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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > 2clim | Unicode version |
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.) |
Ref | Expression |
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2clim.1 |
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2clim.2 |
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2clim.3 |
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2clim.5 |
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2clim.6 |
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2clim.7 |
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Ref | Expression |
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2clim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2clim.6 |
. . . . . 6
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2 | rphalfcl 9668 |
. . . . . 6
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3 | breq2 4004 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | rexralbidv 2503 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | rspccva 2840 |
. . . . . 6
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6 | 1, 2, 5 | syl2an 289 |
. . . . 5
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7 | 2clim.1 |
. . . . . 6
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8 | 2clim.2 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . . 6
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10 | 2 | adantl 277 |
. . . . . 6
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11 | eqidd 2178 |
. . . . . 6
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12 | 2clim.7 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | adantr 276 |
. . . . . 6
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14 | 7, 9, 10, 11, 13 | climi 11279 |
. . . . 5
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15 | 7 | rexanuz2 10984 |
. . . . 5
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16 | 6, 14, 15 | sylanbrc 417 |
. . . 4
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17 | 7 | uztrn2 9534 |
. . . . . . . 8
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18 | an12 561 |
. . . . . . . . 9
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19 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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20 | 2clim.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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21 | 20 | ad2ant2r 509 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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22 | 19, 21 | abssubd 11186 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | 22 | breq1d 4010 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 23 | anbi1d 465 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | climcl 11274 |
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26 | 12, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 26 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | rpre 9647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | 28 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | abs3lem 11104 |
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31 | 21, 27, 19, 29, 30 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 24, 31 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | expimpd 363 |
. . . . . . . . 9
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35 | 18, 34 | biimtrid 152 |
. . . . . . . 8
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36 | 17, 35 | sylan2 286 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | anassrs 400 |
. . . . . 6
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38 | 37 | ralimdva 2544 |
. . . . 5
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39 | 38 | reximdva 2579 |
. . . 4
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40 | 16, 39 | mpd 13 |
. . 3
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41 | 40 | ralrimiva 2550 |
. 2
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42 | 2clim.3 |
. . 3
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43 | eqidd 2178 |
. . 3
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44 | 7, 8, 42, 43, 26, 20 | clim2c 11276 |
. 2
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45 | 41, 44 | mpbird 167 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 |
This theorem is referenced by: mertensabs 11529 |
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