Theorem pythagtriplem18 12975

Description: Lemma for pythagtrip 12977. Wrap the previous M and N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   B, m, n   C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	pythagtriplem13 12970	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
3		eqid 2232	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
4	3	pythagtriplem11 12968	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN )
5	3, 1	pythagtriplem15 12972	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
6	3, 1	pythagtriplem16 12973	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
7	3, 1	pythagtriplem17 12974	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 6056	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( n ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
9	8	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) <-> A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
11		oveq2 6057	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. n ) = ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
12	11	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
13	12	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. n ) ) <-> B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
14	8	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
15	14	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <-> C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
16	10, 13, 15	3anbi123d 1349	. . 3 |- ( n = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17		oveq1 6056	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
18	17	oveq1d 6064	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
19	18	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
20		oveq1 6056	. . . . . 6 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) )
21	20	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) )
22	21	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) <-> B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) ) )
23	17	oveq1d 6064	. . . . 5 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2244	. . . 4 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) <-> C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) )
25	19, 22, 24	3anbi123d 1349	. . 3 |- ( m = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) <-> ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
26	16, 25	rspc2ev 2935	. 2 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) e. NN /\ ( A = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) x. ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ) ) /\ C = ( ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) - ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1286	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ B = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ C = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   ^cexp 10899   sqrcsqrt 11677   || cdvds 12469   gcd cgcd 12645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12976