Theorem cnima 15031

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Proof of Theorem cnima

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2231	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 15011	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 275	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simprd 114	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
6		imaeq2 5078	. . . 4 |- ( x = A -> ( `' F " x ) = ( `' F " A ) )
7	6	eleq1d 2300	. . 3 |- ( x = A -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " A ) e. J ) )
8	7	rspccva 2910	. 2 |- ( ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )
9	5, 8	sylan 283	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   U.cuni 3898   `'ccnv 4730   "cima 4734   -->wf 5329  (class class class)co 6028   Topctop 14808   Cn ccn 14996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-top 14809  df-topon 14822  df-cn 14999

This theorem is referenced by:  cnco  15032  cnclima  15034  cnntri  15035  cnss1  15037  cnss2  15038  cncnpi  15039  cnrest  15046  txcnmpt  15084  txdis1cn  15089  imasnopn  15110  hmeoima  15121  hmeoopn  15122  hmeoimaf1o  15125