Theorem fsumparts 12181

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	|- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
fsumparts.c	|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
fsumparts.d	|- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
fsumparts.e	|- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
fsumparts.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumparts.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumparts.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   D, k   k, E   j, V   k, W   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   k, X   k, Y   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)   V( k)   W( j)   X( j)   Y( j)   Z( j)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 12099	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = 0
2		0m0e0 9366	. . . 4 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2258	. . 3 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = ( 0 - 0 )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> N = M )
5	4	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
6		fzo0 10526	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
8	7	sumeq1d 12076	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) )
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz1 10385	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
12		eqtr3 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> k = N )
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
14		oveq12 6067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = E /\ V = Z ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
17		oveq12 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = D /\ V = Y ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
20	15, 19	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( ( A x. V ) = ( A x. V ) <-> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
21	20	pm5.74da 443	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) ) <-> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) ) )
22		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) )
23	21, 22	vtoclg 2877	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
24	23	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
25	11, 24	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
26	25	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) )
27	16	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> A = D )
28	27	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
30	29	ralrimiva 2617	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
31	28, 30, 11	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
32	16	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> V = Y )
33	32	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( V e. CC <-> Y e. CC ) )
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )
35	34	ralrimiva 2617	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) V e. CC )
36	33, 35, 11	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
37	31, 36	mulcld 8310	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D x. Y ) e. CC )
38	37	subidd 8588	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
39	38	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
40	26, 39	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
41	7	sumeq1d 12076	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) )
42		sum0 12099	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = 0 )
44	40, 43	oveq12d 6076	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( 0 - 0 ) )
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2293	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
46		eluzel2 9876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
49	48	peano2zd 9721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
50		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
53		fzofig 10818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
55		uzid 9886	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
56		peano2uz 9933	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57		fzoss1 10529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
59	58	sselda 3242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
60		elfzofz 10519	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
61	29, 34	mulcld 8310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
62	60, 61	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
63	62	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
64	59, 63	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
65	54, 64	fsumcl 12111	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) e. CC )
66	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> A = E )
67	66	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
68		eluzfz2 10386	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
70	67, 30, 69	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
71	13	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> V = Z )
72	71	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( V e. CC <-> Z e. CC ) )
73	72, 35, 69	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. CC )
74	70, 73	mulcld 8310	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. Z ) e. CC )
75	74	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( E x. Z ) e. CC )
76		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
77		fzp1ss 10429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
79	78	sselda 3242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
80	61	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
81	79, 80	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
83	76, 81, 82	fsumm1 12127	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
84		fzoval 10504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
86	48	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
87		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
88		pncan 8495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
89	86, 87, 88	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
90	89	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
92	91	sumeq1d 12076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
93		1zzd 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
95		oveq12 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = C /\ V = X ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 12156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
98	92, 97	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) )
99		fzoval 10504	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
101	100	sumeq1d 12076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
102	101	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
104	65, 75, 103	comraddd 8446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
105	104	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
106		fzofzp1 10594	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
107	94	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
108	107	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
109	108	rspccva 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
110	30, 106, 109	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
111		elfzofz 10519	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
113	112	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> A = B )
114	113	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
115	114	rspccva 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
116	30, 111, 115	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
117	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> V = X )
118	117	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( V e. CC <-> X e. CC ) )
119	118	rspccva 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> X e. CC )
120	35, 106, 119	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
121	110, 116, 120	subdird 8705	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( C - B ) x. X ) = ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
122	121	sumeq2dv 12078	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
123		fzofig 10818	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
124	47, 51, 123	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
125	110, 120	mulcld 8310	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( C x. X ) e. CC )
126	116, 120	mulcld 8310	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. X ) e. CC )
127	124, 125, 126	fsumsub 12163	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
128	122, 127	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
129	128	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
130	124, 126	fsumcl 12111	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
131	130	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
132	75, 131, 65	subsub3d 8630	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) )
134	133	oveq2d 6074	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) )
135	37	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D x. Y ) e. CC )
136	131, 65	subcld 8600	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) e. CC )
137	75, 135, 136	nnncan1d 8634	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) )
138	65, 135	addcomd 8440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
139		eluzp1m1 9896	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
140	47, 139	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
141	85	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( k e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
142	141	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
143	142, 63	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
144	140, 143, 18	fsum1p 12129	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
145	85	sumeq1d 12076	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
146	101	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
148	138, 147	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) )
149		oveq12 6067	. . . . . . . 8 |- ( ( A = B /\ V = W ) -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
151	150	cbvsumv 12071	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W )
152	148, 151	eqtrdi 2283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) )
153	152	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
154	131, 65, 135	subsub4d 8631	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) )
155	112	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> V = W )
156	155	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( V e. CC <-> W e. CC ) )
157	156	rspccva 2922	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> W e. CC )
158	35, 111, 157	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> W e. CC )
159	116, 120, 158	subdid 8704	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. ( X - W ) ) = ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
160	159	sumeq2dv 12078	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
161	116, 158	mulcld 8310	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. W ) e. CC )
162	124, 126, 161	fsumsub 12163	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
164	163	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2277	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) )
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2272	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
167		uzp1 9906	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
168	9, 167	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
169	45, 166, 168	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by: (None)