Theorem cnima 14725

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Proof of Theorem cnima

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2205	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 14705	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 275	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simprd 114	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
6		imaeq2 5019	. . . 4 |- ( x = A -> ( `' F " x ) = ( `' F " A ) )
7	6	eleq1d 2274	. . 3 |- ( x = A -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " A ) e. J ) )
8	7	rspccva 2876	. 2 |- ( ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )
9	5, 8	sylan 283	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   U.cuni 3850   `'ccnv 4675   "cima 4679   -->wf 5268  (class class class)co 5946   Topctop 14502   Cn ccn 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-top 14503  df-topon 14516  df-cn 14693

This theorem is referenced by:  cnco  14726  cnclima  14728  cnntri  14729  cnss1  14731  cnss2  14732  cncnpi  14733  cnrest  14740  txcnmpt  14778  txdis1cn  14783  imasnopn  14804  hmeoima  14815  hmeoopn  14816  hmeoimaf1o  14819