Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2irrexpqap Unicode version

Theorem 2irrexpqap 13139
 Description: There exist real numbers and which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers and logb , see sqrt2irrap 11930, 2logb9irrap 13138 and sqrt2cxp2logb9e3 13136. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
2irrexpqap # #
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem 2irrexpqap
StepHypRef Expression
1 sqrt2re 11913 . 2
2 2logb9irr 13132 . . 3 logb
3 eldifi 3205 . . 3 logb logb
42, 3ax-mp 5 . 2 logb
5 sqrt2irrap 11930 . . . 4 #
65rgen 2490 . . 3 #
7 2logb9irrap 13138 . . . 4 logb #
87rgen 2490 . . 3 logb #
9 sqrt2cxp2logb9e3 13136 . . . 4 logb
10 3z 9136 . . . . 5
11 zq 9474 . . . . 5
1210, 11ax-mp 5 . . . 4
139, 12eqeltri 2214 . . 3 logb
146, 8, 133pm3.2i 1160 . 2 # logb # logb
15 breq1 3942 . . . . 5 # #
1615ralbidv 2440 . . . 4 # #
17 biidd 171 . . . 4 # #
18 oveq1 5793 . . . . 5
1918eleq1d 2210 . . . 4
2016, 17, 193anbi123d 1291 . . 3 # # # #
21 biidd 171 . . . 4 logb # #
22 breq1 3942 . . . . 5 logb # logb #
2322ralbidv 2440 . . . 4 logb # logb #
24 oveq2 5794 . . . . 5 logb logb
2524eleq1d 2210 . . . 4 logb logb
2621, 23, 253anbi123d 1291 . . 3 logb # # # logb # logb
2720, 26rspc2ev 2810 . 2 logb # logb # logb # #
281, 4, 14, 27mp3an 1316 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2418  wrex 2419   cdif 3075   class class class wbr 3939  cfv 5135  (class class class)co 5786  cr 7672   # cap 8396  c2 8824  c3 8825  c9 8831  cz 9107  cq 9467  csqrt 10829   ccxp 13022   logb clogb 13104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-2o 6326  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-5 8835  df-6 8836  df-7 8837  df-8 8838  df-9 8839  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-fl 10103  df-mod 10156  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-dvds 11566  df-gcd 11708  df-prm 11861  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023  df-rpcxp 13024  df-logb 13105 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator