Theorem rspccva 2928

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspccva	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	rspcv 2925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	impcom 125	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  disjne  3578  seex  4480  fconstfvm  5933  caofid0l  6329  caofid0r  6330  caofid1  6331  caofid2  6332  fvixp  6985  ordiso2  7376  eqord1  8813  eqord2  8814  seq3caopr2  10945  seqcaopr2g  10946  bccl  11221  hashfibc  11299  2clim  12086  isummulc2  12212  telfsumo2  12253  fsumparts  12256  isumshft  12276  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  dvdsprime  12919  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  mgmlrid  13752  grpinvalem  13758  grpinvex  13868  issubg2m  14045  issubg4m  14049  nmzbi  14065  cntzi  14156  cnima  15412  dich0  15844  2lgslem1a  16373  depindlem1  16913  depindlem2  16914  depindlem3  16915  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278