ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnn Unicode version

Theorem divalglemnn 11527
Description: Lemma for divalg 11533. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemnn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemnn
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10072 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  NN0 )
21nn0zd 9129 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  ZZ )
3 znq 9372 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  /  D
)  e.  QQ )
43flqcld 10005 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ )
51nn0ge0d 8991 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  ( N  mod  D ) )
6 zq 9374 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
76adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
8 nnq 9381 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  QQ )
98adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  QQ )
10 nngt0 8709 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <  D )
1110adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <  D )
12 modqlt 10061 . . . 4  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  < 
D )
137, 9, 11, 12syl3anc 1201 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  D )
14 nnre 8691 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
1514adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  RR )
16 0red 7735 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
1716, 15, 11ltled 7849 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  0  <_  D )
1815, 17absidd 10894 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( abs `  D
)  =  D )
1913, 18breqtrrd 3926 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  <  ( abs `  D ) )
201nn0cnd 8990 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  e.  CC )
214zcnd 9132 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  CC )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  NN )
2322nncnd 8698 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2421, 23mulcld 7754 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
)  e.  CC )
25 modqvalr 10053 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  D  e.  QQ  /\  0  <  D )  ->  ( N  mod  D )  =  ( N  -  (
( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
267, 9, 11, 25syl3anc 1201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( N  mod  D
)  =  ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
2726oveq1d 5757 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  ( ( N  -  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) ) )
28 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2928zcnd 9132 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3029, 24npcand 8045 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( N  -  ( ( |_ `  ( N  /  D
) )  x.  D
) )  +  ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D ) )  =  N )
3127, 30eqtr2d 2151 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  mod  D )  +  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) ) )
3220, 24, 31comraddd 7887 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  N  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
33 breq2 3903 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( 0  <_  r  <->  0  <_  ( N  mod  D ) ) )
34 breq1 3902 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( r  <  ( abs `  D
)  <->  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D ) ) )
35 oveq2 5750 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )
3635eqeq2d 2129 . . . 4  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( N  =  ( ( q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
3733, 34, 363anbi123d 1275 . . 3  |-  ( r  =  ( N  mod  D )  ->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
38 oveq1 5749 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
q  x.  D )  =  ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D ) )
3938oveq1d 5757 . . . . 5  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  ( N  mod  D ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D
) ) )
4039eqeq2d 2129 . . . 4  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) )  <->  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )
41403anbi3d 1281 . . 3  |-  ( q  =  ( |_ `  ( N  /  D
) )  ->  (
( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) )  <->  ( 0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) ) )
4237, 41rspc2ev 2778 . 2  |-  ( ( ( N  mod  D
)  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  D ) )  e.  ZZ  /\  (
0  <_  ( N  mod  D )  /\  ( N  mod  D )  < 
( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( ( |_
`  ( N  /  D ) )  x.  D )  +  ( N  mod  D ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
432, 4, 5, 19, 32, 42syl113anc 1213 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901    / cdiv 8399   NNcn 8684   ZZcz 9012   QQcq 9367   |_cfl 9996    mod cmo 10050   abscabs 10724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fl 9998  df-mod 10051  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11530  divalglemex  11531
  Copyright terms: Public domain W3C validator