Theorem 2clim 10909

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
2clim.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
2clim.3	|- ( ph -> G e. V )
2clim.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
2clim.6	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2clim.7	|- ( ph -> F ~~> A )

Assertion

Ref	Expression
2clim	|- ( ph -> G ~~> A )

Distinct variable groups:   j, k, A   x, j, F, k   j, G, x   j, M   ph, j, k   j, Z, k, x   k, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   M( x, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x )
2		rphalfcl 9318	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
3		breq2 3879	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
4	3	rexralbidv 2420	. . . . . . 7 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
5	4	rspccva 2743	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < x /\ ( y / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
6	1, 2, 5	syl2an 285	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) )
7		2clim.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8		2clim.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
10	2	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
11		eqidd 2101	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
12		2clim.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ~~> A )
13	12	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> A )
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 10895	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) )
15	7	rexanuz2 10603	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
16	6, 14, 15	sylanbrc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
17	7	uztrn2 9193	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
18		an12 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
19		simprr 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
21	20	ad2ant2r 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
22	19, 21	abssubd 10805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) )
23	22	breq1d 3885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
24	23	anbi1d 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) )
25		climcl 10890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
26	12, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
27	26	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> A e. CC )
28		rpre 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
29	28	ad2antlr 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> y e. RR )
30		abs3lem 10723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G ` k ) e. CC /\ A e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ y e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
32	24, 31	sylbid 149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
33	32	anassrs 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
34	33	expimpd 358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
35	18, 34	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
36	17, 35	sylan2 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
37	36	anassrs 395	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
38	37	ralimdva 2458	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
39	38	reximdva 2493	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ) < ( y / 2 ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
40	16, 39	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
41	40	ralrimiva 2464	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
42		2clim.3	. . 3 |- ( ph -> G e. V )
43		eqidd 2101	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 10892	. 2 |- ( ph -> ( G ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
45	41, 44	mpbird 166	1 |- ( ph -> G ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   < clt 7672   - cmin 7804   / cdiv 8293   2c2 8629   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   RR+crp 9291   abscabs 10609   ~~> cli 10886

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887

This theorem is referenced by:  mertensabs  11145