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Theorem issubg2m 13259
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b |- B = ( Base ` G )
issubg2.p |- .+ = ( +g ` G )
issubg2.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg2m |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, .+ , x, y   u, B   u, G, x, y   u, I, x, y   u, S, x, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)
Proof of Theorem issubg2m
Dummy variables v w r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 |- B = ( Base ` G )
21subgss 13244 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
3 eqid 2193 . . . . . . 7 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
43subggrp 13247 . . . . . 6 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5 eqid 2193 . . . . . . 7 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
6 eqid 2193 . . . . . . 7 |- ( 0g ` ( G ↾s S ) ) = ( 0g ` ( G ↾s S ) )
75, 6grpidcl 13101 . . . . . 6 |- ( ( G ↾s S ) e. Grp -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
93subgbas 13248 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
108, 9eleqtrrd 2273 . . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S )
11 elex2 2776 . . . 4 |- ( ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. S -> E. u u e. S )
1210, 11syl 14 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> E. u u e. S )
13 issubg2.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
1413subgcl 13254 . . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
15143expa 1205 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
1615ralrimiva 2567 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
17 issubg2.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
1817subginvcl 13253 . . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
1916, 18jca 306 . . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
2019ralrimiva 2567 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
212, 12, 203jca 1179 . 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
22 eleq1w 2254 . . . . 5 |- ( r = u -> ( r e. S <-> u e. S ) )
2322cbvexv 1930 . . . 4 |- ( E. r r e. S <-> E. u u e. S )
24233anbi2i 1193 . . 3 |- ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) )
25 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> G e. Grp )
26 simpr1 1005 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S C_ B )
273a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( G ↾s S ) = ( G ↾s S ) )
281a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B = ( Base ` G ) )
29 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. Grp )
30 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S C_ B )
3127, 28, 29, 30ressbas2d 12686 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
32313ad2antr1 1164 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
3313a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
34 basfn 12676 . . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
3529elexd 2773 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> G e. _V )
36 funfvex 5571 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3736funfni 5354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3834, 35, 37sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Base ` G ) e. _V )
391, 38eqeltrid 2280 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> B e. _V )
4039, 30ssexd 4169 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> S e. _V )
4127, 33, 40, 29ressplusgd 12746 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
42413ad2antr1 1164 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s S ) ) )
43 simpr3 1007 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) )
44 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4544ralimi 2557 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
4643, 45syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
47 oveq1 5925 . . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x .+ y ) = ( u .+ y ) )
4847eleq1d 2262 . . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( u .+ y ) e. S ) )
49 oveq2 5926 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( u .+ y ) = ( u .+ v ) )
5049eleq1d 2262 . . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( u .+ y ) e. S <-> ( u .+ v ) e. S ) )
5148, 50rspc2v 2877 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S -> ( u .+ v ) e. S ) )
5246, 51syl5com 29 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S ) )
53523impib 1203 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
5426sseld 3178 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
5526sseld 3178 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
5626sseld 3178 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
5754, 55, 563anim123d 1330 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
5857imp 124 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
591, 13grpass 13081 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6059adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
6158, 60syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
62 simpr2 1006 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. r r e. S )
6362, 23sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> E. u u e. S )
6426sselda 3179 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. B )
65 eqid 2193 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
661, 13, 65, 17grplinv 13122 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6766adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
6864, 67syldan 282 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) = ( 0g ` G ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> ( I ` x ) e. S )
7069ralimi 2557 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
7143, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> A. x e. S ( I ` x ) e. S )
72 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( I ` x ) = ( I ` u ) )
7372eleq1d 2262 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( I ` x ) e. S <-> ( I ` u ) e. S ) )
7473rspccva 2863 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. S ( I ` x ) e. S /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
7571, 74sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( I ` u ) e. S )
76 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> u e. S )
7746adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
78 ovrspc2v 5944 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I ` u ) e. S /\ u e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
7975, 76, 77, 78syl21anc 1248 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( I ` u ) .+ u ) e. S )
8068, 79eqeltrrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
8163, 80exlimddv 1910 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. S )
821, 13, 65grplid 13103 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8382adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8464, 83syldan 282 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) /\ u e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
8532, 42, 53, 61, 81, 84, 75, 68isgrpd 13095 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
861issubg 13243 . . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
8725, 26, 85, 86syl3anbrc 1183 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
8887ex 115 . . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. r r e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
8924, 88biimtrrid 153 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) ) )
9021, 89impbid2 143 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ B /\ E. u u e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   Fn wfn 5249   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾s cress 12619   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Grpcgrp 13072   invgcminusg 13073  SubGrpcsubg 13237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  13260  issubg3  13262  issubg4m  13263  grpissubg  13264  subgintm  13268  nmzsubg  13280  ghmrn  13327  ghmpreima  13336  subrgugrp  13736  lsssubg  13873  lidlsubg  13982  cnsubglem  14067
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