Theorem 2irrexpqap 14481

Description: There exist real numbers a and b which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irrap 12182, 2logb9irrap 14480 and sqrt2cxp2logb9e3 14478. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	|- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Distinct variable groups:   a, b, p   q, a, b

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12165	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
2		2logb9irr 14474	. . 3 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		eldifi 3259	. . 3 |- ( ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
5		sqrt2irrap 12182	. . . 4 |- ( p e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # p )
6	5	rgen 2530	. . 3 |- A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p
7		2logb9irrap 14480	. . . 4 |- ( q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # q )
8	7	rgen 2530	. . 3 |- A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q
9		sqrt2cxp2logb9e3 14478	. . . 4 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
10		3z 9284	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
11		zq 9628	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- 3 e. QQ
13	9, 12	eqeltri 2250	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1175	. 2 |- ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ )
15		breq1 4008	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a # p <-> ( sqr ` 2 ) # p ) )
16	15	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. p e. QQ a # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
17		biidd 172	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ b # q ) )
18		oveq1 5884	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
19	18	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
20	16, 17, 19	3anbi123d 1312	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) ) )
21		biidd 172	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
22		breq1 4008	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( b # q <-> ( 2 logb 9 ) # q ) )
23	22	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q ) )
24		oveq2 5885	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
25	24	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
26	21, 23, 25	3anbi123d 1312	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) )
27	20, 26	rspc2ev 2858	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR /\ ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) -> E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) )
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1337	1 |- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Syntax hints:   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   \ cdif 3128   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   # cap 8540   2c2 8972   3c3 8973   9c9 8979   ZZcz 9255   QQcq 9621   sqrcsqrt 11007   ^c ccxp 14363   log_b clogb 14446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211  df-relog 14364  df-rpcxp 14365  df-logb 14447

This theorem is referenced by: (None)