ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  telfsumo2 Unicode version

Theorem telfsumo2 11187
Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
telfsumo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
telfsumo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
telfsumo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
telfsumo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telfsumo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
telfsumo2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B )  =  ( E  -  D ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem telfsumo2
StepHypRef Expression
1 telfsumo.1 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
21negeqd 7921 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  -u A  =  -u B )
3 telfsumo.2 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
43negeqd 7921 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  -u A  =  -u C )
5 telfsumo.3 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
65negeqd 7921 . . 3  |-  ( k  =  M  ->  -u A  =  -u D )
7 telfsumo.4 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
87negeqd 7921 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  -u A  =  -u E )
9 telfsumo.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 telfsumo.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1110negcld 8024 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
122, 4, 6, 8, 9, 11telfsumo 11186 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) (
-u B  -  -u C
)  =  ( -u D  -  -u E ) )
1310ralrimiva 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
14 elfzofz 9890 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
151eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
1615rspccva 2760 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
1713, 14, 16syl2an 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
18 fzofzp1 9955 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
193eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
2019rspccva 2760 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
2113, 18, 20syl2an 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
2217, 21neg2subd 8054 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( -u B  -  -u C )  =  ( C  -  B
) )
2322sumeq2dv 11088 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) (
-u B  -  -u C
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B
) )
245eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
25 eluzfz1 9762 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
269, 25syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2724, 13, 26rspcdva 2766 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
287eleq1d 2184 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
29 eluzfz2 9763 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
309, 29syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
3128, 13, 30rspcdva 2766 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
3227, 31neg2subd 8054 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u E )  =  ( E  -  D ) )
3312, 23, 323eqtr3d 2156 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B )  =  ( E  -  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   -ucneg 7898   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741  ..^cfzo 9870   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  telfsum2  11189
  Copyright terms: Public domain W3C validator