Theorem rspccva 2928

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspccva	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	rspcv 2925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	impcom 125	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  disjne  3578  seex  4480  fconstfvm  5933  caofid0l  6329  caofid0r  6330  caofid1  6331  caofid2  6332  fvixp  6985  ordiso2  7375  eqord1  8811  eqord2  8812  seq3caopr2  10930  seqcaopr2g  10931  bccl  11205  hashfibc  11283  2clim  12067  isummulc2  12193  telfsumo2  12234  fsumparts  12237  isumshft  12257  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  dvdsprime  12900  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  mgmlrid  13699  grpinvalem  13705  grpinvex  13815  issubg2m  13992  issubg4m  13996  nmzbi  14012  cnima  15321  dich0  15753  2lgslem1a  16207  depindlem1  16747  depindlem2  16748  depindlem3  16749  dceqnconst  17110  dcapnconst  17111