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Theorem issubg2m 13794
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b |- B = ( Base ` G )
issubg2.p |- .+ = ( +g ` G )
issubg2.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg2m |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, .+ , x, y   u, B   u, G, x, y   u, I, x, y   u, S, x, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)
Proof of Theorem issubg2m
Dummy variables v w r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 |- B = ( Base ` G )
21subgss 13779 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
43subggrp 13782 . . . . . 6 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
6 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( 0g ` ( G ↾s S ) ) = ( 0g ` ( G ↾s S ) )
75, 6grpidcl 13630 . . . . . 6 |- ( ( G ↾s S ) e. Grp -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
93subgbas 13783 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
108, 9eleqtrrd 2311 . . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S )
11 elex2 2819 . . . 4 |- ( ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S -> E. u u e. S )
1210, 11syl 14 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> E. u u e. S )
13 issubg2.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
1413subgcl 13789 . . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
15143expa 1229 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
1615ralrimiva 2605 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
17 issubg2.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
1817subginvcl 13788 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
1916, 18jca 306 . . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
2019ralrimiva 2605 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
212, 12, 203jca 1203 . 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
22 eleq1w 2292 . . . . 5 |- ( r = u -> ( r e. S <-> u e. S ) )
2322cbvexv 1967 . . . 4 |- ( E. r r e. S <-> E. u u e. S )
24233anbi2i 1217 . . 3 |- ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
25 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> G e. Grp )
26 simpr1 1029 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S C_ B )
273a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
281a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B = ( Base ` G ) )
29 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. Grp )
30 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S C_ B )
3127, 28, 29, 30ressbas2d 13169 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
32313ad2antr1 1188 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
3313a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
34 basfn 13159 . . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
3529elexd 2816 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. _V )
36 funfvex 5656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3736funfni 5432 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3834, 35, 37sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
391, 38eqeltrid 2318 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B e. _V )
4039, 30ssexd 4229 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S e. _V )
4127, 33, 40, 29ressplusgd 13230 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
42413ad2antr1 1188 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
43 simpr3 1031 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
44 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4544ralimi 2595 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4643, 45syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
47 oveq1 6025 . . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x .+ y ) = ( u .+ y ) )
4847eleq1d 2300 . . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( u .+ y ) e. S ) )
49 oveq2 6026 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( u .+ y ) = ( u .+ v ) )
5049eleq1d 2300 . . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( u .+ y ) e. S <-> ( u .+ v ) e. S ) )
5148, 50rspc2v 2923 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S -> ( u .+ v ) e. S ) )
5246, 51syl5com 29 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S ) )
53523impib 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
5426sseld 3226 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
5526sseld 3226 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
5626sseld 3226 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
5754, 55, 563anim123d 1355 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
5857imp 124 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
591, 13grpass 13610 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6059adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6158, 60syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
62 simpr2 1030 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. r r e. S )
6362, 23sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. u u e. S )
6426sselda 3227 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. B )
65 eqid 2231 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
661, 13, 65, 17grplinv 13651 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6766adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6864, 67syldan 282 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
7069ralimi 2595 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
7143, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
72 fveq2 5639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( I ` x ) = ( I ` u ) )
7372eleq1d 2300 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( I ` x ) e. S <-> ( I ` u ) e. S ) )
7473rspccva 2909 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. S ( I ` x ) e. S /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
7571, 74sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
76 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. S )
7746adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
78 ovrspc2v 6044 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I ` u ) e. S /\ u e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
7975, 76, 77, 78syl21anc 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
8068, 79eqeltrrd 2309 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
8163, 80exlimddv 1947 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. S )
821, 13, 65grplid 13632 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8382adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8464, 83syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8532, 42, 53, 61, 81, 84, 75, 68isgrpd 13624 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
861issubg 13778 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
8725, 26, 85, 86syl3anbrc 1207 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
8887ex 115 . . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
8924, 88biimtrrid 153 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
9021, 89impbid2 143 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   ↾s cress 13101   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   Grpcgrp 13601   invgcminusg 13602  SubGrpcsubg 13772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-subg 13775
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  13795  issubg3  13797  issubg4m  13798  grpissubg  13799  subgintm  13803  nmzsubg  13815  ghmrn  13862  ghmpreima  13871  subrgugrp  14273  lsssubg  14410  lidlsubg  14519  cnsubglem  14612  mplsubgfi  14734
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