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Theorem bccl 11128
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Proof of Theorem bccl
Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6056 . . . . 5 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
21eleq1d 2301 . . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
32ralbidv 2542 . . 3 |- ( m = 0 -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
4 oveq1 6056 . . . . 5 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
54eleq1d 2301 . . . 4 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
65ralbidv 2542 . . 3 |- ( m = n -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 ) )
7 oveq1 6056 . . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
87eleq1d 2301 . . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
98ralbidv 2542 . . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
10 oveq1 6056 . . . . 5 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
1110eleq1d 2301 . . . 4 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( N _C k ) e. NN0 ) )
1211ralbidv 2542 . . 3 |- ( m = N -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 ) )
13 elfz1eq 10368 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
1413adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> k = 0 )
15 oveq2 6057 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
16 0nn0 9510 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
17 bcn0 11116 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
19 1nn0 9511 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
2018, 19eqeltri 2305 . . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) e. NN0
2115, 20eqeltrdi 2323 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
2214, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
23 bcval3 11112 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2416, 23mp3an1 1361 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2524, 16eqeltrdi 2323 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
26 0zd 9588 . . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> 0 e. ZZ )
27 fzdcel 10373 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k e. ( 0 ... 0 ) )
28 exmiddc 844 . . . . . . 7 |- (DECID k e. ( 0 ... 0 ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
2927, 28syl 14 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3026, 26, 29mpd3an23 1376 . . . . 5 |- ( k e. ZZ -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3122, 25, 30mpjaodan 806 . . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
3231rgen 2595 . . 3 |- A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0
33 oveq2 6057 . . . . . 6 |- ( k = m -> ( n _C k ) = ( n _C m ) )
3433eleq1d 2301 . . . . 5 |- ( k = m -> ( ( n _C k ) e. NN0 <-> ( n _C m ) e. NN0 ) )
3534cbvralv 2777 . . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 <-> A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 )
36 bcpasc 11127 . . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
3736adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
38 oveq2 6057 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( n _C m ) = ( n _C k ) )
3938eleq1d 2301 . . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
4039rspccva 2919 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C k ) e. NN0 )
41 peano2zm 9614 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
42 oveq2 6057 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( n _C m ) = ( n _C ( k - 1 ) ) )
4342eleq1d 2301 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) )
4443rspccva 2919 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4541, 44sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4640, 45nn0addcld 9556 . . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4746adantll 476 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4837, 47eqeltrrd 2310 . . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
4948ralrimiva 2615 . . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
5049ex 115 . . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
5135, 50biimtrid 152 . . 3 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
523, 6, 9, 12, 32, 51nn0ind 9691 . 2 |- ( N e. NN0 -> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 )
53 oveq2 6057 . . . 4 |- ( k = K -> ( N _C k ) = ( N _C K ) )
5453eleq1d 2301 . . 3 |- ( k = K -> ( ( N _C k ) e. NN0 <-> ( N _C K ) e. NN0 ) )
5554rspccva 2919 . 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
5652, 55sylan 283 1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   - cmin 8443   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ...cfz 10341   _C cbc 11108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-seqfrec 10809  df-fac 11087  df-bc 11109
This theorem is referenced by:  bccl2  11129  bcn2m1  11130  bcn2p1  11131  binomlem  12165  bcxmas  12171
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