Theorem divalglemnn 11651

Description: Lemma for divalg 11657. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemnn	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalglemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10148	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9195	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) e. ZZ )
3		znq 9443	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N / D ) e. QQ )
4	3	flqcld 10081	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( |_ ` ( N / D ) ) e. ZZ )
5	1	nn0ge0d 9057	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> 0 <_ ( N mod D ) )
6		zq 9445	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> N e. QQ )
8		nnq 9452	. . . . 5 |- ( D e. NN -> D e. QQ )
9	8	adantl 275	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> D e. QQ )
10		nngt0 8769	. . . . 5 |- ( D e. NN -> 0 < D )
11	10	adantl 275	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> 0 < D )
12		modqlt 10137	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ D e. QQ /\ 0 < D ) -> ( N mod D ) < D )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) < D )
14		nnre 8751	. . . . 5 |- ( D e. NN -> D e. RR )
15	14	adantl 275	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> D e. RR )
16		0red 7791	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> 0 e. RR )
17	16, 15, 11	ltled 7905	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> 0 <_ D )
18	15, 17	absidd 10971	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( abs ` D ) = D )
19	13, 18	breqtrrd 3964	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) < ( abs ` D ) )
20	1	nn0cnd 9056	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) e. CC )
21	4	zcnd 9198	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( |_ ` ( N / D ) ) e. CC )
22		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> D e. NN )
23	22	nncnd 8758	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> D e. CC )
24	21, 23	mulcld 7810	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) e. CC )
25		modqvalr 10129	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ D e. QQ /\ 0 < D ) -> ( N mod D ) = ( N - ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) )
26	7, 9, 11, 25	syl3anc 1217	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( N mod D ) = ( N - ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) )
27	26	oveq1d 5797	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( N mod D ) + ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) = ( ( N - ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) + ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) )
28		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> N e. ZZ )
29	28	zcnd 9198	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> N e. CC )
30	29, 24	npcand 8101	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( N - ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) + ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) = N )
31	27, 30	eqtr2d 2174	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> N = ( ( N mod D ) + ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) ) )
32	20, 24, 31	comraddd 7943	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> N = ( ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) + ( N mod D ) ) )
33		breq2 3941	. . . 4 |- ( r = ( N mod D ) -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ ( N mod D ) ) )
34		breq1 3940	. . . 4 |- ( r = ( N mod D ) -> ( r < ( abs ` D ) <-> ( N mod D ) < ( abs ` D ) ) )
35		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( r = ( N mod D ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) )
36	35	eqeq2d 2152	. . . 4 |- ( r = ( N mod D ) -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) ) )
37	33, 34, 36	3anbi123d 1291	. . 3 |- ( r = ( N mod D ) -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ ( N mod D ) /\ ( N mod D ) < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) ) ) )
38		oveq1 5789	. . . . . 6 |- ( q = ( |_ ` ( N / D ) ) -> ( q x. D ) = ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) )
39	38	oveq1d 5797	. . . . 5 |- ( q = ( |_ ` ( N / D ) ) -> ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) = ( ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) + ( N mod D ) ) )
40	39	eqeq2d 2152	. . . 4 |- ( q = ( |_ ` ( N / D ) ) -> ( N = ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) <-> N = ( ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) + ( N mod D ) ) ) )
41	40	3anbi3d 1297	. . 3 |- ( q = ( |_ ` ( N / D ) ) -> ( ( 0 <_ ( N mod D ) /\ ( N mod D ) < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + ( N mod D ) ) ) <-> ( 0 <_ ( N mod D ) /\ ( N mod D ) < ( abs ` D ) /\ N = ( ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) + ( N mod D ) ) ) ) )
42	37, 41	rspc2ev 2808	. 2 |- ( ( ( N mod D ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / D ) ) e. ZZ /\ ( 0 <_ ( N mod D ) /\ ( N mod D ) < ( abs ` D ) /\ N = ( ( ( |_ ` ( N / D ) ) x. D ) + ( N mod D ) ) ) ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
43	2, 4, 5, 19, 32, 42	syl113anc 1229	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZcz 9078   QQcq 9438   |_cfl 10072   mod cmo 10126   abscabs 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11654  divalglemex  11655