Theorem mertensabs 11500

Description: Mertens' theorem. If A ( j ) is an absolutely convergent series and B ( k ) is convergent, then ( sum_ j e. NN0 A ( j ) x. sum_ k e. NN0 B ( k ) ) = sum_ k e. NN0 sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A ( j ) x. B ( k - j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.f	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
mertensabs	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Distinct variable groups:   B, j   j, k, G   ph, j, k   A, k   j, K, k   j, F   k, H

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   F( k)   H( j)

Proof of Theorem mertensabs

Dummy variables m n s x y z i l u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9521	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 9224	. 2 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		seqex 10403	. . 3 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
5		mertens.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
6		0zd 9224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
7		nn0z 9232	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10387	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
10		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ph )
11		elfznn0 10070	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
12		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
14		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( k - j ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( k - j ) ) )
15	14	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( i = ( k - j ) -> ( ( G ` i ) e. CC <-> ( G ` ( k - j ) ) e. CC ) )
16		mertens.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
17		mertens.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
18	16, 17	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
19	18	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC )
20		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( G ` k ) = ( G ` i ) )
21	20	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( G ` k ) e. CC <-> ( G ` i ) e. CC ) )
22	21	cbvralv 2696	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN0 ( G ` k ) e. CC <-> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
23	19, 22	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
24	23	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. i e. NN0 ( G ` i ) e. CC )
25		fznn0sub 10013	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
26	25	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
27	15, 24, 26	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
28	13, 27	mulcld 7940	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
29	9, 28	fsumcl 11363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
30	5, 29	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) e. CC )
31	1, 2, 30	serf 10430	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) : NN0 --> CC )
32	31	ffvelrnda 5631	. 2 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , H ) ` m ) e. CC )
33		mertens.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
34	33	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
35		mertens.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
36	35	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
37	12	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
38	16	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
39	17	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
40	5	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
41		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
42	41	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
43		mertens.8	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
44	43	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
46		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = k -> ( G ` l ) = ( G ` k ) )
47	46	cbvsumv 11324	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k )
48		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
49	48	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
50	47, 49	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
51	50	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
52	51	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
53	52	cbvrexv 2697	. . . . . . 7 |- ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
54		eqeq1 2177	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
55	54	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( u = z -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
56	53, 55	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
57	56	cbvabv 2295	. . . . 5 |- { u | E. i e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) u = ( abs ` sum_ l e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) ( G ` l ) ) } = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
58		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( K ` i ) = ( K ` j ) )
59	58	cbvsumv 11324	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. NN0 ( K ` i ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
60	59	oveq1i 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
61	60	oveq2i 5864	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) = ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
62	61	breq2i 3997	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
63		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( G ` i ) = ( G ` k ) )
64	63	cbvsumv 11324	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k )
65		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
66	65	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
67	64, 66	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
68	67	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( u = n -> ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
69	68	breq1d 3999	. . . . . . . 8 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
70	62, 69	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( u = n -> ( ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
71	70	cbvralv 2696	. . . . . 6 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
72	71	anbi2i 454	. . . . 5 |- ( ( s e. NN /\ A. u e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ i e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ( G ` i ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ i e. NN0 ( K ` i ) + 1 ) ) ) <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( x / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
73	34, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 57, 72	mertenslem2 11499	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x )
74		eluznn0 9558	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> m e. NN0 )
75		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
76		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> m e. ZZ )
77	76	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ZZ )
78	75, 77	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
79		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
80		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
81	80	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. NN0 )
82	1, 2, 16, 17, 43	isumcl 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
84	33, 12	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) e. CC )
85	83, 84	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
86	79, 81, 85	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
87		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 e. ZZ )
88	77	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> m e. ZZ )
89	81	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> j e. ZZ )
90	88, 89	zsubcld 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
91	87, 90	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( m - j ) ) e. Fin )
92		simplll 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ph )
93	80	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> j e. NN0 )
94	92, 93, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> A e. CC )
95		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... ( m - j ) ) -> k e. NN0 )
96	95	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> k e. NN0 )
97	92, 96, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
98	94, 97	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
99	91, 98	fsumcl 11363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
100	78, 86, 99	fsumsub 11415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
101	79, 81, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
102	82	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
103	91, 97	fsumcl 11363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) e. CC )
104	101, 102, 103	subdid 8333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) )
105		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
106		fznn0sub 10013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
108		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
110	79, 16	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
111	79, 17	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
112	43	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
113	1, 105, 109, 110, 111, 112	isumsplit 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
114	107	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. CC )
115		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
116		pncan 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m - j ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
117	114, 115, 116	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) = ( m - j ) )
118	117	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( m - j ) ) )
119	118	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
120	92, 96, 16	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
121	120	sumeq2dv 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) B )
122	119, 121	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) )
123	122	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( ( m - j ) + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
124	113, 123	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
125	124	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) )
126	109	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
127		simplll 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
128		eluznn0 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
129	109, 128	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
130	127, 129, 16	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
131	127, 129, 17	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
132	110, 111	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
133	1, 109, 132	iserex 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
134	112, 133	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
135	105, 126, 130, 131, 134	isumcl 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
136	103, 135	pncan2d 8232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
137	125, 136	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
138	137	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. ( sum_ k e. NN0 B - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
139	12, 83	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
140	33	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. A ) )
141	139, 140	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
142	79, 81, 141	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. NN0 B ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
143	91, 101, 97	fsummulc2 11411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) )
144	142, 143	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( A x. sum_ k e. NN0 B ) - ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( G ` k ) ) ) = ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) )
145	104, 138, 144	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
146	145	sumeq2dv 11331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
147		elnn0uz 9524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
148	147	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> j e. NN0 )
149	82	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
150	148, 84	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
151	150	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
152	149, 151	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC )
153		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( F ` n ) = ( F ` j ) )
154	153	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
155		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) )
156	154, 155	fvmptg 5572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
157	148, 152, 156	syl2an2 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` j ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) )
158		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
159	158, 1	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
160	157, 159, 152	fsum3ser 11360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) )
161		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
162	161	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` k ) ) )
163		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k - j ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( k - j ) ) )
164	163	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k - j ) -> ( A x. ( G ` n ) ) = ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
165	98	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ ( j e. ( 0 ... m ) /\ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ) ) -> ( A x. ( G ` k ) ) e. CC )
166	162, 164, 165, 77	fisum0diag2 11410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
167		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ph )
168		elnn0uz 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
169	168	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
171	167, 170, 5	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
172	167, 170, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
173	171, 159, 172	fsum3ser 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
174	166, 173	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) = ( seq 0 ( + , H ) ` m ) )
175	160, 174	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... m ) ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` j ) ) - sum_ j e. ( 0 ... m ) sum_ k e. ( 0 ... ( m - j ) ) ( A x. ( G ` k ) ) ) = ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) )
176	100, 146, 175	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
177	176	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
178	177	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
179	74, 178	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
180	179	anassrs 398	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
181	180	ralbidva 2466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
182	181	rexbidva 2467	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
183	182	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x <-> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < x ) )
184	73, 183	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
185	184	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ` m ) - ( seq 0 ( + , H ) ` m ) ) ) < x )
186		mertens.f	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
187	1, 2, 33, 12, 186	isumclim2 11385	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> sum_ j e. NN0 A )
188	84	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC )
189		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( F ` j ) = ( F ` m ) )
190	189	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( ( F ` j ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
191	190	rspccva 2833	. . . . 5 |- ( ( A. j e. NN0 ( F ` j ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
192	188, 191	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( F ` m ) e. CC )
193	82	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
194	193, 192	mulcld 7940	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC )
195		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
196	195	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
197	196, 155	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
198	158, 194, 197	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` m ) ) )
199	1, 2, 82, 187, 192, 198	isermulc2 11303	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) )
200	1, 2, 33, 12, 186	isumcl 11388	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 A e. CC )
201	82, 200	mulcomd 7941	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. NN0 B x. sum_ j e. NN0 A ) = ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
202	199, 201	breqtrd 4015	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( sum_ k e. NN0 B x. ( F ` n ) ) ) ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )
203	1, 2, 4, 32, 185, 202	2clim 11264	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 A x. sum_ k e. NN0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   dom cdm 4611   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   ...cfz 9965   seqcseq 10401   abscabs 10961   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  efaddlem  11637