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Theorem ordiso2 7028
Description: Generalize ordiso 7029 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4488 . . . . . 6 |- ( Ord A -> A C_ On )
213ad2ant2 1019 . . . . 5 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A C_ On )
32sseld 3154 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> x e. On ) )
4 eleq1 2240 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
5 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
6 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
75, 6eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` y ) = y ) )
84, 7imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) <-> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
98imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) ) )
10 r19.21v 2554 . . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
11 ordelss 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x C_ A )
12113ad2antl2 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> x C_ A )
1312sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
14 pm5.5 242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
1615ralbidva 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> A. y e. x ( F ` y ) = y ) )
17 isof1o 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
18173ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A -1-1-onto-> B )
20 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> Ord B )
21 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. ( F ` x ) )
22 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A --> B )
24233ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A --> B )
2524ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A --> B )
26 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> x e. A )
2725, 26ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
2821, 27jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) )
29 ordtr1 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord B -> ( ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> z e. B ) )
3020, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. B )
31 f1ocnvfv2 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3219, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3332, 21eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) )
34 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
35 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
36 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
3719, 35, 363syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> `' F : B --> A )
3837, 30ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. A )
39 isorel 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( ( `' F ` z ) e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
4034, 38, 26, 39syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
41 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
4241epelc 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x )
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x ) )
44 f1ofn 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
4517, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F Fn A )
46 funfvex 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
4746funfni 5312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4845, 47sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
4934, 26, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
50 epelg 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5240, 43, 513bitr3d 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) e. x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
5333, 52mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. x )
54 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
55 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` z ) ) )
56 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> y = ( `' F ` z ) )
5755, 56eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5857rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` z ) e. x -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
5953, 54, 58sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) )
6032, 59eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z = ( `' F ` z ) )
6160, 53eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. x )
62 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
63 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
64 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> y = z )
6563, 64eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` z ) = z ) )
6665rspccva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. x ( F ` y ) = y /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
6762, 66sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
68 epel 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z _E x <-> z e. x )
6968biimpri 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> z _E x )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z _E x )
71 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
72 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> Ord A )
73 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x e. A )
7472, 73, 11syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x C_ A )
7574sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. A )
76 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> x e. A )
77 isorel 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( z e. A /\ x e. A ) ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7871, 75, 76, 77syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
7970, 78mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) _E ( F ` x ) )
8071, 76, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` x ) e. _V )
81 epelg 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
8379, 82mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) e. ( F ` x ) )
8467, 83eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. ( F ` x ) )
8561, 84impbida 596 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( z e. ( F ` x ) <-> z e. x ) )
8685eqrdv 2175 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( F ` x ) = x )
8786expr 375 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` x ) = x ) )
8816, 87sylbid 150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) )
8988ex 115 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) ) )
9089com23 78 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9190a2i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9291a1i 9 . . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
9310, 92biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
949, 93tfis2 4581 . . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
9594com3l 81 . . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( x e. On -> ( F ` x ) = x ) ) )
963, 95mpdd 41 . . 3 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) )
9796ralrimiv 2549 . 2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. x e. A ( F ` x ) = x )
98 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
99 id 19 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
10098, 99eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` z ) = z ) )
101100rspccva 2840 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( F ` x ) = x /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
102101adantll 476 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
10323ffvelcdmda 5647 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
1041033ad2antl1 1159 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
105104adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
106102, 105eqeltrrd 2255 . . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> z e. B )
107106ex 115 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A -> z e. B ) )
108 simpl1 1000 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
109 f1ofo 5464 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
110 forn 5437 . . . . . . . . 9 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
11117, 109, 1103syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> ran F = B )
112108, 111syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ran F = B )
113112eleq2d 2247 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> z e. B ) )
114453ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F Fn A )
115114adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Fn A )
116 fvelrnb 5559 . . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
117115, 116syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
118113, 117bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
119 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
120 id 19 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> x = w )
121119, 120eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` w ) = w ) )
122121rspcv 2837 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) )
123122a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) ) )
124 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
125 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = w )
126124, 125eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> z = w )
127126adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z = w )
128 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> w e. A )
129127, 128eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z e. A )
130129exp43 372 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = w -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
131123, 130syldd 67 . . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
132131com23 78 . . . . . . 7 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
133132imp 124 . . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) )
134133rexlimdv 2593 . . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( E. w e. A ( F ` w ) = z -> z e. A ) )
135118, 134sylbid 150 . . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B -> z e. A ) )
136107, 135impbid 129 . . 3 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A <-> z e. B ) )
137136eqrdv 2175 . 2 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> A = B )
13897, 137mpdan 421 1 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   _E cep 4284   Ord word 4359   Oncon0 4360   `'ccnv 4622   ran crn 4624   Fn wfn 5207   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   Isom wiso 5213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221
This theorem is referenced by:  ordiso  7029
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