Theorem mertensabs 11680

Description: Mertens' theorem. If A ( j ) is an absolutely convergent series and B ( k ) is convergent, then ( sum_ j e. NN0 A ( j ) x. sum_ k e. NN0 B ( k ) ) = sum_ k e. NN0 sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A ( j ) x. B ( k - j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.f	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
mertensabs	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Distinct variable groups:   B, j   j, k, G   ph, j, k   A, k   j, K, k   j, F   k, H

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   F( k)   H( j)

Proof of Theorem mertensabs

Dummy variables m n s x y z i l u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9627	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 9329	. 2 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		seqex 10520	. . 3 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
5		mertens.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
6		0zd 9329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
7		nn0z 9337	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
10		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ph )
11		elfznn0 10180	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
12		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
14		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( k - j ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( k - j ) ) )
15	14	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( i = ( k - j ) -> ( ( G ` i ) e. CC <-> ( G ` ( k - j ) ) e. CC ) )
16		mertens.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
17		mertens.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
18	16, 17	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
19	18	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC )
20		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( G ` k ) = ( G ` i ) )
21	20	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( G ` k ) e. CC <-> ( G ` i ) e. CC ) )
22	21	cbvralv 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC <-> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
25		fznn0sub 10123	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
26	25	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
27	15, 24, 26	rspcdva 2869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
28	13, 27	mulcld 8040	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
29	9, 28	fsumcl 11543	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
30	5, 29	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) e. CC )
31	1, 2, 30	serf 10554	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) : NN0 --> CC )
32	31	ffvelcdmda 5693	. 2 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , H ) ` m ) e. CC )
33		mertens.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
34	33	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
35		mertens.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
36	35	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
37	12	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
38	16	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
39	17	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
40	5	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
41		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
42	41	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
43		mertens.8	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
44	43	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
46		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = k -> ( G ` l ) = ( G ` k ) )
47	46	cbvsumv 11504	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k )
48		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
49	48	sumeq1d 11509	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
50	47, 49	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
51	50	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
52	51	eqeq2d 2205	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
53	52	cbvrexv 2727	. . . . . . 7 |- ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
54		eqeq1 2200	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
55	54	rexbidv 2495	. . . . . . 7 |- ( u = z -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
56	53, 55	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
57	56	cbvabv 2318	. . . . 5 |- { u | E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) } = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
58		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( K ` i ) = ( K ` j ) )
59	58	cbvsumv 11504	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. NN0 ( K ` i ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
60	59	oveq1i 5928	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
61	60	oveq2i 5929	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) = ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
62	61	breq2i 4037	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
63		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( G ` i ) = ( G ` k ) )
64	63	cbvsumv 11504	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k )
65		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
66	65	sumeq1d 11509	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
67	64, 66	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
68	67	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( u = n -> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
69	68	breq1d 4039	. . . . . . . 8 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
70	62, 69	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
71	70	cbvralv 2726	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
72	71	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( s e. NN /\ A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) ) <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
73	34, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72	mertenslem2 11679	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x )
74		eluznn0 9664	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> m e. NN0 )
75		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
76		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> m e. ZZ )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ZZ )
78	75, 77	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
79		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
80		elfznn0 10180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
81	80	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. NN0 )
82	1, 2, 16, 17, 43	isumcl 11568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
84	33, 12	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) e. CC )
85	83, 84	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
86	79, 81, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
87		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
88	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> m e. ZZ )
89	81	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. ZZ )
90	88, 89	zsubcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
91	87, 90	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( m - j ) ) e. Fin )
92		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ph )
93	80	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> j e. NN0 )
94	92, 93, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> A e. CC )
95		elfznn0 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... ( m - j ) ) -> k e. NN0 )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> k e. NN0 )
97	92, 96, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
98	94, 97	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
99	91, 98	fsumcl 11543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
100	78, 86, 99	fsumsub 11595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
101	79, 81, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
102	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
103	91, 97	fsumcl 11543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) e. CC )
104	101, 102, 103	subdid 8433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) )
105		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
106		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
108		peano2nn0 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
110	79, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
111	79, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
112	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
113	1, 105, 109, 110, 111, 112	isumsplit 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
114	107	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. CC )
115		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
116		pncan 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m - j ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
117	114, 115, 116	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
118	117	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( m - j ) ) )
119	118	sumeq1d 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
120	92, 96, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
121	120	sumeq2dv 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
122	119, 121	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) )
123	122	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
124	113, 123	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
125	124	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) )
126	109	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
127		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
128		eluznn0 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
129	109, 128	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
130	127, 129, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
131	127, 129, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
132	110, 111	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
133	1, 109, 132	iserex 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
134	112, 133	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
135	105, 126, 130, 131, 134	isumcl 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
136	103, 135	pncan2d 8332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
137	125, 136	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
138	137	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
139	12, 83	mulcomd 8041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
140	33	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
141	139, 140	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
142	79, 81, 141	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
143	91, 101, 97	fsummulc2 11591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) )
144	142, 143	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
145	104, 138, 144	3eqtr3rd 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
146	145	sumeq2dv 11511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
147		elnn0uz 9630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
148	147	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> j e. NN0 )
149	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
150	148, 84	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
151	150	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
152	149, 151	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
153		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( F ` n ) = ( F ` j ) )
154	153	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
155		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) )
156	154, 155	fvmptg 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
157	148, 152, 156	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
158		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
159	158, 1	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
160	157, 159, 152	fsum3ser 11540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) )
161		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
162	161	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` k ) ) )
163		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k - j ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( k - j ) ) )
164	163	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k - j ) -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
165	98	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( j e. ( 0 ... m ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
166	162, 164, 165, 77	fisum0diag2 11590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
167		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ph )
168		elnn0uz 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
169	168	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
171	167, 170, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
172	167, 170, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
173	171, 159, 172	fsum3ser 11540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
174	166, 173	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
175	160, 174	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) )
176	100, 146, 175	3eqtr3rd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
177	176	fveq2d 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
178	177	breq1d 4039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
179	74, 178	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
180	179	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
181	180	ralbidva 2490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
182	181	rexbidva 2491	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
183	182	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
184	73, 183	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
185	184	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
186		mertens.f	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
187	1, 2, 33, 12, 186	isumclim2 11565	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> sum_ j e. NN0 A )
188	84	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC )
189		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( F ` j ) = ( F ` m ) )
190	189	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( ( F ` j ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
191	190	rspccva 2863	. . . . 5 |- ( ( A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
192	188, 191	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
193	82	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
194	193, 192	mulcld 8040	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC )
195		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
196	195	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
197	196, 155	fvmptg 5633	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
198	158, 194, 197	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
199	1, 2, 82, 187, 192, 198	isermulc2 11483	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) )
200	1, 2, 33, 12, 186	isumcl 11568	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 A e. CC )
201	82, 200	mulcomd 8041	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) = ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
202	199, 201	breqtrd 4055	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
203	1, 2, 4, 32, 185, 202	2clim 11444	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   RR+crp 9719   ...cfz 10074   seqcseq 10518   abscabs 11141   ~~> cli 11421   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  efaddlem  11817