Theorem 4sqlem3 12828

Description: Lemma for 4sq 12848. Sufficient condition to be in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem3	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   A, n   C, n   D, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   B( x, y, z, w)   C( x, y, z, w)   D( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem3

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
2		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( c ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
4	3	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( c = C -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
5	4	eqeq2d 2219	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
6		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( d ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
7	6	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
8	7	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
9	8	eqeq2d 2219	. . . 4 |- ( d = D -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
10	5, 9	rspc2ev 2899	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) -> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
11	1, 10	mp3an3 1339	. 2 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
12		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
13	12	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
15	14	eqeq2d 2219	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	2rexbidv 2533	. . . . 5 |- ( a = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
17		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( b ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
19	18	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
20	19	eqeq2d 2219	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
21	20	2rexbidv 2533	. . . . 5 |- ( b = B -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
22	16, 21	rspc2ev 2899	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
23	22	3expa 1206	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
24		4sq.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
25	24	4sqlem2 12827	. . 3 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
26	23, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )
27	11, 26	sylan2 286	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   E.wrex 2487  (class class class)co 5967   + caddc 7963   2c2 9122   ZZcz 9407   ^cexp 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721

This theorem is referenced by:  4sqlem4a  12829