Theorem 4sqlem3 12528

Description: Lemma for 4sq 12548. Sufficient condition to be in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem3	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   A, n   C, n   D, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   B( x, y, z, w)   C( x, y, z, w)   D( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem3

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
2		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( c ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
4	3	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( c = C -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
5	4	eqeq2d 2205	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
6		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( d ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
7	6	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
8	7	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
9	8	eqeq2d 2205	. . . 4 |- ( d = D -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
10	5, 9	rspc2ev 2879	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) -> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
11	1, 10	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
12		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
13	12	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
15	14	eqeq2d 2205	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	2rexbidv 2519	. . . . 5 |- ( a = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
17		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( b ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
19	18	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
20	19	eqeq2d 2205	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
21	20	2rexbidv 2519	. . . . 5 |- ( b = B -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
22	16, 21	rspc2ev 2879	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
23	22	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
24		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
25	24	4sqlem2 12527	. . 3 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
26	23, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )
27	11, 26	sylan2 286	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473  (class class class)co 5918   + caddc 7875   2c2 9033   ZZcz 9317   ^cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  4sqlem4a  12529