Theorem 2clim 11242

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
2clim.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
2clim.3	|- ( ph -> G e. V )
2clim.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
2clim.6	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2clim.7	|- ( ph -> F ~~> A )

Assertion

Ref	Expression
2clim	|- ( ph -> G ~~> A )

Distinct variable groups:   j, k, A   x, j, F, k   j, G, x   j, M   ph, j, k   j, Z, k, x   k, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   M( x, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2		rphalfcl 9617	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
3		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
4	3	rexralbidv 2492	. . . . . . 7 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
5	4	rspccva 2829	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
6	1, 2, 5	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
7		2clim.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8		2clim.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
10	2	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
11		eqidd 2166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
12		2clim.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ~~> A )
13	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> A )
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 11228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) )
15	7	rexanuz2 10933	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
16	6, 14, 15	sylanbrc 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
17	7	uztrn2 9483	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
18		an12 551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
19		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
21	20	ad2ant2r 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
22	19, 21	abssubd 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) )
23	22	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
24	23	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
25		climcl 11223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
26	12, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
27	26	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> A e. CC )
28		rpre 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
29	28	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> y e. RR )
30		abs3lem 11053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G ` k ) e. CC /\ A e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ y e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
32	24, 31	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
33	32	anassrs 398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
34	33	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
35	18, 34	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
36	17, 35	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
37	36	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
38	37	ralimdva 2533	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
39	38	reximdva 2568	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
40	16, 39	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
41	40	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
42		2clim.3	. . 3 |- ( ph -> G e. V )
43		eqidd 2166	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 11225	. 2 |- ( ph -> ( G ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
45	41, 44	mpbird 166	1 |- ( ph -> G ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   < clt 7933   - cmin 8069   / cdiv 8568   2c2 8908   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  mertensabs  11478