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Theorem fsumparts 11207
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
fsumparts.c  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
fsumparts.d  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
fsumparts.e  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
fsumparts.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumparts.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumparts.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumparts  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    D, k   
k, E    j, V    k, W    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)    V( k)    W( j)    X( j)    Y( j)    Z( j)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 11125 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  0
2 0m0e0 8800 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
31, 2eqtr4i 2141 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( 0  -  0 )
4 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  N  =  M )
54oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
6 fzo0 9913 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
75, 6syl6eq 2166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
87sumeq1d 11103 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) ) )
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz1 9779 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
119, 10syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
12 eqtr3 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  k  =  N )
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
14 oveq12 5751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  E  /\  V  =  Z )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
17 oveq12 5751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  D  /\  V  =  Y )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( D  x.  Y ) )
1918adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
2015, 19eqeq12d 2132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V )  <-> 
( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) ) )
2120pm5.74da 439 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )  <->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) ) )
22 eqidd 2118 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )
2321, 22vtoclg 2720 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) )
2423imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( M ... N )  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) )
2511, 24sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) )
2625oveq1d 5757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y
) ) )
2716simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
2827eleq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3029ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
3128, 30, 11rspcdva 2768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3216simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  V  =  Y )
3332eleq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( V  e.  CC  <->  Y  e.  CC ) )
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
3534ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC )
3633, 35, 11rspcdva 2768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3731, 36mulcld 7754 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  Y
)  e.  CC )
3837subidd 8029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y )
)  =  0 )
3938adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( D  x.  Y
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
4026, 39eqtrd 2150 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
417sumeq1d 11103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X ) )
42 sum0 11125 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  0
4341, 42syl6eq 2166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  0 )
4440, 43oveq12d 5760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y )
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
) )  =  ( 0  -  0 ) )
453, 8, 443eqtr4a 2176 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
46 eluzel2 9299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
479, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4847adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
4948peano2zd 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
50 eluzelz 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
519, 50syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzofig 10173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
5449, 52, 53syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin )
55 uzid 9308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
56 peano2uz 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
57 fzoss1 9916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5848, 55, 56, 574syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
5958sselda 3067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
60 elfzofz 9907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
6129, 34mulcld 7754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6260, 61sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6362adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6459, 63syldan 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
6554, 64fsumcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  e.  CC )
6613simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
6766eleq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
68 eluzfz2 9780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
699, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
7067, 30, 69rspcdva 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7113simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  V  =  Z )
7271eleq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  ( V  e.  CC  <->  Z  e.  CC ) )
7372, 35, 69rspcdva 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
7470, 73mulcld 7754 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  Z
)  e.  CC )
7574adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( E  x.  Z )  e.  CC )
76 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
77 fzp1ss 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7848, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
7978sselda 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
8061adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8179, 80syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
8213, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  x.  V )  =  ( E  x.  Z ) )
8376, 81, 82fsumm1 11153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
84 fzoval 9893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8552, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
8648zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
87 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
88 pncan 7936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8986, 87, 88sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )  -  1 )  =  M )
9089oveq1d 5757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
9185, 90eqtr4d 2153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
9291sumeq1d 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( C  x.  X ) )
93 1zzd 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
95 oveq12 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  C  /\  V  =  X )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( C  x.  X ) )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  x.  V )  =  ( C  x.  X ) )
9793, 49, 52, 81, 96fsumshftm 11182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  sum_ j  e.  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( C  x.  X ) )
9892, 97eqtr4d 2153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V ) )
99 fzoval 9893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
10052, 99syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
101100sumeq1d 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
102101oveq1d 5757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
10383, 98, 1023eqtr4d 2160 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) ) )
10465, 75, 103comraddd 7887 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
105104oveq1d 5757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
106 fzofzp1 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
10794simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
108107eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
109108rspccva 2762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
11030, 106, 109syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
111 elfzofz 9907 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
113112simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
114113eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
115114rspccva 2762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
11630, 111, 115syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
11794simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  V  =  X )
118117eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( V  e.  CC  <->  X  e.  CC ) )
119118rspccva 2762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  X  e.  CC )
12035, 106, 119syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
121110, 116, 120subdird 8145 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
122121sumeq2dv 11105 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
123 fzofig 10173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
12447, 51, 123syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
125110, 120mulcld 7754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( C  x.  X )  e.  CC )
126116, 120mulcld 7754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  X )  e.  CC )
127124, 125, 126fsumsub 11189 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
128122, 127eqtrd 2150 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
129128adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) ) )
130124, 126fsumcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  e.  CC )
131130adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  e.  CC )
13275, 131, 65subsub3d 8071 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  + 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
133105, 129, 1323eqtr4d 2160 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) ) )
134133oveq2d 5758 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) ) )
13537adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  x.  Y )  e.  CC )
136131, 65subcld 8041 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  e.  CC )
13775, 135, 136nnncan1d 8075 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) )  -  ( D  x.  Y )
) )
13865, 135addcomd 7881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
139 eluzp1m1 9317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
14047, 139sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
14185eleq2d 2187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( M..^ N )  <-> 
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
142141biimpar 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
143142, 63syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
144140, 143, 18fsum1p 11155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) ) )
14585sumeq1d 11103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
146101oveq2d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
) ) )
147144, 145, 1463eqtr4d 2160 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
148138, 147eqtr4d 2153 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V ) )
149 oveq12 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  B  /\  V  =  W )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( B  x.  W ) )
150112, 149syl 14 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  x.  V )  =  ( B  x.  W ) )
151150cbvsumv 11098 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
)
152148, 151syl6eq 2166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) )
153152oveq2d 5758 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
154131, 65, 135subsub4d 8072 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  +  ( D  x.  Y ) ) ) )
155112simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  V  =  W )
156155eleq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( V  e.  CC  <->  W  e.  CC ) )
157156rspccva 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  W  e.  CC )
15835, 111, 157syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  W  e.  CC )
159116, 120, 158subdid 8144 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
160159sumeq2dv 11105 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
161116, 158mulcld 7754 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  W )  e.  CC )
162124, 126, 161fsumsub 11189 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
163160, 162eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
164163adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) ) )
165153, 154, 1643eqtr4d 2160 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  = 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) ) )
166134, 137, 1653eqtrrd 2155 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
167 uzp1 9327 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1689, 167syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
16945, 166, 168mpjaodan 772 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   Fincfn 6602   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ...cfz 9758  ..^cfzo 9887   sum_csu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
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