Theorem telfsumo2 11236

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 |- ( k = j -> A = B )
2	1	negeqd 7957	. . 3 |- ( k = j -> -u A = -u B )
3		telfsumo.2	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
4	3	negeqd 7957	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> -u A = -u C )
5		telfsumo.3	. . . 4 |- ( k = M -> A = D )
6	5	negeqd 7957	. . 3 |- ( k = M -> -u A = -u D )
7		telfsumo.4	. . . 4 |- ( k = N -> A = E )
8	7	negeqd 7957	. . 3 |- ( k = N -> -u A = -u E )
9		telfsumo.5	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		telfsumo.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
11	10	negcld 8060	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u A e. CC )
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 11235	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = ( -u D - -u E ) )
13	10	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
14		elfzofz 9939	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
15	1	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
16	15	rspccva 2788	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	13, 14, 16	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
18		fzofzp1 10004	. . . . 5 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
19	3	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
20	19	rspccva 2788	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
21	13, 18, 20	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
22	17, 21	neg2subd 8090	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( -u B - -u C ) = ( C - B ) )
23	22	sumeq2dv 11137	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( -u B - -u C ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) )
24	5	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
25		eluzfz1 9811	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	9, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	24, 13, 26	rspcdva 2794	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
28	7	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
29		eluzfz2 9812	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
30	9, 29	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
31	28, 13, 30	rspcdva 2794	. . 3 |- ( ph -> E e. CC )
32	27, 31	neg2subd 8090	. 2 |- ( ph -> ( -u D - -u E ) = ( E - D ) )
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2180	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C - B ) = ( E - D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   -ucneg 7934   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  telfsum2  11238