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Theorem mertensabs 10992
 Description: Mertens' theorem. If is an absolutely convergent series and is convergent, then (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1
mertens.2
mertens.3
mertens.4
mertens.5
mertens.6
mertens.7
mertens.8
mertens.f
Assertion
Ref Expression
mertensabs
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mertensabs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9114 . 2
2 0zd 8823 . 2
3 seqex 9918 . . 3
43a1i 9 . 2
5 mertens.6 . . . . 5
6 0zd 8823 . . . . . . 7
7 nn0z 8831 . . . . . . . 8
87adantl 272 . . . . . . 7
96, 8fzfigd 9899 . . . . . 6
10 simpl 108 . . . . . . . 8
11 elfznn0 9589 . . . . . . . 8
12 mertens.3 . . . . . . . 8
1310, 11, 12syl2an 284 . . . . . . 7
14 fveq2 5318 . . . . . . . . 9
1514eleq1d 2157 . . . . . . . 8
16 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12
17 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . 11
1918ralrimiva 2447 . . . . . . . . . 10
20 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . 12
2120eleq1d 2157 . . . . . . . . . . 11
2221cbvralv 2591 . . . . . . . . . 10
2319, 22sylib 121 . . . . . . . . 9
2423ad2antrr 473 . . . . . . . 8
25 fznn0sub 9532 . . . . . . . . 9
2625adantl 272 . . . . . . . 8
2715, 24, 26rspcdva 2728 . . . . . . 7
2813, 27mulcld 7569 . . . . . 6
299, 28fsumcl 10855 . . . . 5
305, 29eqeltrd 2165 . . . 4
311, 2, 30serf 9961 . . 3
3231ffvelrnda 5448 . 2
33 mertens.1 . . . . . 6
3433adantlr 462 . . . . 5
35 mertens.2 . . . . . 6
3635adantlr 462 . . . . 5
3712adantlr 462 . . . . 5
3816adantlr 462 . . . . 5
3917adantlr 462 . . . . 5
405adantlr 462 . . . . 5
41 mertens.7 . . . . . 6
4241adantr 271 . . . . 5
43 mertens.8 . . . . . 6
4443adantr 271 . . . . 5
45 simpr 109 . . . . 5
46 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . 12
4746cbvsumv 10811 . . . . . . . . . . 11
48 fvoveq1 5689 . . . . . . . . . . . 12
4948sumeq1d 10816 . . . . . . . . . . 11
5047, 49syl5eq 2133 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5322 . . . . . . . . 9
5251eqeq2d 2100 . . . . . . . 8
5352cbvrexv 2592 . . . . . . 7
54 eqeq1 2095 . . . . . . . 8
5554rexbidv 2382 . . . . . . 7
5653, 55syl5bb 191 . . . . . 6
5756cbvabv 2212 . . . . 5
58 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . 12
5958cbvsumv 10811 . . . . . . . . . . 11
6059oveq1i 5676 . . . . . . . . . 10
6160oveq2i 5677 . . . . . . . . 9
6261breq2i 3859 . . . . . . . 8
63 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvsumv 10811 . . . . . . . . . . 11
65 fvoveq1 5689 . . . . . . . . . . . 12
6665sumeq1d 10816 . . . . . . . . . . 11
6764, 66syl5eq 2133 . . . . . . . . . 10
6867fveq2d 5322 . . . . . . . . 9
6968breq1d 3861 . . . . . . . 8
7062, 69syl5bb 191 . . . . . . 7
7170cbvralv 2591 . . . . . 6
7271anbi2i 446 . . . . 5
7334, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72mertenslem2 10991 . . . 4
74 eluznn0 9147 . . . . . . . . 9
75 0zd 8823 . . . . . . . . . . . . . 14
76 nn0z 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14
7875, 77fzfigd 9899 . . . . . . . . . . . . 13
79 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . 14
80 elfznn0 9589 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14
821, 2, 16, 17, 43isumcl 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15
8433, 12eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84mulcld 7569 . . . . . . . . . . . . . 14
8679, 81, 85syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . 13
87 0zd 8823 . . . . . . . . . . . . . . 15
8877adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8981nn0zd 8927 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9088, 89zsubcld 8934 . . . . . . . . . . . . . . 15
9187, 90fzfigd 9899 . . . . . . . . . . . . . 14
92 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9380ad2antlr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9492, 93, 12syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 elfznn0 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9792, 96, 18syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
9894, 97mulcld 7569 . . . . . . . . . . . . . 14
9991, 98fsumcl 10855 . . . . . . . . . . . . 13
10078, 86, 99fsumsub 10907 . . . . . . . . . . . 12
10179, 81, 12syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
10282ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
10391, 97fsumcl 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15
104101, 102, 103subdid 7953 . . . . . . . . . . . . . 14
105 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 fznn0sub 9532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 peano2nn0 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11079, 16sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11179, 17sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11243ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1131, 105, 109, 110, 111, 112isumsplit 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114107nn0cnd 8789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115 ax-1cn 7499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
116 pncan 7749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117114, 115, 116sylancl 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118117oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118sumeq1d 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12092, 96, 16syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120sumeq2dv 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122119, 121eqtr4d 2124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124113, 123eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126109nn0zd 8927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128 eluznn0 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129109, 128sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130127, 129, 16syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131127, 129, 17syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132110, 111eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1331, 109, 132iserex 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134112, 133mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135105, 126, 130, 131, 134isumcl 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136103, 135pncan2d 7856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137125, 136eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . 14
13912, 83mulcomd 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14033oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141139, 140eqtr4d 2124 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14279, 81, 141syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
14391, 101, 97fsummulc2 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15
144142, 143oveq12d 5684 . . . . . . . . . . . . . 14
145104, 138, 1443eqtr3rd 2130 . . . . . . . . . . . . 13
146145sumeq2dv 10818 . . . . . . . . . . . 12
147 elnn0uz 9117 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148147biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . 15
14982ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150148, 84sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152149, 151mulcld 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156154, 155fvmptg 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15
157148, 152, 156syl2an2 562 . . . . . . . . . . . . . 14
158 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158, 1syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . . . . 14
160157, 159, 152fsum3ser 10852 . . . . . . . . . . . . 13
161 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164163oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15
16598anasss 392 . . . . . . . . . . . . . . 15
166162, 164, 165, 77fisum0diag2 10902 . . . . . . . . . . . . . 14
167 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168 elnn0uz 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169168biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170169adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171167, 170, 5syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
172167, 170, 29syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
173171, 159, 172fsum3ser 10852 . . . . . . . . . . . . . 14
174166, 173eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . 13
175160, 174oveq12d 5684 . . . . . . . . . . . 12
176100, 146, 1753eqtr3rd 2130 . . . . . . . . . . 11
177176fveq2d 5322 . . . . . . . . . 10
178177breq1d 3861 . . . . . . . . 9
17974, 178sylan2 281 . . . . . . . 8
180179anassrs 393 . . . . . . 7
181180ralbidva 2377 . . . . . 6
182181rexbidva 2378 . . . . 5
183182adantr 271 . . . 4
18473, 183mpbird 166 . . 3
185184ralrimiva 2447 . 2
186 mertens.f . . . . 5
1871, 2, 33, 12, 186isumclim2 10877 . . . 4
18884ralrimiva 2447 . . . . 5
189 fveq2 5318 . . . . . . 7
190189eleq1d 2157 . . . . . 6
191190rspccva 2722 . . . . 5
192188, 191sylan 278 . . . 4
19382adantr 271 . . . . . 6
194193, 192mulcld 7569 . . . . 5
195 fveq2 5318 . . . . . . 7
196195oveq2d 5682 . . . . . 6
197196, 155fvmptg 5393 . . . . 5
198158, 194, 197syl2anc 404 . . . 4
1991, 2, 82, 187, 192, 198isermulc2 10790 . . 3
2001, 2, 33, 12, 186isumcl 10880 . . . 4
20182, 200mulcomd 7570 . . 3
202199, 201breqtrd 3875 . 2
2031, 2, 4, 32, 185, 2022clim 10750 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1290   wcel 1439  cab 2075  wral 2360  wrex 2361  cvv 2620   class class class wbr 3851   cmpt 3905   cdm 4452  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7409  cc0 7411  c1 7412   caddc 7414   cmul 7416   clt 7583   cmin 7714   cdiv 8200  cn 8483  c2 8534  cn0 8734  cz 8811  cuz 9080  crp 9195  cfz 9485   cseq 9913  cabs 10491   cli 10727  csu 10803 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-disj 3829  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804 This theorem is referenced by:  efaddlem  11025
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