Theorem rspccva 2928

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspccva	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	rspcv 2925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	impcom 125	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  disjne  3578  seex  4482  fconstfvm  5936  caofid0l  6333  caofid0r  6334  caofid1  6335  caofid2  6336  fvixp  6989  ordiso2  7381  eqord1  8818  eqord2  8819  seq3caopr2  10951  seqcaopr2g  10952  bccl  11227  hashfibc  11305  2clim  12092  isummulc2  12218  telfsumo2  12259  fsumparts  12262  isumshft  12282  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  dvdsprime  12925  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  mgmlrid  13758  grpinvalem  13764  grpinvex  13874  issubg2m  14051  issubg4m  14055  nmzbi  14071  cntzi  14162  cnima  15446  dich0  15878  2lgslem1a  16412  depindlem1  16952  depindlem2  16953  depindlem3  16954  dceqnconst  17317  dcapnconst  17318