Theorem cnima 12170

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Proof of Theorem cnima

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2100	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2100	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 12150	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 271	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simprd 113	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
6		imaeq2 4813	. . . 4 |- ( x = A -> ( `' F " x ) = ( `' F " A ) )
7	6	eleq1d 2168	. . 3 |- ( x = A -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " A ) e. J ) )
8	7	rspccva 2743	. 2 |- ( ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )
9	5, 8	sylan 279	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   U.cuni 3683   `'ccnv 4476   "cima 4480   -->wf 5055  (class class class)co 5706   Topctop 11946   Cn ccn 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-top 11947  df-topon 11960  df-cn 12139

This theorem is referenced by:  cnco  12171  cnclima  12173  cnntri  12174  cnss1  12176  cnss2  12177  cncnpi  12178  cnrest  12185  txcnmpt  12223  txdis1cn  12228  imasnopn  12249