Theorem fsumparts 12021

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	|- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
fsumparts.c	|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
fsumparts.d	|- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
fsumparts.e	|- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
fsumparts.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumparts.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumparts.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   D, k   k, E   j, V   k, W   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   k, X   k, Y   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)   V( k)   W( j)   X( j)   Y( j)   Z( j)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11939	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = 0
2		0m0e0 9245	. . . 4 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2253	. . 3 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = ( 0 - 0 )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> N = M )
5	4	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
6		fzo0 10395	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
8	7	sumeq1d 11917	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) )
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz1 10256	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
12		eqtr3 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> k = N )
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
14		oveq12 6022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = E /\ V = Z ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
17		oveq12 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = D /\ V = Y ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
20	15, 19	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( ( A x. V ) = ( A x. V ) <-> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
21	20	pm5.74da 443	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) ) <-> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) ) )
22		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) )
23	21, 22	vtoclg 2862	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
24	23	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
25	11, 24	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
26	25	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) )
27	16	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> A = D )
28	27	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
30	29	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
31	28, 30, 11	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
32	16	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> V = Y )
33	32	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( V e. CC <-> Y e. CC ) )
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )
35	34	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) V e. CC )
36	33, 35, 11	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
37	31, 36	mulcld 8190	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D x. Y ) e. CC )
38	37	subidd 8468	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
39	38	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
40	26, 39	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
41	7	sumeq1d 11917	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) )
42		sum0 11939	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = 0 )
44	40, 43	oveq12d 6031	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( 0 - 0 ) )
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2288	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
46		eluzel2 9750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
49	48	peano2zd 9595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
50		eluzelz 9755	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
53		fzofig 10684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
55		uzid 9760	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
56		peano2uz 9807	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57		fzoss1 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
59	58	sselda 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
60		elfzofz 10388	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
61	29, 34	mulcld 8190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
62	60, 61	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
63	62	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
64	59, 63	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
65	54, 64	fsumcl 11951	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) e. CC )
66	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> A = E )
67	66	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
68		eluzfz2 10257	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
70	67, 30, 69	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
71	13	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> V = Z )
72	71	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( V e. CC <-> Z e. CC ) )
73	72, 35, 69	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. CC )
74	70, 73	mulcld 8190	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. Z ) e. CC )
75	74	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( E x. Z ) e. CC )
76		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
77		fzp1ss 10298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
79	78	sselda 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
80	61	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
81	79, 80	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
83	76, 81, 82	fsumm1 11967	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
84		fzoval 10373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
86	48	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
87		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
88		pncan 8375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
89	86, 87, 88	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
90	89	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
92	91	sumeq1d 11917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
93		1zzd 9496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
95		oveq12 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = C /\ V = X ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 11996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
98	92, 97	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) )
99		fzoval 10373	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
101	100	sumeq1d 11917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
102	101	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
104	65, 75, 103	comraddd 8326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
105	104	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
106		fzofzp1 10462	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
107	94	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
108	107	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
109	108	rspccva 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
110	30, 106, 109	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
111		elfzofz 10388	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
113	112	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> A = B )
114	113	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
115	114	rspccva 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
116	30, 111, 115	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
117	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> V = X )
118	117	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( V e. CC <-> X e. CC ) )
119	118	rspccva 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> X e. CC )
120	35, 106, 119	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
121	110, 116, 120	subdird 8584	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( C - B ) x. X ) = ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
122	121	sumeq2dv 11919	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
123		fzofig 10684	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
124	47, 51, 123	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
125	110, 120	mulcld 8190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( C x. X ) e. CC )
126	116, 120	mulcld 8190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. X ) e. CC )
127	124, 125, 126	fsumsub 12003	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
128	122, 127	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
129	128	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
130	124, 126	fsumcl 11951	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
131	130	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
132	75, 131, 65	subsub3d 8510	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) )
134	133	oveq2d 6029	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) )
135	37	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D x. Y ) e. CC )
136	131, 65	subcld 8480	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) e. CC )
137	75, 135, 136	nnncan1d 8514	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) )
138	65, 135	addcomd 8320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
139		eluzp1m1 9770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
140	47, 139	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
141	85	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( k e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
142	141	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
143	142, 63	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
144	140, 143, 18	fsum1p 11969	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
145	85	sumeq1d 11917	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
146	101	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
148	138, 147	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) )
149		oveq12 6022	. . . . . . . 8 |- ( ( A = B /\ V = W ) -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
151	150	cbvsumv 11912	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W )
152	148, 151	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) )
153	152	oveq2d 6029	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
154	131, 65, 135	subsub4d 8511	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) )
155	112	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> V = W )
156	155	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( V e. CC <-> W e. CC ) )
157	156	rspccva 2907	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> W e. CC )
158	35, 111, 157	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> W e. CC )
159	116, 120, 158	subdid 8583	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. ( X - W ) ) = ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
160	159	sumeq2dv 11919	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
161	116, 158	mulcld 8190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. W ) e. CC )
162	124, 126, 161	fsumsub 12003	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
164	163	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) )
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2267	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
167		uzp1 9780	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
168	9, 167	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
169	45, 166, 168	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   - cmin 8340   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

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