Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dcapnconst Unicode version

Theorem dcapnconst 13580
 Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. Variation of Exercise 11.6(i) of [HoTT], p. (varies). See trilpo 13563 for more discussion of decidability of real number apartness. This is a weaker form of dceqnconst 13579 and in fact this theorem can be proved using dceqnconst 13579 as shown at dcapnconstALT 13581. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
dcapnconst DECID #
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dcapnconst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 7845 . . . 4
21mptex 5686 . . 3 #
32a1i 9 . 2 DECID # #
4 1zzd 9173 . . . . 5 DECID #
5 0zd 9158 . . . . 5 DECID #
6 breq1 3964 . . . . . . 7 # #
76dcbid 824 . . . . . 6 DECID # DECID #
87rspccva 2812 . . . . 5 DECID # DECID #
94, 5, 8ifcldcd 3536 . . . 4 DECID # #
109fmpttd 5615 . . 3 DECID # #
11 0re 7857 . . . . . 6
12 1zzd 9173 . . . . . . . 8
13 0zd 9158 . . . . . . . 8
14 0cn 7849 . . . . . . . . . . . 12
15 apirr 8459 . . . . . . . . . . . 12 #
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 #
1716olci 722 . . . . . . . . . 10 # #
18 df-dc 821 . . . . . . . . . 10 DECID # # #
1917, 18mpbir 145 . . . . . . . . 9 DECID #
2019a1i 9 . . . . . . . 8 DECID #
2112, 13, 20ifcldcd 3536 . . . . . . 7 #
2221mptru 1341 . . . . . 6 #
23 breq1 3964 . . . . . . . 8 # #
2423ifbid 3522 . . . . . . 7 # #
25 eqid 2154 . . . . . . 7 # #
2624, 25fvmptg 5537 . . . . . 6 # # #
2711, 22, 26mp2an 423 . . . . 5 # #
2816iffalsei 3510 . . . . 5 #
2927, 28eqtri 2175 . . . 4 #
3029a1i 9 . . 3 DECID # #
31 1ne0 8880 . . . . . 6
32 breq1 3964 . . . . . . . . . 10 # #
3332ifbid 3522 . . . . . . . . 9 # #
34 rpre 9545 . . . . . . . . . 10
3534adantl 275 . . . . . . . . 9 DECID #
36 1zzd 9173 . . . . . . . . . 10 DECID #
37 0zd 9158 . . . . . . . . . 10 DECID #
38 breq1 3964 . . . . . . . . . . . 12 # #
3938dcbid 824 . . . . . . . . . . 11 DECID # DECID #
40 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 DECID # DECID #
4139, 40, 35rspcdva 2818 . . . . . . . . . 10 DECID # DECID #
4236, 37, 41ifcldcd 3536 . . . . . . . . 9 DECID # #
4325, 33, 35, 42fvmptd3 5554 . . . . . . . 8 DECID # # #
44 rpap0 9555 . . . . . . . . . 10 #
4544iftrued 3508 . . . . . . . . 9 #
4645adantl 275 . . . . . . . 8 DECID # #
4743, 46eqtrd 2187 . . . . . . 7 DECID # #
4847neeq1d 2342 . . . . . 6 DECID # #
4931, 48mpbiri 167 . . . . 5 DECID # #
5049ralrimiva 2527 . . . 4 DECID # #
51 fveq2 5461 . . . . . 6 # #
5251neeq1d 2342 . . . . 5 # #
5352cbvralv 2677 . . . 4 # #
5450, 53sylib 121 . . 3 DECID # #
5510, 30, 543jca 1162 . 2 DECID # # # #
56 feq1 5295 . . 3 # #
57 fveq1 5460 . . . 4 # #
5857eqeq1d 2163 . . 3 # #
59 fveq1 5460 . . . . 5 # #
6059neeq1d 2342 . . . 4 # #
6160ralbidv 2454 . . 3 # #
6256, 58, 613anbi123d 1291 . 2 # # # #
633, 55, 62elabd 2853 1 DECID #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 698  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1332   wtru 1333  wex 1469   wcel 2125   wne 2324  wral 2432  cvv 2709  cif 3501   class class class wbr 3961   cmpt 4021  wf 5159  cfv 5163  cc 7709  cr 7710  cc0 7711  c1 7712   # cap 8435  cz 9146  crp 9538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-inn 8813  df-z 9147  df-rp 9539 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator