Theorem issubg4m 13910

Description: A subgroup is an inhabited subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	|- B = ( Base ` G )
issubg4.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
issubg4m	|- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, w, B   x, G, y, w   x, .- , y   x, S, y, w

Allowed substitution hint:   .- ( w)

Proof of Theorem issubg4m

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgss 13891	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	3	subg0cl 13899	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
5		elex2 2830	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> E. w w e. S )
7		issubg4.p	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
8	7	subgsubcl 13902	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .- y ) e. S )
9	8	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .- y ) e. S )
10	9	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
11	2, 6, 10	3jca 1204	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) )
12		simplrl 537	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S C_ B )
13		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. w w e. S )
14		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x .- y ) = ( ( 0g ` G ) .- y ) )
15	14	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
16	15	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S ) )
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
18		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> E. w w e. S )
19		r19.2m 3596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
20	18, 19	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S )
21		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( x .- y ) = ( x .- x ) )
22	21	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- x ) e. S ) )
23	22	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- x ) e. S ) )
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> S C_ B )
26	25	sselda 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
27	1, 3, 7	grpsubid 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
28	27	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. B ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
29	26, 28	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( x .- x ) = ( 0g ` G ) )
30	29	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x .- x ) e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
31	24, 30	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
32	31	rexlimdva 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> ( E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ E. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
34	20, 33	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
35	16, 17, 34	rspcdva 2926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S )
36	1, 3	grpidcl 13742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( 0g ` G ) e. B )
38	25	sselda 3238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> y e. B )
39		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
40		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
41	1, 39, 40, 7	grpsubval 13759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0g ` G ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
42	37, 38, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
43		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> G e. Grp )
44	1, 40	grpinvcl 13761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
45	43, 38, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
46	1, 39, 3	grplid 13744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
48	42, 47	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .- y ) = ( ( invg ` G ) ` y ) )
49	48	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
50	49	ralbidva 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( 0g ` G ) .- y ) e. S <-> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
52	35, 51	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S )
53		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( invg ` G ) ` y ) = ( ( invg ` G ) ` z ) )
54	53	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. S <-> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S ) )
55	54	rspccva 2920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S /\ z e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
56	55	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S )
57		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .- y ) = ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
58	57	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .- y ) e. S <-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
59	58	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. S -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
60	56, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
61		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> G e. Grp )
62	26	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x e. B )
63	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ B )
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
65	63, 64	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. B )
66	1, 39, 7, 40, 61, 62, 65	grpsubinv 13786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( x ( +g ` G ) z ) )
67	66	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
68	60, 67	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
69	68	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
70	69	ralrimdva 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
71	70	ralimdva 2609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
72	71	impancom 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S ) )
73	52, 72	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S )
74		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
75	74	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
76	75	ralbidv 2542	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) )
77	76	cbvralvw 2782	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. z e. S ( x ( +g ` G ) z ) e. S <-> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
78	73, 77	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
79		r19.26 2669	. . . . . . 7 |- ( A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) <-> ( A. y e. S A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ A. y e. S ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
80	78, 52, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) )
81	12, 13, 80	3jca 1204	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. w w e. S ) ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) )
82	81	exp42 371	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S C_ B -> ( E. w w e. S -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) ) ) )
83	82	3impd 1248	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
84	1, 39, 40	issubg2m 13906	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. y e. S ( A. z e. S ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. S ) ) ) )
85	83, 84	sylibrd 169	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
86	11, 85	impbid2 143	1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. w w e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x .- y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714   -gcsg 13715  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-subg 13887

This theorem is referenced by: (None)