Theorem telfsumo2 11613

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 |- ( k = j -> A = B )
2	1	negeqd 8216	. . 3 |- ( k = j -> -u A = -u B )
3		telfsumo.2	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
4	3	negeqd 8216	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> -u A = -u C )
5		telfsumo.3	. . . 4 |- ( k = M -> A = D )
6	5	negeqd 8216	. . 3 |- ( k = M -> -u A = -u D )
7		telfsumo.4	. . . 4 |- ( k = N -> A = E )
8	7	negeqd 8216	. . 3 |- ( k = N -> -u A = -u E )
9		telfsumo.5	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		telfsumo.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
11	10	negcld 8319	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u A e. CC )
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 11612	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = ( -u D - -u E ) )
13	10	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
14		elfzofz 10232	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
15	1	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
16	15	rspccva 2864	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	13, 14, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
18		fzofzp1 10297	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
19	3	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
20	19	rspccva 2864	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
21	13, 18, 20	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
22	17, 21	neg2subd 8349	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( -u B - -u C ) = ( C - B ) )
23	22	sumeq2dv 11514	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) )
24	5	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
25		eluzfz1 10100	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	9, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	24, 13, 26	rspcdva 2870	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
28	7	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
29		eluzfz2 10101	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
30	9, 29	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
31	28, 13, 30	rspcdva 2870	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
32	27, 31	neg2subd 8349	. 2 |- ( ph -> ( -u D - -u E ) = ( E - D ) )
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2234	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   + caddc 7877   - cmin 8192   -ucneg 8193   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  telfsum2  11615