Theorem 2irrexpq 15787

Description: There exist real numbers a and b which are not rational such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named non-rational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irr0 12816, 2logb9irr 15782 and sqrt2cxp2logb9e3 15786. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic.

For a theorem which is the same but proves that a and b are irrational (in the sense of being apart from any rational number), see 2irrexpqap 15789. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	|- E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ

Distinct variable group:   a, b

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2irr0 12816	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. ( RR \ QQ )
2		2logb9irr 15782	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		sqrt2cxp2logb9e3 15786	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
4		3z 9569	. . . 4 |- 3 e. ZZ
5		zq 9921	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- 3 e. QQ
7	3, 6	eqeltri 2304	. 2 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
8		oveq1 6035	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
9	8	eleq1d 2300	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
10		oveq2 6036	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
11	10	eleq1d 2300	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
12	9, 11	rspc2ev 2926	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. ( RR \ QQ ) /\ ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) -> E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ )
13	1, 2, 7, 12	mp3an 1374	1 |- E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   \ cdif 3198   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8091   2c2 9253   3c3 9254   9c9 9260   ZZcz 9540   QQcq 9914   sqrcsqrt 11636   ^c ccxp 15668   log_b clogb 15754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ioo 10188  df-ico 10190  df-icc 10191  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-e 12290  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468  df-relog 15669  df-rpcxp 15670  df-logb 15755

This theorem is referenced by: (None)