Theorem bccl 11154

Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bccl	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )

Proof of Theorem bccl

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
2	1	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
3	2	ralbidv 2544	. . 3 |- ( m = 0 -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
4		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
5	4	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
6	5	ralbidv 2544	. . 3 |- ( m = n -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 ) )
7		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
8	7	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
9	8	ralbidv 2544	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
10		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
11	10	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( N _C k ) e. NN0 ) )
12	11	ralbidv 2544	. . 3 |- ( m = N -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 ) )
13		elfz1eq 10389	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> k = 0 )
15		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
16		0nn0 9528	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
17		bcn0 11142	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
19		1nn0 9529	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
20	18, 19	eqeltri 2307	. . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) e. NN0
21	15, 20	eqeltrdi 2325	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
22	14, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
23		bcval3 11138	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
24	16, 23	mp3an1 1361	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
25	24, 16	eqeltrdi 2325	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
26		0zd 9606	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> 0 e. ZZ )
27		fzdcel 10394	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k e. ( 0 ... 0 ) )
28		exmiddc 844	. . . . . . 7 |- (DECID k e. ( 0 ... 0 ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
30	26, 26, 29	mpd3an23 1376	. . . . 5 |- ( k e. ZZ -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
31	22, 25, 30	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
32	31	rgen 2597	. . 3 |- A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0
33		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( n _C k ) = ( n _C m ) )
34	33	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( n _C k ) e. NN0 <-> ( n _C m ) e. NN0 ) )
35	34	cbvralv 2780	. . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 <-> A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 )
36		bcpasc 11153	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
38		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( n _C m ) = ( n _C k ) )
39	38	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
40	39	rspccva 2922	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C k ) e. NN0 )
41		peano2zm 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
42		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( n _C m ) = ( n _C ( k - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) )
44	43	rspccva 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
45	41, 44	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
46	40, 45	nn0addcld 9574	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
47	46	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
48	37, 47	eqeltrrd 2312	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
49	48	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
50	49	ex 115	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
51	35, 50	biimtrid 152	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
52	3, 6, 9, 12, 32, 51	nn0ind 9710	. 2 |- ( N e. NN0 -> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 )
53		oveq2 6066	. . . 4 |- ( k = K -> ( N _C k ) = ( N _C K ) )
54	53	eleq1d 2303	. . 3 |- ( k = K -> ( ( N _C k ) e. NN0 <-> ( N _C K ) e. NN0 ) )
55	54	rspccva 2922	. 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
56	52, 55	sylan 283	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361   _C cbc 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-fac 11113  df-bc 11135

This theorem is referenced by:  bccl2  11155  bcn2m1  11157  bcn2p1  11158  binomlem  12194  bcxmas  12200