Theorem isumshft 11369

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   j, Z, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 9273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W <-> x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	5	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> x e. W )
7	6	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> x e. W )
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
9	8	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. j e. W A e. CC )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> A. j e. W A e. CC )
11		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ x / j ]_ A
12	11	nfel1 2310	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ x / j ]_ A e. CC
13		csbeq1a 3040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = x -> A = [_ x / j ]_ A )
14	13	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = x -> ( A e. CC <-> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2810	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. W -> ( A. j e. W A e. CC -> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> [_ x / j ]_ A e. CC )
17		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
18	17	fvmpts 5543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. W /\ [_ x / j ]_ A e. CC ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
19	7, 16, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
20	19, 16	eqeltrd 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) e. CC )
21	4	eleq2i 2224	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
22	2	zcnd 9270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
23		eluzelcn 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
24	23, 4	eleq2s 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
25		zex 9159	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27		uzssz 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
28	26, 27	eqsstri 3160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z C_ ZZ
29	25, 28	ssexi 4102	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
30	29	mptex 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
31	30	shftval 10707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
32	22, 24, 31	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
33		eqidd 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B ) )
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
35	34	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
36	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. j e. W A e. CC )
37	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. ZZ )
38	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. ZZ )
39	37, 38	zaddcld 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) e. ZZ )
40		eluzelz 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
41	40, 26	eleq2s 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
43	38, 42	zaddcld 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ZZ )
44	37	zred 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. RR )
45	42	zred 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. RR )
46	38	zred 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. RR )
47	26	eleq2i 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
48	47	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
50		eluzle 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M <_ k )
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) )
53	42	zcnd 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. CC )
54	38	zcnd 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. CC )
55	53, 54	addcomd 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) = ( K + k ) )
56	52, 55	breqtrd 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( K + k ) )
57		eluz2 9428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( K + k ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( K + k ) ) )
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
59	58, 4	eleqtrrdi 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
60	35, 36, 59	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
61	33, 60	fvmpt2d 5551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = B )
62		eqidd 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A ) )
63	34	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j = ( K + k ) ) -> A = B )
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = B )
65	61, 64	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
66	65	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
67		nffvmpt1 5476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
68	67	nfeq1 2309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
69		fveq2 5465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
70		oveq2 5826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
71	70	fveq2d 5469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
73	68, 72	rspc 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
74	66, 73	mpan9 279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
75	74	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
77	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
78	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
79		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
80	79, 4	eleqtrdi 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
81		eluzsub 9451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
83	82, 26	eleqtrrdi 2251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
84		fveq2 5465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
85		oveq2 5826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
86	85	fveq2d 5469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
88	87	rspccva 2815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
89	76, 83, 88	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
90		pncan3 8066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
91	22, 24, 90	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
92	91	fveq2d 5469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
94	21, 93	sylan2br 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
95		addcl 7840	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
96	95	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10353	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
98	97	breq1d 3975	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) e. _V )
100	26	eleq2i 2224	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
101	100	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. Z )
102	101	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. Z )
103	60	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. Z B e. CC )
104	103	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z B e. CC )
105		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
106	105	nfel1 2310	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ x / k ]_ B e. CC
107		csbeq1a 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
108	107	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( B e. CC <-> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
109	106, 108	rspc 2810	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Z -> ( A. k e. Z B e. CC -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
111		eqid 2157	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
112	111	fvmpts 5543	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Z /\ [_ x / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
113	102, 110, 112	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
114	113, 110	eqeltrd 2234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) e. CC )
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 11225	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
116	98, 115	bitr4d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
117	116	iotabidv 5153	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
118		df-fv 5175	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
119		df-fv 5175	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2215	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
121		eqidd 2158	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
122	8	fmpttd 5619	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
123	122	ffvelrnda 5599	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
124	4, 3, 121, 123	isum 11264	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
125		eqidd 2158	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
126	122	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
127		eluzelcn 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
128	127, 26	eleq2s 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. CC )
129		addcom 7995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
130	22, 128, 129	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 26	eleqtrdi 2250	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
133		eluzadd 9450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
134	132, 2, 133	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
135	130, 134	eqeltrd 2234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
136	135, 4	eleqtrrdi 2251	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
137	136	ralrimiva 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
138	70	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
139	138	rspccva 2815	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
140	137, 139	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
141	126, 140	ffvelrnd 5600	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
142	74, 141	eqeltrd 2234	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
143	26, 1, 125, 142	isum 11264	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2200	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
145		sumfct 11253	. . 3 |- ( A. j e. W A e. CC -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
146	9, 145	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
147		sumfct 11253	. . 3 |- ( A. k e. Z B e. CC -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
148	103, 147	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2198	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   [_csb 3031   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   iotacio 5130   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   CCcc 7713   + caddc 7718   <_ cle 7896   - cmin 8029   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422   seqcseq 10326   shift cshi 10696   ~~> cli 11157   sum_csu 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-shft 10697  df-cj 10724  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233

This theorem is referenced by:  eftlub  11569