Theorem 2clim 11268

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
2clim.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
2clim.3	|- ( ph -> G e. V )
2clim.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
2clim.6	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2clim.7	|- ( ph -> F ~~> A )

Assertion

Ref	Expression
2clim	|- ( ph -> G ~~> A )

Distinct variable groups:   j, k, A   x, j, F, k   j, G, x   j, M   ph, j, k   j, Z, k, x   k, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   M( x, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2		rphalfcl 9642	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
3		breq2 3994	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
4	3	rexralbidv 2497	. . . . . . 7 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
5	4	rspccva 2834	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
6	1, 2, 5	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
7		2clim.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8		2clim.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
10	2	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
11		eqidd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
12		2clim.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ~~> A )
13	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> A )
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 11254	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) )
15	7	rexanuz2 10959	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
16	6, 14, 15	sylanbrc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
17	7	uztrn2 9508	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
18		an12 557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
19		simprr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
21	20	ad2ant2r 507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
22	19, 21	abssubd 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) )
23	22	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
24	23	anbi1d 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
25		climcl 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
26	12, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
27	26	ad2antrr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> A e. CC )
28		rpre 9621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
29	28	ad2antlr 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> y e. RR )
30		abs3lem 11079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G ` k ) e. CC /\ A e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ y e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 1235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
32	24, 31	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
33	32	anassrs 398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
34	33	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
35	18, 34	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
36	17, 35	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
37	36	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
38	37	ralimdva 2538	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
39	38	reximdva 2573	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
40	16, 39	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
41	40	ralrimiva 2544	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
42		2clim.3	. . 3 |- ( ph -> G e. V )
43		eqidd 2172	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 11251	. 2 |- ( ph -> ( G ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
45	41, 44	mpbird 166	1 |- ( ph -> G ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   E.wrex 2450   class class class wbr 3990   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   CCcc 7776   RRcr 7777   < clt 7958   - cmin 8094   / cdiv 8593   2c2 8933   ZZcz 9216   ZZ>=cuz 9491   RR+crp 9614   abscabs 10965   ~~> cli 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-rp 9615  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-clim 11246

This theorem is referenced by:  mertensabs  11504