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Theorem bccl 10976
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Proof of Theorem bccl
Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6001 . . . . 5 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
21eleq1d 2298 . . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
32ralbidv 2530 . . 3 |- ( m = 0 -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
4 oveq1 6001 . . . . 5 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
54eleq1d 2298 . . . 4 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
65ralbidv 2530 . . 3 |- ( m = n -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 ) )
7 oveq1 6001 . . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
87eleq1d 2298 . . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
98ralbidv 2530 . . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
10 oveq1 6001 . . . . 5 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
1110eleq1d 2298 . . . 4 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( N _C k ) e. NN0 ) )
1211ralbidv 2530 . . 3 |- ( m = N -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 ) )
13 elfz1eq 10219 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
1413adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> k = 0 )
15 oveq2 6002 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
16 0nn0 9372 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
17 bcn0 10964 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
19 1nn0 9373 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
2018, 19eqeltri 2302 . . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) e. NN0
2115, 20eqeltrdi 2320 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
2214, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
23 bcval3 10960 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2416, 23mp3an1 1358 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2524, 16eqeltrdi 2320 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
26 0zd 9446 . . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> 0 e. ZZ )
27 fzdcel 10224 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k e. ( 0 ... 0 ) )
28 exmiddc 841 . . . . . . 7 |- (DECID k e. ( 0 ... 0 ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
2927, 28syl 14 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3026, 26, 29mpd3an23 1373 . . . . 5 |- ( k e. ZZ -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3122, 25, 30mpjaodan 803 . . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
3231rgen 2583 . . 3 |- A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0
33 oveq2 6002 . . . . . 6 |- ( k = m -> ( n _C k ) = ( n _C m ) )
3433eleq1d 2298 . . . . 5 |- ( k = m -> ( ( n _C k ) e. NN0 <-> ( n _C m ) e. NN0 ) )
3534cbvralv 2765 . . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 <-> A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 )
36 bcpasc 10975 . . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
3736adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
38 oveq2 6002 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( n _C m ) = ( n _C k ) )
3938eleq1d 2298 . . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
4039rspccva 2906 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C k ) e. NN0 )
41 peano2zm 9472 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
42 oveq2 6002 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( n _C m ) = ( n _C ( k - 1 ) ) )
4342eleq1d 2298 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) )
4443rspccva 2906 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4541, 44sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4640, 45nn0addcld 9414 . . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4746adantll 476 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4837, 47eqeltrrd 2307 . . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
4948ralrimiva 2603 . . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
5049ex 115 . . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
5135, 50biimtrid 152 . . 3 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
523, 6, 9, 12, 32, 51nn0ind 9549 . 2 |- ( N e. NN0 -> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 )
53 oveq2 6002 . . . 4 |- ( k = K -> ( N _C k ) = ( N _C K ) )
5453eleq1d 2298 . . 3 |- ( k = K -> ( ( N _C k ) e. NN0 <-> ( N _C K ) e. NN0 ) )
5554rspccva 2906 . 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
5652, 55sylan 283 1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508  (class class class)co 5994   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ...cfz 10192   _C cbc 10956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-seqfrec 10657  df-fac 10935  df-bc 10957
This theorem is referenced by:  bccl2  10977  bcn2m1  10978  bcn2p1  10979  binomlem  11980  bcxmas  11986
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