Theorem cnima 13014

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Proof of Theorem cnima

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2170	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 12994	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 273	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simprd 113	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
6		imaeq2 4949	. . . 4 |- ( x = A -> ( `' F " x ) = ( `' F " A ) )
7	6	eleq1d 2239	. . 3 |- ( x = A -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " A ) e. J ) )
8	7	rspccva 2833	. 2 |- ( ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )
9	5, 8	sylan 281	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   U.cuni 3796   `'ccnv 4610   "cima 4614   -->wf 5194  (class class class)co 5853   Topctop 12789   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  cnco  13015  cnclima  13017  cnntri  13018  cnss1  13020  cnss2  13021  cncnpi  13022  cnrest  13029  txcnmpt  13067  txdis1cn  13072  imasnopn  13093  hmeoima  13104  hmeoopn  13105  hmeoimaf1o  13108