Proof of Theorem fsumparts
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sum0 11189 |
. . . 4
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![W W](_cw.gif) ![)
)](rp.gif) ![0 0](0.gif) |
2 | | 0m0e0 8856 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![0 0](0.gif) |
3 | 1, 2 | eqtr4i 2164 |
. . 3
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![W W](_cw.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | simpr 109 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 4 | oveq2d 5798 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ..^![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | | fzo0 9976 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ..^![M M](_cm.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) |
7 | 5, 6 | eqtrdi 2189 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | 7 | sumeq1d 11167 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![W W](_cw.gif) ![) )](rp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![W W](_cw.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | | fsumparts.1 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | eluzfz1 9842 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | | eqtr3 2160 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | | fsumparts.e |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![Z Z](_cz.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
14 | | oveq12 5791 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 12, 13, 14 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | | fsumparts.d |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
17 | | oveq12 5791 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![Y Y](_cy.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | 15, 19 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![(
(](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | 20 | pm5.74da 440 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | | eqidd 2141 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![V V](_cv.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 21, 22 | vtoclg 2749 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | 23 | imp 123 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | 11, 24 | sylan 281 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif)
![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 25 | oveq1d 5797 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![( (](lp.gif)
![Y Y](_cy.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 16 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 27 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | | fsumparts.2 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | 29 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | 28, 30, 11 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 16 | simprd 113 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) |
33 | 32 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | | fsumparts.3 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 34 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 33, 35, 11 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 31, 36 | mulcld 7810 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37 | subidd 8085 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![( (](lp.gif)
![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | 38 | adantr 274 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
40 | 26, 39 | eqtrd 2173 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | 7 | sumeq1d 11167 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | | sum0 11189 |
. . . . 5
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![0 0](0.gif) |
43 | 41, 42 | eqtrdi 2189 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | 40, 43 | oveq12d 5800 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif)
![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | 3, 8, 44 | 3eqtr4a 2199 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![W W](_cw.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Z Z](_cz.gif) ![( (](lp.gif) ![Y Y](_cy.gif) ![) )](rp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
46 | | eluzel2 9355 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
47 | 9, 46 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | 48 | peano2zd 9200 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
50 | | eluzelz 9359 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
51 | 9, 50 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
52 | 51 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
53 | | fzofig 10236 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![Fin Fin](_fin.gif) ![) )](rp.gif) |
54 | 49, 52, 53 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![Fin Fin](_fin.gif) ![) )](rp.gif) |
55 | | uzid 9364 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
56 | | peano2uz 9405 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
57 | | fzoss1 9979 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
58 | 48, 55, 56, 57 | 4syl 18 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
59 | 58 | sselda 3102 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
60 | | elfzofz 9970 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
61 | 29, 34 | mulcld 7810 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![... ...](ldots.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
62 | 60, 61 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
63 | 62 | adantlr 469 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
64 | 59, 63 | syldan 280 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ..^![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![V V](_cv.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
65 | 54, 64 | fsumcl 11201 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . 5
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. . . . . . . . . 10
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. . . 4
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. . . . . 6
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. . . . 5
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