Theorem 2irrexpqap 15110

Description: There exist real numbers a and b which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irrap 12318, 2logb9irrap 15109 and sqrt2cxp2logb9e3 15107. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	|- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Distinct variable groups:   a, b, p   q, a, b

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12301	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
2		2logb9irr 15103	. . 3 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		eldifi 3281	. . 3 |- ( ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
5		sqrt2irrap 12318	. . . 4 |- ( p e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # p )
6	5	rgen 2547	. . 3 |- A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p
7		2logb9irrap 15109	. . . 4 |- ( q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # q )
8	7	rgen 2547	. . 3 |- A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q
9		sqrt2cxp2logb9e3 15107	. . . 4 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
10		3z 9346	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
11		zq 9691	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- 3 e. QQ
13	9, 12	eqeltri 2266	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1177	. 2 |- ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ )
15		breq1 4032	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a # p <-> ( sqr ` 2 ) # p ) )
16	15	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. p e. QQ a # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
17		biidd 172	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ b # q ) )
18		oveq1 5925	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
19	18	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
20	16, 17, 19	3anbi123d 1323	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) ) )
21		biidd 172	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
22		breq1 4032	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( b # q <-> ( 2 logb 9 ) # q ) )
23	22	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q ) )
24		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
25	24	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
26	21, 23, 25	3anbi123d 1323	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) )
27	20, 26	rspc2ev 2879	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR /\ ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) -> E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) )
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1348	1 |- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   \ cdif 3150   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   # cap 8600   2c2 9033   3c3 9034   9c9 9040   ZZcz 9317   QQcq 9684   sqrcsqrt 11140   ^c ccxp 14992   log_b clogb 15075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-e 11792  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811  df-relog 14993  df-rpcxp 14994  df-logb 15076

This theorem is referenced by: (None)