ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnn Unicode version

Theorem divalglemnn 11522
Description: Lemma for divalg 11528. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemnn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemnn
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10068 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  NN0 )
21nn0zd 9125 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  ZZ )
3 znq 9368 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  /  D
)  e.  QQ )
43flqcld 10001 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ )
51nn0ge0d 8987 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  ( N  mod  D ) )
6 zq 9370 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
76adantr 272 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
8 nnq 9377 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  QQ )
98adantl 273 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  QQ )
10 nngt0 8705 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <  D )
1110adantl 273 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <  D )
12 modqlt 10057 . . . 4  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  < 
D )
137, 9, 11, 12syl3anc 1199 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  D )
14 nnre 8687 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
1514adantl 273 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
16 0red 7731 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
1716, 15, 11ltled 7845 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  D )
1815, 17absidd 10890 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( abs `  D
)  =  D )
1913, 18breqtrrd 3924 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  ( abs `  D ) )
201nn0cnd 8986 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  CC )
214zcnd 9128 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  CC )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  NN )
2322nncnd 8694 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2421, 23mulcld 7750 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
)  e.  CC )
25 modqvalr 10049 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  =  ( N  -  (
( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
267, 9, 11, 25syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  =  ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
2726oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  ( ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) ) )
28 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2928zcnd 9128 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3029, 24npcand 8041 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  -  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  N )
3127, 30eqtr2d 2149 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
3220, 24, 31comraddd 7883 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
33 breq2 3901 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( 0  <_  r  <->  0  <_  ( N  mod  D ) ) )
34 breq1 3900 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( r  <  ( abs `  D
)  <->  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D ) ) )
35 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )
3635eqeq2d 2127 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( N  =  ( ( q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
3733, 34, 363anbi123d 1273 . . 3  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
38 oveq1 5747 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
q  x.  D )  =  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )
3938oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  ( N  mod  D ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
4039eqeq2d 2127 . . . 4  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) )  <->  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
41403anbi3d 1279 . . 3  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
4237, 41rspc2ev 2776 . 2  |-  ( ( ( N  mod  D
)  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ  /\  (
0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
432, 4, 5, 19, 32, 42syl113anc 1211 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897    / cdiv 8395   NNcn 8680   ZZcz 9008   QQcq 9363   |_cfl 9992    mod cmo 10046   abscabs 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11525  divalglemex  11526
  Copyright terms: Public domain W3C validator