Theorem 2irrexpqap 16175

Description: There exist real numbers a and b which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irrap 12979, 2logb9irrap 16174 and sqrt2cxp2logb9e3 16172. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	|- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Distinct variable groups:   a, b, p   q, a, b

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12961	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
2		2logb9irr 16168	. . 3 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		eldifi 3351	. . 3 |- ( ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
5		sqrt2irrap 12979	. . . 4 |- ( p e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # p )
6	5	rgen 2603	. . 3 |- A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p
7		2logb9irrap 16174	. . . 4 |- ( q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # q )
8	7	rgen 2603	. . 3 |- A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q
9		sqrt2cxp2logb9e3 16172	. . . 4 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
10		3z 9678	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
11		zq 10036	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- 3 e. QQ
13	9, 12	eqeltri 2311	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1206	. 2 |- ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ )
15		breq1 4133	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a # p <-> ( sqr ` 2 ) # p ) )
16	15	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. p e. QQ a # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
17		biidd 172	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ b # q ) )
18		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
19	18	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
20	16, 17, 19	3anbi123d 1353	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) ) )
21		biidd 172	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
22		breq1 4133	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( b # q <-> ( 2 logb 9 ) # q ) )
23	22	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q ) )
24		oveq2 6093	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
25	24	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
26	21, 23, 25	3anbi123d 1353	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) )
27	20, 26	rspc2ev 2945	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR /\ ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) -> E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) )
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1378	1 |- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   \ cdif 3217   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   # cap 8912   2c2 9358   3c3 9359   9c9 9365   ZZcz 9649   QQcq 10029   sqrcsqrt 11778   ^c ccxp 16050   log_b clogb 16140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-shft 11596  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-ef 12434  df-e 12435  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-prm 12905  df-rest 13648  df-topgen 13667  df-psmet 14964  df-xmet 14965  df-met 14966  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-top 15190  df-topon 15203  df-bases 15235  df-ntr 15288  df-cn 15380  df-cnp 15381  df-tx 15445  df-cncf 15763  df-limced 15848  df-dvap 15849  df-relog 16051  df-rpcxp 16052  df-logb 16141

This theorem is used by: (None)