Theorem fsumparts 11896

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	|- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
fsumparts.c	|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
fsumparts.d	|- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
fsumparts.e	|- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
fsumparts.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumparts.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumparts.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   D, k   k, E   j, V   k, W   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   k, X   k, Y   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)   V( k)   W( j)   X( j)   Y( j)   Z( j)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11814	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = 0
2		0m0e0 9183	. . . 4 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2231	. . 3 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = ( 0 - 0 )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> N = M )
5	4	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
6		fzo0 10327	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2256	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
8	7	sumeq1d 11792	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) )
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz1 10188	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
12		eqtr3 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> k = N )
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
14		oveq12 5976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = E /\ V = Z ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
17		oveq12 5976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = D /\ V = Y ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
20	15, 19	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( ( A x. V ) = ( A x. V ) <-> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
21	20	pm5.74da 443	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) ) <-> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) ) )
22		eqidd 2208	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) )
23	21, 22	vtoclg 2838	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
24	23	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
25	11, 24	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
26	25	oveq1d 5982	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) )
27	16	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> A = D )
28	27	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
30	29	ralrimiva 2581	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
31	28, 30, 11	rspcdva 2889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
32	16	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> V = Y )
33	32	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( V e. CC <-> Y e. CC ) )
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )
35	34	ralrimiva 2581	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) V e. CC )
36	33, 35, 11	rspcdva 2889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
37	31, 36	mulcld 8128	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D x. Y ) e. CC )
38	37	subidd 8406	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
39	38	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
40	26, 39	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
41	7	sumeq1d 11792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) )
42		sum0 11814	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2256	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = 0 )
44	40, 43	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( 0 - 0 ) )
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2266	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
46		eluzel2 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
49	48	peano2zd 9533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
50		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
53		fzofig 10614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
55		uzid 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
56		peano2uz 9739	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57		fzoss1 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
59	58	sselda 3201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
60		elfzofz 10320	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
61	29, 34	mulcld 8128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
62	60, 61	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
63	62	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
64	59, 63	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
65	54, 64	fsumcl 11826	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) e. CC )
66	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> A = E )
67	66	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
68		eluzfz2 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
70	67, 30, 69	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
71	13	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> V = Z )
72	71	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( V e. CC <-> Z e. CC ) )
73	72, 35, 69	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. CC )
74	70, 73	mulcld 8128	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. Z ) e. CC )
75	74	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( E x. Z ) e. CC )
76		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
77		fzp1ss 10230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
79	78	sselda 3201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
80	61	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
81	79, 80	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
83	76, 81, 82	fsumm1 11842	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
84		fzoval 10305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
86	48	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
87		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
88		pncan 8313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
89	86, 87, 88	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
90	89	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
92	91	sumeq1d 11792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
93		1zzd 9434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
95		oveq12 5976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = C /\ V = X ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 11871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
98	92, 97	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) )
99		fzoval 10305	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
101	100	sumeq1d 11792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
102	101	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
104	65, 75, 103	comraddd 8264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
105	104	oveq1d 5982	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
106		fzofzp1 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
107	94	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
108	107	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
109	108	rspccva 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
110	30, 106, 109	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
111		elfzofz 10320	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
113	112	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> A = B )
114	113	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
115	114	rspccva 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
116	30, 111, 115	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
117	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> V = X )
118	117	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( V e. CC <-> X e. CC ) )
119	118	rspccva 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> X e. CC )
120	35, 106, 119	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
121	110, 116, 120	subdird 8522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( C - B ) x. X ) = ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
122	121	sumeq2dv 11794	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
123		fzofig 10614	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
124	47, 51, 123	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
125	110, 120	mulcld 8128	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( C x. X ) e. CC )
126	116, 120	mulcld 8128	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. X ) e. CC )
127	124, 125, 126	fsumsub 11878	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
128	122, 127	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
129	128	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
130	124, 126	fsumcl 11826	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
131	130	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
132	75, 131, 65	subsub3d 8448	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2250	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) )
134	133	oveq2d 5983	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) )
135	37	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D x. Y ) e. CC )
136	131, 65	subcld 8418	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) e. CC )
137	75, 135, 136	nnncan1d 8452	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) )
138	65, 135	addcomd 8258	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
139		eluzp1m1 9707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
140	47, 139	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
141	85	eleq2d 2277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( k e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
142	141	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
143	142, 63	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
144	140, 143, 18	fsum1p 11844	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
145	85	sumeq1d 11792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
146	101	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
148	138, 147	eqtr4d 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) )
149		oveq12 5976	. . . . . . . 8 |- ( ( A = B /\ V = W ) -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
151	150	cbvsumv 11787	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W )
152	148, 151	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) )
153	152	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
154	131, 65, 135	subsub4d 8449	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) )
155	112	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> V = W )
156	155	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( V e. CC <-> W e. CC ) )
157	156	rspccva 2883	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> W e. CC )
158	35, 111, 157	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> W e. CC )
159	116, 120, 158	subdid 8521	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. ( X - W ) ) = ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
160	159	sumeq2dv 11794	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
161	116, 158	mulcld 8128	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. W ) e. CC )
162	124, 126, 161	fsumsub 11878	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
164	163	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2250	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) )
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2245	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
167		uzp1 9717	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
168	9, 167	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
169	45, 166, 168	mpjaodan 800	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   (/)c0 3468   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by: (None)