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Theorem mertensabs 11318
Description: Mertens' theorem. If  A (
j ) is an absolutely convergent series and  B ( k ) is convergent, then  ( sum_ j  e.  NN0 A ( j )  x.  sum_ k  e.  NN0 B ( k ) )  =  sum_ k  e. 
NN0 sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A ( j )  x.  B ( k  -  j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.f  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mertensabs  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Distinct variable groups:    B, j    j,
k, G    ph, j, k    A, k    j, K, k   
j, F    k, H
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    F( k)    H( j)

Proof of Theorem mertensabs
Dummy variables  m  n  s  x  y  z  i  l  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9372 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 9078 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 seqex 10232 . . 3  |-  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  _V
43a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
_V )
5 mertens.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
6 0zd 9078 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  ZZ )
7 nn0z 9086 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
96, 8fzfigd 10216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
10 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
11 elfznn0 9906 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
12 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
14 fveq2 5421 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
1514eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  (
( G `  i
)  e.  CC  <->  ( G `  ( k  -  j
) )  e.  CC ) )
16 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
17 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
1816, 17eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1918ralrimiva 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( G `  k )  e.  CC )
20 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
2120eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  e.  CC  <->  ( G `  i )  e.  CC ) )
2221cbvralv 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN0  ( G `
 k )  e.  CC  <->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2319, 22sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2423ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
25 fznn0sub 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
2625adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
2715, 24, 26rspcdva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
2813, 27mulcld 7798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j
) ) )  e.  CC )
299, 28fsumcl 11181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
305, 29eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
311, 2, 30serf 10259 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H ) : NN0 --> CC )
3231ffvelrnda 5555 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
)  e.  CC )
33 mertens.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
3433adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
35 mertens.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
3635adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A
) )
3712adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3816adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
3917adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
405adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
41 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
4241adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq 0
(  +  ,  K
)  e.  dom  ~~>  )
43 mertens.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4443adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
45 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
46 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( G `  l )  =  ( G `  k ) )
4746cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)
48 fvoveq1 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( i  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
4948sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5047, 49syl5eq 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5150fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
5251eqeq2d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  <->  u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
5352cbvrexv 2655 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) )
54 eqeq1 2146 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <->  z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) ) )
5554rexbidv 2438 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5653, 55syl5bb 191 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( E. i  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5756cbvabv 2264 . . . . 5  |-  { u  |  E. i  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) ) }  =  {
z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }
58 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( K `  i )  =  ( K `  j ) )
5958cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  =  sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )
6059oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 )  =  (
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )
6160oveq2i 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  =  ( ( x  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )
6261breq2i 3937 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
) )  <  (
( x  /  2
)  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
63 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( G `  i )  =  ( G `  k ) )
6463cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)
65 fvoveq1 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( u  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
6665sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6764, 66syl5eq 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  n  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6867fveq2d 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  n  ->  ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
6968breq1d 3939 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7062, 69syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7170cbvralv 2654 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
7271anbi2i 452 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) ) )  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7334, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72mertenslem2 11317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x )
74 eluznn0 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y ) )  ->  m  e.  NN0 )
75 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  0  e.  ZZ )
76 nn0z 9086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
7776adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ZZ )
7875, 77fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... m )  e. 
Fin )
79 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ph )
80 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  j  e.  NN0 )
8180adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  j  e.  NN0 )
821, 2, 16, 17, 43isumcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
8382adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  B  e.  CC )
8433, 12eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
8583, 84mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  CC )
8679, 81, 85syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j
) )  e.  CC )
87 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  0  e.  ZZ )
8877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  m  e.  ZZ )
8981nn0zd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  j  e.  ZZ )
9088, 89zsubcld 9190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  ZZ )
9187, 90fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( m  -  j ) )  e. 
Fin )
92 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ph )
9380ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
9492, 93, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  A  e.  CC )
95 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( m  -  j
) )  ->  k  e.  NN0 )
9695adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
9792, 96, 18syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9894, 97mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
9991, 98fsumcl 11181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) )  e.  CC )
10078, 86, 99fsumsub 11233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
10179, 81, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  A  e.  CC )
10282ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
10391, 97fsumcl 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
104101, 102, 103subdid 8188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) ) )
105 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )
106 fznn0sub 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
107106adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
108 peano2nn0 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( m  -  j )  +  1 )  e. 
NN0 )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  NN0 )
11079, 16sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
11179, 17sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
11243ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1131, 105, 109, 110, 111, 112isumsplit 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j
)  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
114107nn0cnd 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  CC )
115 ax-1cn 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
116 pncan 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
117114, 115, 116sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
118117oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
m  -  j ) ) )
119118sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
12092, 96, 16syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
121120sumeq2dv 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
122119, 121eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )
123122oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
124113, 123eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
125124oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )
126109nn0zd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  ZZ )
127 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ph )
128 eluznn0 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( m  -  j )  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
129109, 128sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
130127, 129, 16syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
131127, 129, 17syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
132110, 111eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1331, 109, 132iserex 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
134112, 133mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
135105, 126, 130, 131, 134isumcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B  e.  CC )
136103, 135pncan2d 8087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )
137125, 136eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )
138137oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
13912, 83mulcomd 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
14033oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
141139, 140eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
14279, 81, 141syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e. 
NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
14391, 101, 97fsummulc2 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
) )
144142, 143oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
145104, 138, 1443eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
146145sumeq2dv 11149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
147 elnn0uz 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  <->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
148147biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  j  e.  NN0 )
14982ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ k  e. 
NN0  B  e.  CC )
150148, 84sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( F `  j )  e.  CC )
151150adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( F `  j )  e.  CC )
152149, 151mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  CC )
153 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
154153oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
155 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )
156154, 155fvmptg 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  CC )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `
 j )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
157148, 152, 156syl2an2 583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  j
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
158 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
159158, 1eleqtrdi 2232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
160157, 159, 152fsum3ser 11178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j )
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m ) )
161 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
162161oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  k )
) )
163 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
164163oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
16598anasss 396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
j  e.  ( 0 ... m )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
166162, 164, 165, 77fisum0diag2 11228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
167 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ph )
168 elnn0uz 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
169168biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
170169adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  k  e.  NN0 )
171167, 170, 5syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
172167, 170, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
173171, 159, 172fsum3ser 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  =  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) )
174166, 173eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) )
175160, 174oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... m ) (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )
176100, 146, 1753eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  m )
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
177176fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  =  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) ) )
178177breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
17974, 178sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x ) )
180179anassrs 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq 0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
181180ralbidva 2433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
182181rexbidva 2434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
183182adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
18473, 183mpbird 166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
185184ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq 0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
186 mertens.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1871, 2, 33, 12, 186isumclim2 11203 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  sum_ j  e.  NN0  A )
18884ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC )
189 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
190189eleq1d 2208 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
191190rspccva 2788 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
192188, 191sylan 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
19382adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  B  e.  CC )
194193, 192mulcld 7798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) )  e.  CC )
195 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
196195oveq2d 5790 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
197196, 155fvmptg 5497 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) )  e.  CC )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `
 m )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
198158, 194, 197syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  m
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
1991, 2, 82, 187, 192, 198isermulc2 11121 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A
) )
2001, 2, 33, 12, 186isumcl 11206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  A  e.  CC )
20182, 200mulcomd 7799 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A )  =  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
202199, 201breqtrd 3954 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
2031, 2, 4, 32, 185, 2022clim 11082 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    - cmin 7945    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   RR+crp 9453   ...cfz 9802    seqcseq 10230   abscabs 10781    ~~> cli 11059   sum_csu 11134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135
This theorem is referenced by:  efaddlem  11392
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