Proof of Theorem fsumparts
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sum0 11338 |
. . . 4
|
2 | | 0m0e0 8977 |
. . . 4
|
3 | 1, 2 | eqtr4i 2194 |
. . 3
|
4 | | simpr 109 |
. . . . . 6
|
5 | 4 | oveq2d 5866 |
. . . . 5
..^ ..^ |
6 | | fzo0 10111 |
. . . . 5
..^ |
7 | 5, 6 | eqtrdi 2219 |
. . . 4
..^ |
8 | 7 | sumeq1d 11316 |
. . 3
..^
|
9 | | fsumparts.1 |
. . . . . . . 8
|
10 | | eluzfz1 9974 |
. . . . . . . 8
|
11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . . 7
|
12 | | eqtr3 2190 |
. . . . . . . . . . . 12
|
13 | | fsumparts.e |
. . . . . . . . . . . 12
|
14 | | oveq12 5859 |
. . . . . . . . . . . 12
|
15 | 12, 13, 14 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
16 | | fsumparts.d |
. . . . . . . . . . . . 13
|
17 | | oveq12 5859 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
20 | 15, 19 | eqeq12d 2185 |
. . . . . . . . . 10
|
21 | 20 | pm5.74da 441 |
. . . . . . . . 9
|
22 | | eqidd 2171 |
. . . . . . . . 9
|
23 | 21, 22 | vtoclg 2790 |
. . . . . . . 8
|
24 | 23 | imp 123 |
. . . . . . 7
|
25 | 11, 24 | sylan 281 |
. . . . . 6
|
26 | 25 | oveq1d 5865 |
. . . . 5
|
27 | 16 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
|
28 | 27 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . 9
|
29 | | fsumparts.2 |
. . . . . . . . . 10
|
30 | 29 | ralrimiva 2543 |
. . . . . . . . 9
|
31 | 28, 30, 11 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . 8
|
32 | 16 | simprd 113 |
. . . . . . . . . 10
|
33 | 32 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . 9
|
34 | | fsumparts.3 |
. . . . . . . . . 10
|
35 | 34 | ralrimiva 2543 |
. . . . . . . . 9
|
36 | 33, 35, 11 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . 8
|
37 | 31, 36 | mulcld 7927 |
. . . . . . 7
|
38 | 37 | subidd 8205 |
. . . . . 6
|
39 | 38 | adantr 274 |
. . . . 5
|
40 | 26, 39 | eqtrd 2203 |
. . . 4
|
41 | 7 | sumeq1d 11316 |
. . . . 5
..^ |
42 | | sum0 11338 |
. . . . 5
|
43 | 41, 42 | eqtrdi 2219 |
. . . 4
..^ |
44 | 40, 43 | oveq12d 5868 |
. . 3
..^ |
45 | 3, 8, 44 | 3eqtr4a 2229 |
. 2
..^
..^ |
46 | | eluzel2 9479 |
. . . . . . . . . . . 12
|
47 | 9, 46 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
49 | 48 | peano2zd 9324 |
. . . . . . . . 9
|
50 | | eluzelz 9483 |
. . . . . . . . . . 11
|
51 | 9, 50 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
|
52 | 51 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
53 | | fzofig 10375 |
. . . . . . . . 9
..^ |
54 | 49, 52, 53 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
..^ |
55 | | uzid 9488 |
. . . . . . . . . . 11
|
56 | | peano2uz 9529 |
. . . . . . . . . . 11
|
57 | | fzoss1 10114 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
58 | 48, 55, 56, 57 | 4syl 18 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
59 | 58 | sselda 3147 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
60 | | elfzofz 10105 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
61 | 29, 34 | mulcld 7927 |
. . . . . . . . . . 11
|
62 | 60, 61 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
63 | 62 | adantlr 474 |
. . . . . . . . 9
..^
|
64 | 59, 63 | syldan 280 |
. . . . . . . 8
..^
|
65 | 54, 64 | fsumcl 11350 |
. . . . . . 7
..^ |
66 | 13 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
67 | 66 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . 10
|
68 | | eluzfz2 9975 |
. . . . . . . . . . 11
|
69 | 9, 68 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
|
70 | 67, 30, 69 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . 9
|
71 | 13 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . 11
|
72 | 71 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . 10
|
73 | 72, 35, 69 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . 9
|
74 | 70, 73 | mulcld 7927 |
. . . . . . . 8
|
75 | 74 | adantr 274 |
. . . . . . 7
|
76 | | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
|
77 | | fzp1ss 10016 |
. . . . . . . . . . . 12
|
78 | 48, 77 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
79 | 78 | sselda 3147 |
. . . . . . . . . 10
|
80 | 61 | adantlr 474 |
. . . . . . . . . 10
|
81 | 79, 80 | syldan 280 |
. . . . . . . . 9
|
82 | 13, 14 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
|
83 | 76, 81, 82 | fsumm1 11366 |
. . . . . . . 8
|
84 | | fzoval 10091 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
85 | 52, 84 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
86 | 48 | zcnd 9322 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
87 | | ax-1cn 7854 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
88 | | pncan 8112 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
89 | 86, 87, 88 | sylancl 411 |
. . . . . . . . . . . 12
|
90 | 89 | oveq1d 5865 |
. . . . . . . . . . 11
|
91 | 85, 90 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
92 | 91 | sumeq1d 11316 |
. . . . . . . . 9
..^
|
93 | | 1zzd 9226 |
. . . . . . . . . 10
|
94 | | fsumparts.c |
. . . . . . . . . . 11
|
95 | | oveq12 5859 |
. . . . . . . . . . 11
|
96 | 94, 95 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
|
97 | 93, 49, 52, 81, 96 | fsumshftm 11395 |
. . . . . . . . 9
|
98 | 92, 97 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . 8
..^ |
99 | | fzoval 10091 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
100 | 52, 99 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
101 | 100 | sumeq1d 11316 |
. . . . . . . . 9
..^
|
102 | 101 | oveq1d 5865 |
. . . . . . . 8
..^ |
103 | 83, 98, 102 | 3eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
..^
..^ |
104 | 65, 75, 103 | comraddd 8063 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
105 | 104 | oveq1d 5865 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ ..^ |
106 | | fzofzp1 10170 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
107 | 94 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . . 12
|
108 | 107 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . . 11
|
109 | 108 | rspccva 2833 |
. . . . . . . . . 10
|
110 | 30, 106, 109 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ |
111 | | elfzofz 10105 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
112 | | fsumparts.b |
. . . . . . . . . . . . 13
|
113 | 112 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . . 12
|
114 | 113 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . . 11
|
115 | 114 | rspccva 2833 |
. . . . . . . . . 10
|
116 | 30, 111, 115 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ |
117 | 94 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . 12
|
118 | 117 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . . 11
|
119 | 118 | rspccva 2833 |
. . . . . . . . . 10
|
120 | 35, 106, 119 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ |
121 | 110, 116,
120 | subdird 8321 |
. . . . . . . 8
..^ |
122 | 121 | sumeq2dv 11318 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
123 | | fzofig 10375 |
. . . . . . . . 9
..^ |
124 | 47, 51, 123 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
..^ |
125 | 110, 120 | mulcld 7927 |
. . . . . . . 8
..^ |
126 | 116, 120 | mulcld 7927 |
. . . . . . . 8
..^ |
127 | 124, 125,
126 | fsumsub 11402 |
. . . . . . 7
..^ ..^ ..^ |
128 | 122, 127 | eqtrd 2203 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
129 | 128 | adantr 274 |
. . . . 5
..^
..^ ..^ |
130 | 124, 126 | fsumcl 11350 |
. . . . . . 7
..^ |
131 | 130 | adantr 274 |
. . . . . 6
..^ |
132 | 75, 131, 65 | subsub3d 8247 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ ..^ |
133 | 105, 129,
132 | 3eqtr4d 2213 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
134 | 133 | oveq2d 5866 |
. . 3
..^ ..^ ..^ |
135 | 37 | adantr 274 |
. . . 4
|
136 | 131, 65 | subcld 8217 |
. . . 4
..^ ..^ |
137 | 75, 135, 136 | nnncan1d 8251 |
. . 3
..^ ..^ ..^ ..^
|
138 | 65, 135 | addcomd 8057 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
139 | | eluzp1m1 9497 |
. . . . . . . . . 10
|
140 | 47, 139 | sylan 281 |
. . . . . . . . 9
|
141 | 85 | eleq2d 2240 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
142 | 141 | biimpar 295 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
143 | 142, 63 | syldan 280 |
. . . . . . . . 9
|
144 | 140, 143,
18 | fsum1p 11368 |
. . . . . . . 8
|
145 | 85 | sumeq1d 11316 |
. . . . . . . 8
..^
|
146 | 101 | oveq2d 5866 |
. . . . . . . 8
..^ |
147 | 144, 145,
146 | 3eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
148 | 138, 147 | eqtr4d 2206 |
. . . . . 6
..^
..^ |
149 | | oveq12 5859 |
. . . . . . . 8
|
150 | 112, 149 | syl 14 |
. . . . . . 7
|
151 | 150 | cbvsumv 11311 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
152 | 148, 151 | eqtrdi 2219 |
. . . . 5
..^
..^ |
153 | 152 | oveq2d 5866 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ ..^ |
154 | 131, 65, 135 | subsub4d 8248 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ ..^ |
155 | 112 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . 11
|
156 | 155 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . 10
|
157 | 156 | rspccva 2833 |
. . . . . . . . 9
|
158 | 35, 111, 157 | syl2an 287 |
. . . . . . . 8
..^ |
159 | 116, 120,
158 | subdid 8320 |
. . . . . . 7
..^
|
160 | 159 | sumeq2dv 11318 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
161 | 116, 158 | mulcld 7927 |
. . . . . . 7
..^ |
162 | 124, 126,
161 | fsumsub 11402 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
163 | 160, 162 | eqtrd 2203 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
164 | 163 | adantr 274 |
. . . 4
..^
..^ ..^ |
165 | 153, 154,
164 | 3eqtr4d 2213 |
. . 3
..^ ..^ ..^ |
166 | 134, 137,
165 | 3eqtrrd 2208 |
. 2
..^
..^ |
167 | | uzp1 9507 |
. . 3
|
168 | 9, 167 | syl 14 |
. 2
|
169 | 45, 166, 168 | mpjaodan 793 |
1
..^ ..^ |