Theorem mertensabs 12088

Description: Mertens' theorem. If A ( j ) is an absolutely convergent series and B ( k ) is convergent, then ( sum_ j e. NN0 A ( j ) x. sum_ k e. NN0 B ( k ) ) = sum_ k e. NN0 sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A ( j ) x. B ( k - j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.f	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
mertensabs	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Distinct variable groups:   B, j   j, k, G   ph, j, k   A, k   j, K, k   j, F   k, H

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   F( k)   H( j)

Proof of Theorem mertensabs

Dummy variables m n s x y z i l u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9781	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 9481	. 2 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		seqex 10701	. . 3 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
5		mertens.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
6		0zd 9481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
7		nn0z 9489	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10683	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
10		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ph )
11		elfznn0 10339	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
12		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
14		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( k - j ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( k - j ) ) )
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( i = ( k - j ) -> ( ( G ` i ) e. CC <-> ( G ` ( k - j ) ) e. CC ) )
16		mertens.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
17		mertens.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
18	16, 17	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
19	18	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC )
20		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( G ` k ) = ( G ` i ) )
21	20	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( G ` k ) e. CC <-> ( G ` i ) e. CC ) )
22	21	cbvralv 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC <-> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
25		fznn0sub 10282	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
26	25	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
27	15, 24, 26	rspcdva 2913	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
28	13, 27	mulcld 8190	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
29	9, 28	fsumcl 11951	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
30	5, 29	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) e. CC )
31	1, 2, 30	serf 10735	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) : NN0 --> CC )
32	31	ffvelcdmda 5778	. 2 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , H ) ` m ) e. CC )
33		mertens.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
35		mertens.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
36	35	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
37	12	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
38	16	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
39	17	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
40	5	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
41		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
42	41	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
43		mertens.8	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
44	43	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
46		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = k -> ( G ` l ) = ( G ` k ) )
47	46	cbvsumv 11912	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k )
48		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
49	48	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
50	47, 49	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
51	50	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
52	51	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
53	52	cbvrexv 2766	. . . . . . 7 |- ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
54		eqeq1 2236	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
55	54	rexbidv 2531	. . . . . . 7 |- ( u = z -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
56	53, 55	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
57	56	cbvabv 2354	. . . . 5 |- { u | E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) } = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
58		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( K ` i ) = ( K ` j ) )
59	58	cbvsumv 11912	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. NN0 ( K ` i ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
60	59	oveq1i 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
61	60	oveq2i 6024	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) = ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
62	61	breq2i 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
63		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( G ` i ) = ( G ` k ) )
64	63	cbvsumv 11912	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k )
65		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
66	65	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
67	64, 66	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
68	67	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( u = n -> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
69	68	breq1d 4096	. . . . . . . 8 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
70	62, 69	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
71	70	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
72	71	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( s e. NN /\ A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) ) <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
73	34, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72	mertenslem2 12087	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x )
74		eluznn0 9823	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> m e. NN0 )
75		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
76		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> m e. ZZ )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ZZ )
78	75, 77	fzfigd 10683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
79		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
80		elfznn0 10339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. NN0 )
82	1, 2, 16, 17, 43	isumcl 11976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
84	33, 12	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) e. CC )
85	83, 84	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
86	79, 81, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
87		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
88	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> m e. ZZ )
89	81	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. ZZ )
90	88, 89	zsubcld 9597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
91	87, 90	fzfigd 10683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( m - j ) ) e. Fin )
92		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ph )
93	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> j e. NN0 )
94	92, 93, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> A e. CC )
95		elfznn0 10339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... ( m - j ) ) -> k e. NN0 )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> k e. NN0 )
97	92, 96, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
98	94, 97	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
99	91, 98	fsumcl 11951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
100	78, 86, 99	fsumsub 12003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
101	79, 81, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
102	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
103	91, 97	fsumcl 11951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) e. CC )
104	101, 102, 103	subdid 8583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) )
105		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
106		fznn0sub 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
108		peano2nn0 9432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
110	79, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
111	79, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
112	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
113	1, 105, 109, 110, 111, 112	isumsplit 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
114	107	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. CC )
115		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
116		pncan 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m - j ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
117	114, 115, 116	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
118	117	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( m - j ) ) )
119	118	sumeq1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
120	92, 96, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
121	120	sumeq2dv 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
122	119, 121	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) )
123	122	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
124	113, 123	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
125	124	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) )
126	109	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
127		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
128		eluznn0 9823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
129	109, 128	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
130	127, 129, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
131	127, 129, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
132	110, 111	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
133	1, 109, 132	iserex 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
134	112, 133	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
135	105, 126, 130, 131, 134	isumcl 11976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
136	103, 135	pncan2d 8482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
137	125, 136	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
138	137	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
139	12, 83	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
140	33	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
141	139, 140	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
142	79, 81, 141	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
143	91, 101, 97	fsummulc2 11999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) )
144	142, 143	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
145	104, 138, 144	3eqtr3rd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
146	145	sumeq2dv 11919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
147		elnn0uz 9784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
148	147	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> j e. NN0 )
149	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
150	148, 84	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
151	150	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
152	149, 151	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
153		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( F ` n ) = ( F ` j ) )
154	153	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
155		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) )
156	154, 155	fvmptg 5718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
157	148, 152, 156	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
158		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
159	158, 1	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
160	157, 159, 152	fsum3ser 11948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) )
161		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
162	161	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` k ) ) )
163		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k - j ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( k - j ) ) )
164	163	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k - j ) -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
165	98	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( j e. ( 0 ... m ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
166	162, 164, 165, 77	fisum0diag2 11998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
167		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ph )
168		elnn0uz 9784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
169	168	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
171	167, 170, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
172	167, 170, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
173	171, 159, 172	fsum3ser 11948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
174	166, 173	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
175	160, 174	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) )
176	100, 146, 175	3eqtr3rd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
177	176	fveq2d 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
178	177	breq1d 4096	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
179	74, 178	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
180	179	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
181	180	ralbidva 2526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
182	181	rexbidva 2527	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
183	182	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
184	73, 183	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
185	184	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
186		mertens.f	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
187	1, 2, 33, 12, 186	isumclim2 11973	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> sum_ j e. NN0 A )
188	84	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC )
189		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( F ` j ) = ( F ` m ) )
190	189	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( ( F ` j ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
191	190	rspccva 2907	. . . . 5 |- ( ( A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
192	188, 191	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
193	82	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
194	193, 192	mulcld 8190	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC )
195		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
196	195	oveq2d 6029	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
197	196, 155	fvmptg 5718	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
198	158, 194, 197	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
199	1, 2, 82, 187, 192, 198	isermulc2 11891	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) )
200	1, 2, 33, 12, 186	isumcl 11976	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 A e. CC )
201	82, 200	mulcomd 8191	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) = ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
202	199, 201	breqtrd 4112	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
203	1, 2, 4, 32, 185, 202	2clim 11852	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   dom cdm 4723   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   - cmin 8340   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   RR+crp 9878   ...cfz 10233   seqcseq 10699   abscabs 11548   ~~> cli 11829   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  efaddlem  12225