 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1260	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2159   E.wrex 2468   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   1c1 7829   + caddc 7831   x. cmul 7833   - cmin 8145   / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   ^cexp 10536   sqrcsqrt 11022   || cdvds 11811   gcd cgcd 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-1o 6434  df-2o 6435  df-er 6552  df-en 6758  df-sup 7000  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-fl 10287  df-mod 10340  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-dvds 11812  df-gcd 11961  df-prm 12125

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12299