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Theorem 2clim 11336
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2clim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2clim.3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
2clim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2clim.6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2clim.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Assertion
Ref Expression
2clim  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable groups:    j, k, A   
x, j, F, k   
j, G, x    j, M    ph, j, k    j, Z, k, x    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    M( x, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2 rphalfcl 9706 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
3 breq2 4022 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
43rexralbidv 2516 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
54rspccva 2855 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )
61, 2, 5syl2an 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) )
7 2clim.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8 2clim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
102adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
11 eqidd 2190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
12 2clim.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
1312adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~>  A )
147, 9, 10, 11, 13climi 11322 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
157rexanuz2 11027 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  <-> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
166, 14, 15sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
177uztrn2 9570 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 an12 561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2120ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2219, 21abssubd 11229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) ) )
2322breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2423anbi1d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
25 climcl 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
2612, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
28 rpre 9685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
2928ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
30 abs3lem 11147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  k )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 1250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3224, 31sylbid 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3332anassrs 400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  ( F `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3433expimpd 363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3518, 34biimtrid 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
3617, 35sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3736anassrs 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3837ralimdva 2557 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3938reximdva 2592 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y ) )
4016, 39mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
4140ralrimiva 2563 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
)
42 2clim.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
43 eqidd 2190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 11319 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
4541, 44mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   CCcc 7834   RRcr 7835    < clt 8017    - cmin 8153    / cdiv 8654   2c2 8995   ZZcz 9278   ZZ>=cuz 9553   RR+crp 9678   abscabs 11033    ~~> cli 11313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-rp 9679  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-clim 11314
This theorem is referenced by:  mertensabs  11572
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