Theorem telfsumo2 11964

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 |- ( k = j -> A = B )
2	1	negeqd 8329	. . 3 |- ( k = j -> -u A = -u B )
3		telfsumo.2	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
4	3	negeqd 8329	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> -u A = -u C )
5		telfsumo.3	. . . 4 |- ( k = M -> A = D )
6	5	negeqd 8329	. . 3 |- ( k = M -> -u A = -u D )
7		telfsumo.4	. . . 4 |- ( k = N -> A = E )
8	7	negeqd 8329	. . 3 |- ( k = N -> -u A = -u E )
9		telfsumo.5	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		telfsumo.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
11	10	negcld 8432	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u A e. CC )
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 11963	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = ( -u D - -u E ) )
13	10	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
14		elfzofz 10347	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
15	1	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
16	15	rspccva 2906	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	13, 14, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
18		fzofzp1 10420	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
19	3	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
20	19	rspccva 2906	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
21	13, 18, 20	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
22	17, 21	neg2subd 8462	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( -u B - -u C ) = ( C - B ) )
23	22	sumeq2dv 11865	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) )
24	5	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
25		eluzfz1 10215	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	9, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	24, 13, 26	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
28	7	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
29		eluzfz2 10216	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
30	9, 29	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
31	28, 13, 30	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
32	27, 31	neg2subd 8462	. 2 |- ( ph -> ( -u D - -u E ) = ( E - D ) )
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2270	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   -ucneg 8306   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192  ..^cfzo 10326   sum_csu 11850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851

This theorem is referenced by:  telfsum2  11966