Theorem rspccva 2920

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspccva	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	rspcv 2917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	impcom 125	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-v 2815

This theorem is referenced by:  disjne  3562  seex  4456  fconstfvm  5902  caofid0l  6293  caofid0r  6294  caofid1  6295  caofid2  6296  fvixp  6938  ordiso2  7326  eqord1  8757  eqord2  8758  seq3caopr2  10855  seqcaopr2g  10856  bccl  11129  hashfibc  11207  2clim  11986  isummulc2  12112  telfsumo2  12153  fsumparts  12156  isumshft  12176  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  dvdsprime  12819  mgmlrid  13592  grpinvalem  13598  grpinvex  13723  issubg2m  13906  issubg4m  13910  nmzbi  13926  cnima  15085  dich0  15517  2lgslem1a  15961  depindlem1  16501  depindlem2  16502  depindlem3  16503  dceqnconst  16846  dcapnconst  16847