ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnn Unicode version

Theorem divalglemnn 11922
Description: Lemma for divalg 11928. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemnn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemnn
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10343 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  NN0 )
21nn0zd 9372 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  ZZ )
3 znq 9623 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  /  D
)  e.  QQ )
43flqcld 10276 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ )
51nn0ge0d 9231 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  ( N  mod  D ) )
6 zq 9625 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
76adantr 276 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
8 nnq 9632 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  QQ )
98adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  QQ )
10 nngt0 8943 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <  D )
1110adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <  D )
12 modqlt 10332 . . . 4  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  < 
D )
137, 9, 11, 12syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  D )
14 nnre 8925 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
1514adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
16 0red 7957 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
1716, 15, 11ltled 8075 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  D )
1815, 17absidd 11175 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( abs `  D
)  =  D )
1913, 18breqtrrd 4031 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  ( abs `  D ) )
201nn0cnd 9230 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  CC )
214zcnd 9375 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  CC )
22 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  NN )
2322nncnd 8932 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2421, 23mulcld 7977 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
)  e.  CC )
25 modqvalr 10324 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  =  ( N  -  (
( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
267, 9, 11, 25syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  =  ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
2726oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  ( ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) ) )
28 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2928zcnd 9375 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3029, 24npcand 8271 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  -  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  N )
3127, 30eqtr2d 2211 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
3220, 24, 31comraddd 8113 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
33 breq2 4007 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( 0  <_  r  <->  0  <_  ( N  mod  D ) ) )
34 breq1 4006 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( r  <  ( abs `  D
)  <->  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D ) ) )
35 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )
3635eqeq2d 2189 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( N  =  ( ( q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
3733, 34, 363anbi123d 1312 . . 3  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
38 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
q  x.  D )  =  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )
3938oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  ( N  mod  D ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
4039eqeq2d 2189 . . . 4  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) )  <->  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
41403anbi3d 1318 . . 3  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
4237, 41rspc2ev 2856 . 2  |-  ( ( ( N  mod  D
)  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ  /\  (
0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
432, 4, 5, 19, 32, 42syl113anc 1250 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127    / cdiv 8628   NNcn 8918   ZZcz 9252   QQcq 9618   |_cfl 10267    mod cmo 10321   abscabs 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11925  divalglemex  11926
  Copyright terms: Public domain W3C validator