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Theorem mertensabs 11318
 Description: Mertens' theorem. If is an absolutely convergent series and is convergent, then (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1
mertens.2
mertens.3
mertens.4
mertens.5
mertens.6
mertens.7
mertens.8
mertens.f
Assertion
Ref Expression
mertensabs
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mertensabs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9372 . 2
2 0zd 9078 . 2
3 seqex 10232 . . 3
43a1i 9 . 2
5 mertens.6 . . . . 5
6 0zd 9078 . . . . . . 7
7 nn0z 9086 . . . . . . . 8
87adantl 275 . . . . . . 7
96, 8fzfigd 10216 . . . . . 6
10 simpl 108 . . . . . . . 8
11 elfznn0 9906 . . . . . . . 8
12 mertens.3 . . . . . . . 8
1310, 11, 12syl2an 287 . . . . . . 7
14 fveq2 5421 . . . . . . . . 9
1514eleq1d 2208 . . . . . . . 8
16 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12
17 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11
1918ralrimiva 2505 . . . . . . . . . 10
20 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12
2120eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11
2221cbvralv 2654 . . . . . . . . . 10
2319, 22sylib 121 . . . . . . . . 9
2423ad2antrr 479 . . . . . . . 8
25 fznn0sub 9849 . . . . . . . . 9
2625adantl 275 . . . . . . . 8
2715, 24, 26rspcdva 2794 . . . . . . 7
2813, 27mulcld 7798 . . . . . 6
299, 28fsumcl 11181 . . . . 5
305, 29eqeltrd 2216 . . . 4
311, 2, 30serf 10259 . . 3
3231ffvelrnda 5555 . 2
33 mertens.1 . . . . . 6
3433adantlr 468 . . . . 5
35 mertens.2 . . . . . 6
3635adantlr 468 . . . . 5
3712adantlr 468 . . . . 5
3816adantlr 468 . . . . 5
3917adantlr 468 . . . . 5
405adantlr 468 . . . . 5
41 mertens.7 . . . . . 6
4241adantr 274 . . . . 5
43 mertens.8 . . . . . 6
4443adantr 274 . . . . 5
45 simpr 109 . . . . 5
46 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12
4746cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11
48 fvoveq1 5797 . . . . . . . . . . . 12
4948sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . 11
5047, 49syl5eq 2184 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5425 . . . . . . . . 9
5251eqeq2d 2151 . . . . . . . 8
5352cbvrexv 2655 . . . . . . 7
54 eqeq1 2146 . . . . . . . 8
5554rexbidv 2438 . . . . . . 7
5653, 55syl5bb 191 . . . . . 6
5756cbvabv 2264 . . . . 5
58 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12
5958cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11
6059oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10
6160oveq2i 5785 . . . . . . . . 9
6261breq2i 3937 . . . . . . . 8
63 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvsumv 11142 . . . . . . . . . . 11
65 fvoveq1 5797 . . . . . . . . . . . 12
6665sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . 11
6764, 66syl5eq 2184 . . . . . . . . . 10
6867fveq2d 5425 . . . . . . . . 9
6968breq1d 3939 . . . . . . . 8
7062, 69syl5bb 191 . . . . . . 7
7170cbvralv 2654 . . . . . 6
7271anbi2i 452 . . . . 5
7334, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72mertenslem2 11317 . . . 4
74 eluznn0 9405 . . . . . . . . 9
75 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . . 14
76 nn0z 9086 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14
7875, 77fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . 13
79 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . 14
80 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14
821, 2, 16, 17, 43isumcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
8433, 12eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . 14
8679, 81, 85syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13
87 0zd 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15
8877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8981nn0zd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9088, 89zsubcld 9190 . . . . . . . . . . . . . . 15
9187, 90fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . . 14
92 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9380ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9492, 93, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9792, 96, 18syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
9894, 97mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . 14
9991, 98fsumcl 11181 . . . . . . . . . . . . 13
10078, 86, 99fsumsub 11233 . . . . . . . . . . . 12
10179, 81, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
10282ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
10391, 97fsumcl 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15
104101, 102, 103subdid 8188 . . . . . . . . . . . . . 14
105 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 fznn0sub 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 peano2nn0 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11079, 16sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11179, 17sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11243ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1131, 105, 109, 110, 111, 112isumsplit 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114107nn0cnd 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115 ax-1cn 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
116 pncan 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117114, 115, 116sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118117oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118sumeq1d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12092, 96, 16syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120sumeq2dv 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122119, 121eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124113, 123eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126109nn0zd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128 eluznn0 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129109, 128sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130127, 129, 16syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131127, 129, 17syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132110, 111eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1331, 109, 132iserex 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134112, 133mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135105, 126, 130, 131, 134isumcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136103, 135pncan2d 8087 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137125, 136eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14
13912, 83mulcomd 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14033oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141139, 140eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14279, 81, 141syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
14391, 101, 97fsummulc2 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15
144142, 143oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . 14
145104, 138, 1443eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . . . 13
146145sumeq2dv 11149 . . . . . . . . . . . 12
147 elnn0uz 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148147biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . 15
14982ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150148, 84sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152149, 151mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156154, 155fvmptg 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15
157148, 152, 156syl2an2 583 . . . . . . . . . . . . . 14
158 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158, 1eleqtrdi 2232 . . . . . . . . . . . . . 14
160157, 159, 152fsum3ser 11178 . . . . . . . . . . . . 13
161 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164163oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
16598anasss 396 . . . . . . . . . . . . . . 15
166162, 164, 165, 77fisum0diag2 11228 . . . . . . . . . . . . . 14
167 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168 elnn0uz 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169168biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170169adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171167, 170, 5syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
172167, 170, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15
173171, 159, 172fsum3ser 11178 . . . . . . . . . . . . . 14
174166, 173eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13
175160, 174oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . 12
176100, 146, 1753eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . 11
177176fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10
178177breq1d 3939 . . . . . . . . 9
17974, 178sylan2 284 . . . . . . . 8
180179anassrs 397 . . . . . . 7
181180ralbidva 2433 . . . . . 6
182181rexbidva 2434 . . . . 5
183182adantr 274 . . . 4
18473, 183mpbird 166 . . 3
185184ralrimiva 2505 . 2
186 mertens.f . . . . 5
1871, 2, 33, 12, 186isumclim2 11203 . . . 4
18884ralrimiva 2505 . . . . 5
189 fveq2 5421 . . . . . . 7
190189eleq1d 2208 . . . . . 6
191190rspccva 2788 . . . . 5
192188, 191sylan 281 . . . 4
19382adantr 274 . . . . . 6
194193, 192mulcld 7798 . . . . 5
195 fveq2 5421 . . . . . . 7
196195oveq2d 5790 . . . . . 6
197196, 155fvmptg 5497 . . . . 5
198158, 194, 197syl2anc 408 . . . 4
1991, 2, 82, 187, 192, 198isermulc2 11121 . . 3
2001, 2, 33, 12, 186isumcl 11206 . . . 4
20182, 200mulcomd 7799 . . 3
202199, 201breqtrd 3954 . 2
2031, 2, 4, 32, 185, 2022clim 11082 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  cab 2125  wral 2416  wrex 2417  cvv 2686   class class class wbr 3929   cmpt 3989   cdm 4539  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  cc0 7632  c1 7633   caddc 7635   cmul 7637   clt 7812   cmin 7945   cdiv 8444  cn 8732  c2 8783  cn0 8989  cz 9066  cuz 9338  crp 9453  cfz 9802   cseq 10230  cabs 10781   cli 11059  csu 11134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135 This theorem is referenced by:  efaddlem  11392
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