Theorem rspc2ev 2879

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2ev	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
2	1	rspcev 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒)
3	2	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
4	3	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
5		rspc2v.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6	5	rexbidv 2495	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
7	6	rspcev 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)
8	4, 7	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762

This theorem is referenced by:  rspc3ev  2881  opelxp  4689  rspceov  5960  2dom  6859  apreim  8622  addcn2  11453  mulcn2  11455  divalglemnn  12059  bezoutlema  12136  bezoutlemb  12137  pythagtriplem18  12419  pczpre  12435  pcdiv  12440  4sqlem3  12528  4sqlem4  12530  4sqlem12  12540  isnzr2  13680  txuni2  14424  txopn  14433  txdis  14445  txdis1cn  14446  xmettxlem  14677  elplyr  14886  2irrexpq  15108  2irrexpqap  15110  2sqlem2  15202  2sqlem8  15210