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Theorem ordiso2 6928
Description: Generalize ordiso 6929 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4416 . . . . . 6 |- ( Ord A -> A C_ On )
213ad2ant2 1004 . . . . 5 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A C_ On )
32sseld 3101 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> x e. On ) )
4 eleq1 2203 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
5 fveq2 5429 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
6 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
75, 6eqeq12d 2155 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` y ) = y ) )
84, 7imbi12d 233 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) <-> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
98imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) ) )
10 r19.21v 2512 . . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
11 ordelss 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x C_ A )
12113ad2antl2 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> x C_ A )
1312sselda 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
14 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1615ralbidva 2434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> A. y e. x ( F ` y ) = y ) )
17 isof1o 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
18173ad2ant1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
1918ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A -1-1-onto-> B )
20 simpll3 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> Ord B )
21 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. ( F ` x ) )
22 f1of 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A --> B )
24233ad2ant1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A --> B )
2524ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A --> B )
26 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> x e. A )
2725, 26ffvelrnd 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
2821, 27jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) )
29 ordtr1 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord B -> ( ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> z e. B ) )
3020, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. B )
31 f1ocnvfv2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3219, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3332, 21eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) )
34 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
35 f1ocnv 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
36 f1of 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3719, 35, 363syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> `' F : B --> A )
3837, 30ffvelrnd 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. A )
39 isorel 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( ( `' F ` z ) e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
4034, 38, 26, 39syl12anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
41 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
4241epelc 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x )
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x ) )
44 f1ofn 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
4517, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F Fn A )
46 funfvex 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
4746funfni 5231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4845, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4934, 26, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
50 epelg 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5240, 43, 513bitr3d 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) e. x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5333, 52mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. x )
54 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
55 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` z ) ) )
56 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> y = ( `' F ` z ) )
5755, 56eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5857rspcv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` z ) e. x -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5953, 54, 58sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) )
6032, 59eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z = ( `' F ` z ) )
6160, 53eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. x )
62 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
63 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
64 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> y = z )
6563, 64eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` z ) = z ) )
6665rspccva 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. x ( F ` y ) = y /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
6762, 66sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
68 epel 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z _E x <-> z e. x )
6968biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> z _E x )
7069adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z _E x )
71 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
72 simpl2 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> Ord A )
73 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x e. A )
7472, 73, 11syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x C_ A )
7574sselda 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. A )
76 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> x e. A )
77 isorel 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( z e. A /\ x e. A ) ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7871, 75, 76, 77syl12anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7970, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) _E ( F ` x ) )
8071, 76, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` x ) e. _V )
81 epelg 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8379, 82mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) e. ( F ` x ) )
8467, 83eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. ( F ` x ) )
8561, 84impbida 586 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( z e. ( F ` x ) <-> z e. x ) )
8685eqrdv 2138 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( F ` x ) = x )
8786expr 373 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` x ) = x ) )
8816, 87sylbid 149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) )
8988ex 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) ) )
9089com23 78 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9190a2i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9291a1i 9 . . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
9310, 92syl5bi 151 . . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
949, 93tfis2 4507 . . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9594com3l 81 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( x e. On -> ( F ` x ) = x ) ) )
963, 95mpdd 41 . . 3 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) )
9796ralrimiv 2507 . 2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. x e. A ( F ` x ) = x )
98 fveq2 5429 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
99 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
10098, 99eqeq12d 2155 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` z ) = z ) )
101100rspccva 2792 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( F ` x ) = x /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
102101adantll 468 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
10323ffvelrnda 5563 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
1041033ad2antl1 1144 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
105104adantlr 469 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
106102, 105eqeltrrd 2218 . . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> z e. B )
107106ex 114 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A -> z e. B ) )
108 simpl1 985 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
109 f1ofo 5382 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
110 forn 5356 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
11117, 109, 1103syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> ran F = B )
112108, 111syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ran F = B )
113112eleq2d 2210 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> z e. B ) )
114453ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F Fn A )
115114adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Fn A )
116 fvelrnb 5477 . . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
117115, 116syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
118113, 117bitr3d 189 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
119 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
120 id 19 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> x = w )
121119, 120eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` w ) = w ) )
122121rspcv 2789 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) )
123122a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) ) )
124 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
125 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = w )
126124, 125eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> z = w )
127126adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z = w )
128 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> w e. A )
129127, 128eqeltrd 2217 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z e. A )
130129exp43 370 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = w -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
131123, 130syldd 67 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
132131com23 78 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
133132imp 123 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) )
134133rexlimdv 2551 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( E. w e. A ( F ` w ) = z -> z e. A ) )
135118, 134sylbid 149 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B -> z e. A ) )
136107, 135impbid 128 . . 3 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A <-> z e. B ) )
137136eqrdv 2138 . 2 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> A = B )
13897, 137mpdan 418 1 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   _E cep 4217   Ord word 4292   Oncon0 4293   `'ccnv 4546   ran crn 4548   Fn wfn 5126   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131   Isom wiso 5132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140
This theorem is referenced by:  ordiso  6929
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