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Theorem ordiso2 7094
Description: Generalize ordiso 7095 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4524 . . . . . 6 |- ( Ord A -> A C_ On )
213ad2ant2 1021 . . . . 5 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A C_ On )
32sseld 3178 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> x e. On ) )
4 eleq1 2256 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
5 fveq2 5554 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
6 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
75, 6eqeq12d 2208 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` y ) = y ) )
84, 7imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) <-> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
98imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) ) )
10 r19.21v 2571 . . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
11 ordelss 4410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x C_ A )
12113ad2antl2 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> x C_ A )
1312sselda 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
14 pm5.5 242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1615ralbidva 2490 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> A. y e. x ( F ` y ) = y ) )
17 isof1o 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
18173ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A -1-1-onto-> B )
20 simpll3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> Ord B )
21 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. ( F ` x ) )
22 f1of 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A --> B )
24233ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A --> B )
2524ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A --> B )
26 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> x e. A )
2725, 26ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
2821, 27jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) )
29 ordtr1 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord B -> ( ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> z e. B ) )
3020, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. B )
31 f1ocnvfv2 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3219, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3332, 21eqeltrd 2270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) )
34 simpll1 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
35 f1ocnv 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
36 f1of 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3719, 35, 363syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> `' F : B --> A )
3837, 30ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. A )
39 isorel 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( ( `' F ` z ) e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
4034, 38, 26, 39syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
41 vex 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
4241epelc 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x )
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x ) )
44 f1ofn 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
4517, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F Fn A )
46 funfvex 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
4746funfni 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4845, 47sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4934, 26, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
50 epelg 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5240, 43, 513bitr3d 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) e. x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5333, 52mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. x )
54 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
55 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` z ) ) )
56 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> y = ( `' F ` z ) )
5755, 56eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5857rspcv 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` z ) e. x -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5953, 54, 58sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) )
6032, 59eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z = ( `' F ` z ) )
6160, 53eqeltrd 2270 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. x )
62 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
63 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
64 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> y = z )
6563, 64eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` z ) = z ) )
6665rspccva 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. x ( F ` y ) = y /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
6762, 66sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
68 epel 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z _E x <-> z e. x )
6968biimpri 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> z _E x )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z _E x )
71 simpll1 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
72 simpl2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> Ord A )
73 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x e. A )
7472, 73, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x C_ A )
7574sselda 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. A )
76 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> x e. A )
77 isorel 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( z e. A /\ x e. A ) ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7871, 75, 76, 77syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7970, 78mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) _E ( F ` x ) )
8071, 76, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` x ) e. _V )
81 epelg 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8379, 82mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) e. ( F ` x ) )
8467, 83eqeltrrd 2271 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. ( F ` x ) )
8561, 84impbida 596 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( z e. ( F ` x ) <-> z e. x ) )
8685eqrdv 2191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( F ` x ) = x )
8786expr 375 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` x ) = x ) )
8816, 87sylbid 150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) )
8988ex 115 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) ) )
9089com23 78 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9190a2i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9291a1i 9 . . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
9310, 92biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
949, 93tfis2 4617 . . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9594com3l 81 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( x e. On -> ( F ` x ) = x ) ) )
963, 95mpdd 41 . . 3 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) )
9796ralrimiv 2566 . 2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. x e. A ( F ` x ) = x )
98 fveq2 5554 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
99 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
10098, 99eqeq12d 2208 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` z ) = z ) )
101100rspccva 2863 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( F ` x ) = x /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
102101adantll 476 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
10323ffvelcdmda 5693 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
1041033ad2antl1 1161 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
105104adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
106102, 105eqeltrrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> z e. B )
107106ex 115 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A -> z e. B ) )
108 simpl1 1002 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
109 f1ofo 5507 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
110 forn 5479 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
11117, 109, 1103syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> ran F = B )
112108, 111syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ran F = B )
113112eleq2d 2263 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> z e. B ) )
114453ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F Fn A )
115114adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Fn A )
116 fvelrnb 5604 . . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
117115, 116syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
118113, 117bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
119 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
120 id 19 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> x = w )
121119, 120eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` w ) = w ) )
122121rspcv 2860 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) )
123122a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) ) )
124 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
125 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = w )
126124, 125eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> z = w )
127126adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z = w )
128 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> w e. A )
129127, 128eqeltrd 2270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z e. A )
130129exp43 372 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = w -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
131123, 130syldd 67 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
132131com23 78 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
133132imp 124 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) )
134133rexlimdv 2610 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( E. w e. A ( F ` w ) = z -> z e. A ) )
135118, 134sylbid 150 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B -> z e. A ) )
136107, 135impbid 129 . . 3 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A <-> z e. B ) )
137136eqrdv 2191 . 2 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> A = B )
13897, 137mpdan 421 1 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   _E cep 4318   Ord word 4393   Oncon0 4394   `'ccnv 4658   ran crn 4660   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254   Isom wiso 5255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263
This theorem is referenced by:  ordiso  7095
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