Theorem pythagtriplem18 12209

Description: Lemma for pythagtrip 12211. Wrap the previous M and N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   B, m, n   C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	pythagtriplem13 12204	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
3		eqid 2165	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
4	3	pythagtriplem11 12202	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
5	3, 1	pythagtriplem15 12206	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
6	3, 1	pythagtriplem16 12207	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
7	3, 1	pythagtriplem17 12208	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( n ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
9	8	oveq2d 5857	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) <-> A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
11		oveq2 5849	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. n ) = ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
12	11	oveq2d 5857	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
13	12	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. n ) ) <-> B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
14	8	oveq2d 5857	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
15	14	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <-> C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
16	10, 13, 15	3anbi123d 1302	. . 3 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
18	17	oveq1d 5856	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
19	18	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
20		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
21	20	oveq2d 5857	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
22	21	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) <-> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
23	17	oveq1d 5856	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2177	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
25	19, 22, 24	3anbi123d 1302	. . 3 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
26	16, 25	rspc2ev 2844	. 2 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1240	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2444   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   1c1 7750   + caddc 7752   x. cmul 7754   - cmin 8065   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   ^cexp 10450   sqrcsqrt 10934   || cdvds 11723   gcd cgcd 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12210