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Theorem bccl 10453
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem bccl
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
21eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( 0  _C  k )  e. 
NN0 ) )
32ralbidv 2412 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0 ) )
4 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
54eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
65ralbidv 2412 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
7 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
87eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( (
n  +  1 )  _C  k )  e. 
NN0 ) )
98ralbidv 2412 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
10 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
1110eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
1211ralbidv 2412 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( m  _C  k
)  e.  NN0  <->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 ) )
13 elfz1eq 9755 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
1413adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  k  =  0 )
15 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
16 0nn0 8943 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
17 bcn0 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
19 1nn0 8944 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
2018, 19eqeltri 2188 . . . . . . 7  |-  ( 0  _C  0 )  e. 
NN0
2115, 20syl6eqel 2206 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
2214, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
23 bcval3 10437 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2416, 23mp3an1 1285 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  =  0 )
2524, 16syl6eqel 2206 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  (
0 ... 0 ) )  ->  ( 0  _C  k )  e.  NN0 )
26 0zd 9017 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  ->  0  e.  ZZ )
27 fzdcel 9760 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  k  e.  (
0 ... 0 ) )
28 exmiddc 804 . . . . . . 7  |-  (DECID  k  e.  ( 0 ... 0
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0
)  \/  -.  k  e.  ( 0 ... 0
) ) )
2927, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... 0 )  \/ 
-.  k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
3026, 26, 29mpd3an23 1300 . . . . 5  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( 0 ... 0 )  \/ 
-.  k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
3122, 25, 30mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  _C  k )  e.  NN0 )
3231rgen 2460 . . 3  |-  A. k  e.  ZZ  ( 0  _C  k )  e.  NN0
33 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
n  _C  k )  =  ( n  _C  m ) )
3433eleq1d 2184 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( n  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  m )  e.  NN0 ) )
3534cbvralv 2629 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  <->  A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
36 bcpasc 10452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
3736adantlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
38 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
3938eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  k )  e.  NN0 ) )
4039rspccva 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  k
)  e.  NN0 )
41 peano2zm 9043 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
42 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )
4342eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( n  _C  m
)  e.  NN0  <->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
4443rspccva 2760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4541, 44sylan2 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  (
k  -  1 ) )  e.  NN0 )
4640, 45nn0addcld 8985 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4746adantll 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  _C  k )  +  ( n  _C  (
k  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4837, 47eqeltrrd 2193 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
4948ralrimiva 2480 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
5049ex 114 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  ZZ  (
n  _C  m )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
5135, 50syl5bi 151 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ZZ  (
n  _C  k )  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( n  +  1 )  _C  k )  e.  NN0 ) )
523, 6, 9, 12, 32, 51nn0ind 9116 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
53 oveq2 5748 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  K
) )
5453eleq1d 2184 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( N  _C  k
)  e.  NN0  <->  ( N  _C  K )  e.  NN0 ) )
5554rspccva 2760 . 2  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( N  _C  k
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
5652, 55sylan 279 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   NN0cn0 8928   ZZcz 9005   ...cfz 9730    _C cbc 10433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-seqfrec 10159  df-fac 10412  df-bc 10434
This theorem is referenced by:  bccl2  10454  bcn2m1  10455  bcn2p1  10456  binomlem  11192  bcxmas  11198
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