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Theorem isumshft 10880
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j,
k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    j, Z, k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  <->  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
65biimpri 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  x  e.  W )
76adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  x  e.  W
)
8 isumshft.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
98ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. j  e.  W  A  e.  CC )
109adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  A. j  e.  W  A  e.  CC )
11 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ x  /  j ]_ A
1211nfel1 2239 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
[_ x  /  j ]_ A  e.  CC
13 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  x  ->  A  =  [_ x  /  j ]_ A )
1413eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  x  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ x  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
1512, 14rspc 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  W  ->  ( A. j  e.  W  A  e.  CC  ->  [_ x  /  j ]_ A  e.  CC )
)
167, 10, 15sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  [_ x  /  j ]_ A  e.  CC )
17 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
1817fvmpts 5382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  W  /\  [_ x  /  j ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  x )  =  [_ x  /  j ]_ A
)
197, 16, 18syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 x )  = 
[_ x  /  j ]_ A )
2019, 16eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 x )  e.  CC )
214eleq2i 2154 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
222zcnd 8867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
23 eluzelcn 9028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
2423, 4eleq2s 2182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
25 zex 8757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
26 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
27 uzssz 9036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2826, 27eqsstri 3056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  C_  ZZ
2925, 28ssexi 3977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
3029mptex 5523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
3130shftval 10255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
3222, 24, 31syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
33 eqidd 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B ) )
34 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
3534eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
369adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. j  e.  W  A  e.  CC )
371adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  e.  ZZ )
382adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  K  e.  ZZ )
3937, 38zaddcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
40 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4140, 26eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
4241adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
4338, 42zaddcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ZZ )
4437zred 8866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  e.  RR )
4542zred 8866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  RR )
4638zred 8866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  K  e.  RR )
4726eleq2i 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4847biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4948adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
50 eluzle 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  <_  k )
5244, 45, 46, 51leadd1dd 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) )
5342zcnd 8867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  CC )
5438zcnd 8867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  K  e.  CC )
5553, 54addcomd 7631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  =  ( K  +  k ) )
5652, 55breqtrd 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  K )  <_  ( K  +  k ) )
57 eluz2 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( ( M  +  K )  e.  ZZ  /\  ( K  +  k )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( K  +  k ) ) )
5839, 43, 56, 57syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
5958, 4syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
6035, 36, 59rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
6133, 60fvmpt2d 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  B )
62 eqidd 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A ) )
6334adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  j  =  ( K  +  k ) )  ->  A  =  B )
6462, 63, 59, 60fvmptd 5385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  B )
6561, 64eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
6665ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
67 nffvmpt1 5316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
6867nfeq1 2238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
69 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
70 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
7170fveq2d 5309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
7269, 71eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
7368, 72rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
7466, 73mpan9 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
7574ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
7675adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
771adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
782adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
79 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
8079, 4syl6eleq 2180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
81 eluzsub 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
8277, 78, 80, 81syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
8382, 26syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
84 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
85 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
8685fveq2d 5309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
8784, 86eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
8887rspccva 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
8976, 83, 88syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
90 pncan3 7688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
9122, 24, 90syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
9291fveq2d 5309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
9332, 89, 923eqtrrd 2125 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
9421, 93sylan2br 282 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
95 addcl 7465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
9695adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
973, 20, 94, 96seq3feq 9893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
9897breq1d 3855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) )  ~~>  x ) )
9930a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
10026eleq2i 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Z  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
101100biimpri 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  Z )
102101adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  Z )
10360ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  B  e.  CC )
104103adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  B  e.  CC )
105 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
106105nfel1 2239 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  CC
107 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
108107eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
109106, 108rspc 2716 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  B  e.  CC  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
)
110102, 104, 109sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  CC )
111 eqid 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
112111fvmpts 5382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Z  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  x )  =  [_ x  /  k ]_ B
)
113102, 110, 112syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  x )  =  [_ x  / 
k ]_ B )
114113, 110eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  x )  e.  CC )
11599, 1, 2, 114, 96iser3shft 10731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) )  ~~>  x ) )
11698, 115bitr4d 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
117116iotabidv 5001 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
118 df-fv 5023 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
119 df-fv 5023 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
120117, 118, 1193eqtr4g 2145 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq ( M  +  K )
(  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
121 eqidd 2089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
1228fmpttd 5453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
123122ffvelrnda 5434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
1244, 3, 121, 123isum 10772 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
125 eqidd 2089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
126122adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
127 eluzelcn 9028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
128127, 26eleq2s 2182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
129 addcom 7617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
13022, 128, 129syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
131 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
132131, 26syl6eleq 2180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
133 eluzadd 9045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
134132, 2, 133syl2anr 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
135130, 134eqeltrd 2164 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
136135, 4syl6eleqr 2181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
137136ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
13870eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
139138rspccva 2721 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
140137, 139sylan 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
141126, 140ffvelrnd 5435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
14274, 141eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
14326, 1, 125, 142isum 10772 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
144120, 124, 1433eqtr4d 2130 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
145 sumfct 10759 . . 3  |-  ( A. j  e.  W  A  e.  CC  ->  sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ j  e.  W  A )
1469, 145syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
)
147 sumfct 10759 . . 3  |-  ( A. k  e.  Z  B  e.  CC  ->  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
sum_ k  e.  Z  B )
148103, 147syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
)
149144, 146, 1483eqtr3d 2128 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   [_csb 2933   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   iotacio 4978   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346    + caddc 7351    <_ cle 7521    - cmin 7651   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    seqcseq 9848    shift cshi 10244    ~~> cli 10662   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-shft 10245  df-cj 10272  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
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