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Theorem 2clim 11277
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2clim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2clim.3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
2clim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2clim.6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2clim.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Assertion
Ref Expression
2clim  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable groups:    j, k, A   
x, j, F, k   
j, G, x    j, M    ph, j, k    j, Z, k, x    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    M( x, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2 rphalfcl 9652 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
3 breq2 4002 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
43rexralbidv 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
54rspccva 2838 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )
61, 2, 5syl2an 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) )
7 2clim.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8 2clim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
102adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
11 eqidd 2176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
12 2clim.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
1312adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~>  A )
147, 9, 10, 11, 13climi 11263 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
157rexanuz2 10968 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  <-> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
166, 14, 15sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
177uztrn2 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 an12 561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2120ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2219, 21abssubd 11170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) ) )
2322breq1d 4008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2423anbi1d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
25 climcl 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
2612, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
28 rpre 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
2928ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
30 abs3lem 11088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  k )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3224, 31sylbid 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3332anassrs 400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  ( F `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3433expimpd 363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3518, 34biimtrid 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
3617, 35sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3736anassrs 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3837ralimdva 2542 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3938reximdva 2577 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y ) )
4016, 39mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
4140ralrimiva 2548 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
)
42 2clim.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
43 eqidd 2176 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 11260 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
4541, 44mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785    < clt 7966    - cmin 8102    / cdiv 8602   2c2 8943   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   RR+crp 9624   abscabs 10974    ~~> cli 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255
This theorem is referenced by:  mertensabs  11513
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