Theorem fsumparts 11814

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	|- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
fsumparts.c	|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
fsumparts.d	|- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
fsumparts.e	|- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
fsumparts.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumparts.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumparts.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   D, k   k, E   j, V   k, W   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   k, X   k, Y   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)   V( k)   W( j)   X( j)   Y( j)   Z( j)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11732	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = 0
2		0m0e0 9150	. . . 4 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2229	. . 3 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = ( 0 - 0 )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> N = M )
5	4	oveq2d 5962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
6		fzo0 10294	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
8	7	sumeq1d 11710	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) )
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz1 10155	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
12		eqtr3 2225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> k = N )
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
14		oveq12 5955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = E /\ V = Z ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
17		oveq12 5955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = D /\ V = Y ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
20	15, 19	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( ( A x. V ) = ( A x. V ) <-> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
21	20	pm5.74da 443	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) ) <-> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) ) )
22		eqidd 2206	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) )
23	21, 22	vtoclg 2833	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
24	23	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
25	11, 24	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
26	25	oveq1d 5961	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) )
27	16	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> A = D )
28	27	eleq1d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
30	29	ralrimiva 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
31	28, 30, 11	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
32	16	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> V = Y )
33	32	eleq1d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( V e. CC <-> Y e. CC ) )
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )
35	34	ralrimiva 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) V e. CC )
36	33, 35, 11	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
37	31, 36	mulcld 8095	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D x. Y ) e. CC )
38	37	subidd 8373	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
39	38	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
40	26, 39	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
41	7	sumeq1d 11710	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) )
42		sum0 11732	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = 0 )
44	40, 43	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( 0 - 0 ) )
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2264	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
46		eluzel2 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
49	48	peano2zd 9500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
50		eluzelz 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
53		fzofig 10579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
55		uzid 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
56		peano2uz 9706	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57		fzoss1 10297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
59	58	sselda 3193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
60		elfzofz 10287	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
61	29, 34	mulcld 8095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
62	60, 61	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
63	62	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
64	59, 63	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
65	54, 64	fsumcl 11744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) e. CC )
66	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> A = E )
67	66	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
68		eluzfz2 10156	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
70	67, 30, 69	rspcdva 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
71	13	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> V = Z )
72	71	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( V e. CC <-> Z e. CC ) )
73	72, 35, 69	rspcdva 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. CC )
74	70, 73	mulcld 8095	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. Z ) e. CC )
75	74	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( E x. Z ) e. CC )
76		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
77		fzp1ss 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
79	78	sselda 3193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
80	61	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
81	79, 80	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
83	76, 81, 82	fsumm1 11760	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
84		fzoval 10272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
86	48	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
87		ax-1cn 8020	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
88		pncan 8280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
89	86, 87, 88	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
90	89	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
92	91	sumeq1d 11710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
93		1zzd 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
95		oveq12 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = C /\ V = X ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 11789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
98	92, 97	eqtr4d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) )
99		fzoval 10272	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
101	100	sumeq1d 11710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
102	101	oveq1d 5961	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2248	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
104	65, 75, 103	comraddd 8231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
105	104	oveq1d 5961	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
106		fzofzp1 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
107	94	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
108	107	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
109	108	rspccva 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
110	30, 106, 109	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
111		elfzofz 10287	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
113	112	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> A = B )
114	113	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
115	114	rspccva 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
116	30, 111, 115	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
117	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> V = X )
118	117	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( V e. CC <-> X e. CC ) )
119	118	rspccva 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> X e. CC )
120	35, 106, 119	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
121	110, 116, 120	subdird 8489	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( C - B ) x. X ) = ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
122	121	sumeq2dv 11712	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
123		fzofig 10579	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
124	47, 51, 123	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
125	110, 120	mulcld 8095	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( C x. X ) e. CC )
126	116, 120	mulcld 8095	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. X ) e. CC )
127	124, 125, 126	fsumsub 11796	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
128	122, 127	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
129	128	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
130	124, 126	fsumcl 11744	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
131	130	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
132	75, 131, 65	subsub3d 8415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2248	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) )
134	133	oveq2d 5962	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) )
135	37	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D x. Y ) e. CC )
136	131, 65	subcld 8385	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) e. CC )
137	75, 135, 136	nnncan1d 8419	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) )
138	65, 135	addcomd 8225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
139		eluzp1m1 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
140	47, 139	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
141	85	eleq2d 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( k e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
142	141	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
143	142, 63	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
144	140, 143, 18	fsum1p 11762	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
145	85	sumeq1d 11710	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
146	101	oveq2d 5962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2248	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
148	138, 147	eqtr4d 2241	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) )
149		oveq12 5955	. . . . . . . 8 |- ( ( A = B /\ V = W ) -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
151	150	cbvsumv 11705	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W )
152	148, 151	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) )
153	152	oveq2d 5962	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
154	131, 65, 135	subsub4d 8416	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) )
155	112	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> V = W )
156	155	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( V e. CC <-> W e. CC ) )
157	156	rspccva 2876	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> W e. CC )
158	35, 111, 157	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> W e. CC )
159	116, 120, 158	subdid 8488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. ( X - W ) ) = ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
160	159	sumeq2dv 11712	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
161	116, 158	mulcld 8095	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. W ) e. CC )
162	124, 126, 161	fsumsub 11796	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
164	163	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2248	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) )
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2243	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
167		uzp1 9684	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
168	9, 167	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
169	45, 166, 168	mpjaodan 800	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   CCcc 7925   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   - cmin 8245   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132  ..^cfzo 10266   sum_csu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by: (None)