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Theorem fsumparts 11420
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
fsumparts.c  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
fsumparts.d  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
fsumparts.e  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
fsumparts.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumparts.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumparts.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumparts  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    D, k   
k, E    j, V    k, W    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)    V( k)    W( j)    X( j)    Y( j)    Z( j)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 11338 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  0
2 0m0e0 8977 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
31, 2eqtr4i 2194 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( 0  -  0 )
4 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  N  =  M )
54oveq2d 5866 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
6 fzo0 10111 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
75, 6eqtrdi 2219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
87sumeq1d 11316 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) ) )
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz1 9974 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
119, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
12 eqtr3 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  k  =  N )
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
14 oveq12 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  E  /\  V  =  Z )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
17 oveq12 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  D  /\  V  =  Y )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( D  x.  Y ) )
1918adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
2015, 19eqeq12d 2185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V )  <-> 
( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) ) )
2120pm5.74da 441 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )  <->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) ) )
22 eqidd 2171 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )
2321, 22vtoclg 2790 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) )
2423imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( M ... N )  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) )
2511, 24sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) )
2625oveq1d 5865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y
) ) )
2716simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
2827eleq1d 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3029ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
3128, 30, 11rspcdva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3216simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  V  =  Y )
3332eleq1d 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( V  e.  CC  <->  Y  e.  CC ) )
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
3534ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC )
3633, 35, 11rspcdva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3731, 36mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  Y
)  e.  CC )
3837subidd 8205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y )
)  =  0 )
3938adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( D  x.  Y
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
4026, 39eqtrd 2203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
417sumeq1d 11316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X ) )
42 sum0 11338 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  0
4341, 42eqtrdi 2219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  0 )
4440, 43oveq12d 5868 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y )
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
) )  =  ( 0  -  0 ) )
453, 8, 443eqtr4a 2229 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
46 eluzel2 9479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
479, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4847adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
4948peano2zd 9324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
50 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
519, 50syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzofig 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
5449, 52, 53syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin )
55 uzid 9488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
56 peano2uz 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
57 fzoss1 10114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5848, 55, 56, 574syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5958sselda 3147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
60 elfzofz 10105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
6129, 34mulcld 7927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6260, 61sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6362adantlr 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6459, 63syldan 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6554, 64fsumcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  e.  CC )
6613simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
6766eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
68 eluzfz2 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
699, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
7067, 30, 69rspcdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7113simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  V  =  Z )
7271eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( V  e.  CC  <->  Z  e.  CC ) )
7372, 35, 69rspcdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
7470, 73mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  Z
)  e.  CC )
7574adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( E  x.  Z )  e.  CC )
76 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
77 fzp1ss 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7848, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
7978sselda 3147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
8061adantlr 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8179, 80syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8213, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  x.  V )  =  ( E  x.  Z ) )
8376, 81, 82fsumm1 11366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
84 fzoval 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8552, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8648zcnd 9322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
87 ax-1cn 7854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
88 pncan 8112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8986, 87, 88sylancl 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )  -  1 )  =  M )
9089oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
9185, 90eqtr4d 2206 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
9291sumeq1d 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( C  x.  X ) )
93 1zzd 9226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
95 oveq12 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  C  /\  V  =  X )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( C  x.  X ) )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  x.  V )  =  ( C  x.  X ) )
9793, 49, 52, 81, 96fsumshftm 11395 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  sum_ j  e.  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( C  x.  X ) )
9892, 97eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V ) )
99 fzoval 10091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
10052, 99syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
101100sumeq1d 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
102101oveq1d 5865 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
10383, 98, 1023eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) ) )
10465, 75, 103comraddd 8063 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
105104oveq1d 5865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
106 fzofzp1 10170 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
10794simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
108107eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
109108rspccva 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
11030, 106, 109syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
111 elfzofz 10105 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
113112simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
114113eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
115114rspccva 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
11630, 111, 115syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
11794simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  V  =  X )
118117eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( V  e.  CC  <->  X  e.  CC ) )
119118rspccva 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  X  e.  CC )
12035, 106, 119syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
121110, 116, 120subdird 8321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
122121sumeq2dv 11318 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
123 fzofig 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
12447, 51, 123syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
125110, 120mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( C  x.  X )  e.  CC )
126116, 120mulcld 7927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  X )  e.  CC )
127124, 125, 126fsumsub 11402 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
128122, 127eqtrd 2203 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
129128adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) ) )
130124, 126fsumcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  e.  CC )
131130adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  e.  CC )
13275, 131, 65subsub3d 8247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  + 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
133105, 129, 1323eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) ) )
134133oveq2d 5866 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) ) )
13537adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  x.  Y )  e.  CC )
136131, 65subcld 8217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  e.  CC )
13775, 135, 136nnncan1d 8251 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) )  -  ( D  x.  Y )
) )
13865, 135addcomd 8057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
139 eluzp1m1 9497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
14047, 139sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
14185eleq2d 2240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( M..^ N )  <-> 
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
142141biimpar 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
143142, 63syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
144140, 143, 18fsum1p 11368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) ) )
14585sumeq1d 11316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
146101oveq2d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
) ) )
147144, 145, 1463eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
148138, 147eqtr4d 2206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V ) )
149 oveq12 5859 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  B  /\  V  =  W )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( B  x.  W ) )
150112, 149syl 14 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  x.  V )  =  ( B  x.  W ) )
151150cbvsumv 11311 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
)
152148, 151eqtrdi 2219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) )
153152oveq2d 5866 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
154131, 65, 135subsub4d 8248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  +  ( D  x.  Y ) ) ) )
155112simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  V  =  W )
156155eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( V  e.  CC  <->  W  e.  CC ) )
157156rspccva 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  W  e.  CC )
15835, 111, 157syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  W  e.  CC )
159116, 120, 158subdid 8320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
160159sumeq2dv 11318 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
161116, 158mulcld 7927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  W )  e.  CC )
162124, 126, 161fsumsub 11402 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
163160, 162eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
164163adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) ) )
165153, 154, 1643eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  = 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) ) )
166134, 137, 1653eqtrrd 2208 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
167 uzp1 9507 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1689, 167syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
16945, 166, 168mpjaodan 793 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   Fincfn 6714   CCcc 7759   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    - cmin 8077   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952  ..^cfzo 10085   sum_csu 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304
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