Theorem 2irrexpq 15650

Description: There exist real numbers a and b which are not rational such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named non-rational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irr0 12686, 2logb9irr 15645 and sqrt2cxp2logb9e3 15649. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic.

For a theorem which is the same but proves that a and b are irrational (in the sense of being apart from any rational number), see 2irrexpqap 15652. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	|- E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ

Distinct variable group:   a, b

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2irr0 12686	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. ( RR \ QQ )
2		2logb9irr 15645	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		sqrt2cxp2logb9e3 15649	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
4		3z 9475	. . . 4 |- 3 e. ZZ
5		zq 9821	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- 3 e. QQ
7	3, 6	eqeltri 2302	. 2 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
8		oveq1 6008	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
9	8	eleq1d 2298	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
10		oveq2 6009	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
11	10	eleq1d 2298	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
12	9, 11	rspc2ev 2922	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. ( RR \ QQ ) /\ ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) -> E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ )
13	1, 2, 7, 12	mp3an 1371	1 |- E. a e. ( RR \ QQ ) E. b e. ( RR \ QQ ) ( a ^c b ) e. QQ

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   \ cdif 3194   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RRcr 7998   2c2 9161   3c3 9162   9c9 9168   ZZcz 9446   QQcq 9814   sqrcsqrt 11507   ^c ccxp 15531   log_b clogb 15617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-pre-suploc 8120  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-of 6218  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-pm 6798  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-ioo 10088  df-ico 10090  df-icc 10091  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-fac 10948  df-bc 10970  df-ihash 10998  df-shft 11326  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-ef 12159  df-e 12160  df-dvds 12299  df-gcd 12475  df-prm 12630  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-ntr 14770  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927  df-cncf 15245  df-limced 15330  df-dvap 15331  df-relog 15532  df-rpcxp 15533  df-logb 15618

This theorem is referenced by: (None)