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Theorem fsumparts 11246
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
fsumparts.c  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
fsumparts.d  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
fsumparts.e  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
fsumparts.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumparts.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumparts.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumparts  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    D, k   
k, E    j, V    k, W    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)    V( k)    W( j)    X( j)    Y( j)    Z( j)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 11164 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  0
2 0m0e0 8839 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
31, 2eqtr4i 2163 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( 0  -  0 )
4 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  N  =  M )
54oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
6 fzo0 9952 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
75, 6syl6eq 2188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
87sumeq1d 11142 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) ) )
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz1 9818 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
119, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
12 eqtr3 2159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  k  =  N )
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
14 oveq12 5783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  E  /\  V  =  Z )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
17 oveq12 5783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  D  /\  V  =  Y )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( D  x.  Y ) )
1918adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
2015, 19eqeq12d 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V )  <-> 
( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) ) )
2120pm5.74da 439 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )  <->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) ) )
22 eqidd 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )
2321, 22vtoclg 2746 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) )
2423imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( M ... N )  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) )
2511, 24sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) )
2625oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y
) ) )
2716simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
2827eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3029ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
3128, 30, 11rspcdva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3216simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  V  =  Y )
3332eleq1d 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( V  e.  CC  <->  Y  e.  CC ) )
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
3534ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC )
3633, 35, 11rspcdva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3731, 36mulcld 7793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  Y
)  e.  CC )
3837subidd 8068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y )
)  =  0 )
3938adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( D  x.  Y
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
4026, 39eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
417sumeq1d 11142 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X ) )
42 sum0 11164 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  0
4341, 42syl6eq 2188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  0 )
4440, 43oveq12d 5792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y )
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
) )  =  ( 0  -  0 ) )
453, 8, 443eqtr4a 2198 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
46 eluzel2 9338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
479, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4847adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
4948peano2zd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
50 eluzelz 9342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
519, 50syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzofig 10212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
5449, 52, 53syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin )
55 uzid 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
56 peano2uz 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
57 fzoss1 9955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5848, 55, 56, 574syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5958sselda 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
60 elfzofz 9946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
6129, 34mulcld 7793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6260, 61sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6362adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6459, 63syldan 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6554, 64fsumcl 11176 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  e.  CC )
6613simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
6766eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
68 eluzfz2 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
699, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
7067, 30, 69rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7113simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  V  =  Z )
7271eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( V  e.  CC  <->  Z  e.  CC ) )
7372, 35, 69rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
7470, 73mulcld 7793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  Z
)  e.  CC )
7574adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( E  x.  Z )  e.  CC )
76 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
77 fzp1ss 9860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7848, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
7978sselda 3097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
8061adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8179, 80syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8213, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  x.  V )  =  ( E  x.  Z ) )
8376, 81, 82fsumm1 11192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
84 fzoval 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8552, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8648zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
87 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
88 pncan 7975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8986, 87, 88sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )  -  1 )  =  M )
9089oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
9185, 90eqtr4d 2175 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
9291sumeq1d 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( C  x.  X ) )
93 1zzd 9088 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
95 oveq12 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  C  /\  V  =  X )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( C  x.  X ) )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  x.  V )  =  ( C  x.  X ) )
9793, 49, 52, 81, 96fsumshftm 11221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  sum_ j  e.  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( C  x.  X ) )
9892, 97eqtr4d 2175 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V ) )
99 fzoval 9932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
10052, 99syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
101100sumeq1d 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
102101oveq1d 5789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
10383, 98, 1023eqtr4d 2182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) ) )
10465, 75, 103comraddd 7926 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
105104oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
106 fzofzp1 10011 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
10794simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
108107eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
109108rspccva 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
11030, 106, 109syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
111 elfzofz 9946 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
113112simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
114113eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
115114rspccva 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
11630, 111, 115syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
11794simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  V  =  X )
118117eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( V  e.  CC  <->  X  e.  CC ) )
119118rspccva 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  X  e.  CC )
12035, 106, 119syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
121110, 116, 120subdird 8184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
122121sumeq2dv 11144 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
123 fzofig 10212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
12447, 51, 123syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
125110, 120mulcld 7793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( C  x.  X )  e.  CC )
126116, 120mulcld 7793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  X )  e.  CC )
127124, 125, 126fsumsub 11228 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
128122, 127eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
129128adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) ) )
130124, 126fsumcl 11176 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  e.  CC )
131130adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  e.  CC )
13275, 131, 65subsub3d 8110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  + 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
133105, 129, 1323eqtr4d 2182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) ) )
134133oveq2d 5790 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) ) )
13537adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  x.  Y )  e.  CC )
136131, 65subcld 8080 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  e.  CC )
13775, 135, 136nnncan1d 8114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) )  -  ( D  x.  Y )
) )
13865, 135addcomd 7920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
139 eluzp1m1 9356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
14047, 139sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
14185eleq2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( M..^ N )  <-> 
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
142141biimpar 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
143142, 63syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
144140, 143, 18fsum1p 11194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) ) )
14585sumeq1d 11142 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
146101oveq2d 5790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
) ) )
147144, 145, 1463eqtr4d 2182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
148138, 147eqtr4d 2175 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V ) )
149 oveq12 5783 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  B  /\  V  =  W )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( B  x.  W ) )
150112, 149syl 14 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  x.  V )  =  ( B  x.  W ) )
151150cbvsumv 11137 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
)
152148, 151syl6eq 2188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) )
153152oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
154131, 65, 135subsub4d 8111 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  +  ( D  x.  Y ) ) ) )
155112simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  V  =  W )
156155eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( V  e.  CC  <->  W  e.  CC ) )
157156rspccva 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  W  e.  CC )
15835, 111, 157syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  W  e.  CC )
159116, 120, 158subdid 8183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
160159sumeq2dv 11144 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
161116, 158mulcld 7793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  W )  e.  CC )
162124, 126, 161fsumsub 11228 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
163160, 162eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
164163adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) ) )
165153, 154, 1643eqtr4d 2182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  = 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) ) )
166134, 137, 1653eqtrrd 2177 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
167 uzp1 9366 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1689, 167syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
16945, 166, 168mpjaodan 787 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7625   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632    - cmin 7940   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797  ..^cfzo 9926   sum_csu 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
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