Theorem issubg4m 13946

Description: A subgroup is an inhabited subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	|- B = ( Base ` G )
issubg4.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
issubg4m	|- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, w, B   x, G, y, w   x, .- , y   x, S, y, w

Allowed substitution hint:   .- ( w)

Proof of Theorem issubg4m

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 13927	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	3	subg0cl 13935	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
5		elex2 2832	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> E. w w e. S )
7		issubg4.p	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
8	7	subgsubcl 13938	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .- y ) e. S )
9	8	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .- y ) e. S )
10	9	ralrimivva 2626	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
11	2, 6, 10	3jca 1204	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) )
12		simplrl 537	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S C_ B )
13		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. w w e. S )
14		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x .- y ) = ( ( 0g ` G ) .- y ) )
15	14	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
16	15	ralbidv 2544	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
18		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> E. w w e. S )
19		r19.2m 3600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
20	18, 19	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
21		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( x .- y ) = ( x .- x ) )
22	21	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- x ) e. S ) )
23	22	rspcv 2919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> S C_ B )
26	25	sselda 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
27	1, 3, 7	grpsubid 13839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
28	27	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
29	26, 28	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
30	29	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x .- x ) e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
31	24, 30	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
32	31	rexlimdva 2662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> ( E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
34	20, 33	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
35	16, 17, 34	rspcdva 2928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S )
36	1, 3	grpidcl 13784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( 0g ` G ) e. B )
38	25	sselda 3242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> y e. B )
39		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
40		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
41	1, 39, 40, 7	grpsubval 13801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0g ` G ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
42	37, 38, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
43		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> G e. Grp )
44	1, 40	grpinvcl 13803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
45	43, 38, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
46	1, 39, 3	grplid 13786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
48	42, 47	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
49	48	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
50	49	ralbidva 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
52	35, 51	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S )
53		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( invg ` G ) ` y ) = ( ( invg ` G ) ` z ) )
54	53	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S ) )
55	54	rspccva 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S /\ z e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
56	55	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
57		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .- y ) = ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
58	57	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
59	58	rspcv 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
60	56, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
61		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> G e. Grp )
62	26	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x e. B )
63	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ B )
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
65	63, 64	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. B )
66	1, 39, 7, 40, 61, 62, 65	grpsubinv 13828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( x ( +g ` G ) z ) )
67	66	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
68	60, 67	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
69	68	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
70	69	ralrimdva 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
71	70	ralimdva 2611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
72	71	impancom 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
73	52, 72	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S )
74		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
75	74	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
76	75	ralbidv 2544	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
77	76	cbvralvw 2784	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
78	73, 77	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
79		r19.26 2671	. . . . . . 7 |- ( A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) <-> ( A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
80	78, 52, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
81	12, 13, 80	3jca 1204	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) )
82	81	exp42 371	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S C_ B -> ( E. w w e. S -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) ) ) )
83	82	3impd 1248	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
84	1, 39, 40	issubg2m 13942	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
85	83, 84	sylibrd 169	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
86	11, 85	impbid2 143	1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Grpcgrp 13755   invgcminusg 13756   -gcsg 13757  SubGrpcsubg 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923

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