Theorem 2irrexpqap 15668

Description: There exist real numbers a and b which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that ( a ^ b ) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers ( sqr ` 2 ) and ( 2 log_b 9 ), see sqrt2irrap 12718, 2logb9irrap 15667 and sqrt2cxp2logb9e3 15665. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	|- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Distinct variable groups:   a, b, p   q, a, b

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12701	. 2 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
2		2logb9irr 15661	. . 3 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )
3		eldifi 3326	. . 3 |- ( ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) -> ( 2 logb 9 ) e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 logb 9 ) e. RR
5		sqrt2irrap 12718	. . . 4 |- ( p e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # p )
6	5	rgen 2583	. . 3 |- A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p
7		2logb9irrap 15667	. . . 4 |- ( q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # q )
8	7	rgen 2583	. . 3 |- A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q
9		sqrt2cxp2logb9e3 15665	. . . 4 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) = 3
10		3z 9486	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
11		zq 9833	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- 3 e. QQ
13	9, 12	eqeltri 2302	. . 3 |- ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1199	. 2 |- ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ )
15		breq1 4086	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a # p <-> ( sqr ` 2 ) # p ) )
16	15	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. p e. QQ a # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
17		biidd 172	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ b # q ) )
18		oveq1 6014	. . . . 5 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( a ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) )
19	18	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( a ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) )
20	16, 17, 19	3anbi123d 1346	. . 3 |- ( a = ( sqr ` 2 ) -> ( ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) ) )
21		biidd 172	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p <-> A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p ) )
22		breq1 4086	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( b # q <-> ( 2 logb 9 ) # q ) )
23	22	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( A. q e. QQ b # q <-> A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q ) )
24		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) = ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) )
25	24	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ <-> ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) )
26	21, 23, 25	3anbi123d 1346	. . 3 |- ( b = ( 2 logb 9 ) -> ( ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c b ) e. QQ ) <-> ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) )
27	20, 26	rspc2ev 2922	. 2 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( 2 logb 9 ) e. RR /\ ( A. p e. QQ ( sqr ` 2 ) # p /\ A. q e. QQ ( 2 logb 9 ) # q /\ ( ( sqr ` 2 ) ^c ( 2 logb 9 ) ) e. QQ ) ) -> E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ ) )
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1371	1 |- E. a e. RR E. b e. RR ( A. p e. QQ a # p /\ A. q e. QQ b # q /\ ( a ^c b ) e. QQ )

Syntax hints:   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   \ cdif 3194   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   # cap 8739   2c2 9172   3c3 9173   9c9 9179   ZZcz 9457   QQcq 9826   sqrcsqrt 11523   ^c ccxp 15547   log_b clogb 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881  df-ef 12175  df-e 12176  df-dvds 12315  df-gcd 12491  df-prm 12646  df-rest 13290  df-topgen 13309  df-psmet 14523  df-xmet 14524  df-met 14525  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-ntr 14786  df-cn 14878  df-cnp 14879  df-tx 14943  df-cncf 15261  df-limced 15346  df-dvap 15347  df-relog 15548  df-rpcxp 15549  df-logb 15634

This theorem is referenced by: (None)