ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issubg2m Unicode version
Theorem issubg2m 13726
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b |- B = ( Base ` G )
issubg2.p |- .+ = ( +g ` G )
issubg2.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg2m |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, .+ , x, y   u, B   u, G, x, y   u, I, x, y   u, S, x, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)
Proof of Theorem issubg2m
Dummy variables v w r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 |- B = ( Base ` G )
21subgss 13711 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3 eqid 2229 . . . . . . 7 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
43subggrp 13714 . . . . . 6 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5 eqid 2229 . . . . . . 7 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
6 eqid 2229 . . . . . . 7 |- ( 0g ` ( G ↾s S ) ) = ( 0g ` ( G ↾s S ) )
75, 6grpidcl 13562 . . . . . 6 |- ( ( G ↾s S ) e. Grp -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
93subgbas 13715 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
108, 9eleqtrrd 2309 . . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S )
11 elex2 2816 . . . 4 |- ( ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S -> E. u u e. S )
1210, 11syl 14 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> E. u u e. S )
13 issubg2.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
1413subgcl 13721 . . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
15143expa 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
1615ralrimiva 2603 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
17 issubg2.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
1817subginvcl 13720 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
1916, 18jca 306 . . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
2019ralrimiva 2603 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
212, 12, 203jca 1201 . 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
22 eleq1w 2290 . . . . 5 |- ( r = u -> ( r e. S <-> u e. S ) )
2322cbvexv 1965 . . . 4 |- ( E. r r e. S <-> E. u u e. S )
24233anbi2i 1215 . . 3 |- ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
25 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> G e. Grp )
26 simpr1 1027 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S C_ B )
273a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
281a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B = ( Base ` G ) )
29 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. Grp )
30 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S C_ B )
3127, 28, 29, 30ressbas2d 13101 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
32313ad2antr1 1186 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
3313a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
34 basfn 13091 . . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
3529elexd 2813 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. _V )
36 funfvex 5644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3736funfni 5423 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3834, 35, 37sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
391, 38eqeltrid 2316 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B e. _V )
4039, 30ssexd 4224 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S e. _V )
4127, 33, 40, 29ressplusgd 13162 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
42413ad2antr1 1186 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
43 simpr3 1029 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
44 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4544ralimi 2593 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4643, 45syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
47 oveq1 6008 . . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x .+ y ) = ( u .+ y ) )
4847eleq1d 2298 . . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( u .+ y ) e. S ) )
49 oveq2 6009 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( u .+ y ) = ( u .+ v ) )
5049eleq1d 2298 . . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( u .+ y ) e. S <-> ( u .+ v ) e. S ) )
5148, 50rspc2v 2920 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S -> ( u .+ v ) e. S ) )
5246, 51syl5com 29 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S ) )
53523impib 1225 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
5426sseld 3223 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
5526sseld 3223 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
5626sseld 3223 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
5754, 55, 563anim123d 1353 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
5857imp 124 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
591, 13grpass 13542 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6059adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6158, 60syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
62 simpr2 1028 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. r r e. S )
6362, 23sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. u u e. S )
6426sselda 3224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. B )
65 eqid 2229 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
661, 13, 65, 17grplinv 13583 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6766adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6864, 67syldan 282 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
7069ralimi 2593 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
7143, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
72 fveq2 5627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( I ` x ) = ( I ` u ) )
7372eleq1d 2298 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( I ` x ) e. S <-> ( I ` u ) e. S ) )
7473rspccva 2906 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. S ( I ` x ) e. S /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
7571, 74sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
76 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. S )
7746adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
78 ovrspc2v 6027 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I ` u ) e. S /\ u e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
7975, 76, 77, 78syl21anc 1270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
8068, 79eqeltrrd 2307 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
8163, 80exlimddv 1945 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. S )
821, 13, 65grplid 13564 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8382adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8464, 83syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8532, 42, 53, 61, 81, 84, 75, 68isgrpd 13556 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
861issubg 13710 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
8725, 26, 85, 86syl3anbrc 1205 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
8887ex 115 . . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
8924, 88biimtrrid 153 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
9021, 89impbid2 143 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   ↾s cress 13033   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534  SubGrpcsubg 13704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-subg 13707
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  13727  issubg3  13729  issubg4m  13730  grpissubg  13731  subgintm  13735  nmzsubg  13747  ghmrn  13794  ghmpreima  13803  subrgugrp  14204  lsssubg  14341  lidlsubg  14450  cnsubglem  14543  mplsubgfi  14665
  Copyright terms: Public domain W3C validator