Theorem isumshft 12114

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   j, Z, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 9650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W <-> x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> x e. W )
7	6	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> x e. W )
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
9	8	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. j e. W A e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> A. j e. W A e. CC )
11		nfcsb1v 3161	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ x / j ]_ A
12	11	nfel1 2386	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ x / j ]_ A e. CC
13		csbeq1a 3137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = x -> A = [_ x / j ]_ A )
14	13	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = x -> ( A e. CC <-> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2905	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. W -> ( A. j e. W A e. CC -> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> [_ x / j ]_ A e. CC )
17		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
18	17	fvmpts 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. W /\ [_ x / j ]_ A e. CC ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
19	7, 16, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
20	19, 16	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) e. CC )
21	4	eleq2i 2298	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
22	2	zcnd 9647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
23		eluzelcn 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
24	23, 4	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
25		zex 9532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27		uzssz 9820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
28	26, 27	eqsstri 3260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z C_ ZZ
29	25, 28	ssexi 4232	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
30	29	mptex 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
31	30	shftval 11448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
32	22, 24, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
33		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B ) )
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
35	34	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
36	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. j e. W A e. CC )
37	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. ZZ )
38	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. ZZ )
39	37, 38	zaddcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) e. ZZ )
40		eluzelz 9809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
41	40, 26	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
43	38, 42	zaddcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ZZ )
44	37	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. RR )
45	42	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. RR )
46	38	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. RR )
47	26	eleq2i 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
48	47	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
50		eluzle 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M <_ k )
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) )
53	42	zcnd 9647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. CC )
54	38	zcnd 9647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. CC )
55	53, 54	addcomd 8372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) = ( K + k ) )
56	52, 55	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( K + k ) )
57		eluz2 9805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( K + k ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( K + k ) ) )
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
59	58, 4	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
60	35, 36, 59	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
61	33, 60	fvmpt2d 5742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = B )
62		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A ) )
63	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j = ( K + k ) ) -> A = B )
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = B )
65	61, 64	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
66	65	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
67		nffvmpt1 5659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
68	67	nfeq1 2385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
69		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
70		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
71	70	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
73	68, 72	rspc 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
74	66, 73	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
75	74	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
77	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
78	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
80	79, 4	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
81		eluzsub 9830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
83	82, 26	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
84		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
85		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
86	85	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
88	87	rspccva 2910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
89	76, 83, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
90		pncan3 8429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
91	22, 24, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
92	91	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
94	21, 93	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
95		addcl 8200	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
96	95	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10788	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
98	97	breq1d 4103	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) e. _V )
100	26	eleq2i 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
101	100	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. Z )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. Z )
103	60	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. Z B e. CC )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z B e. CC )
105		nfcsb1v 3161	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
106	105	nfel1 2386	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ x / k ]_ B e. CC
107		csbeq1a 3137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
108	107	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( B e. CC <-> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
109	106, 108	rspc 2905	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Z -> ( A. k e. Z B e. CC -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
111		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
112	111	fvmpts 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Z /\ [_ x / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
113	102, 110, 112	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
114	113, 110	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) e. CC )
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 11969	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
116	98, 115	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
117	116	iotabidv 5316	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
118		df-fv 5341	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
119		df-fv 5341	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2289	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
121		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
122	8	fmpttd 5810	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
123	122	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
124	4, 3, 121, 123	isum 12009	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
125		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
126	122	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
127		eluzelcn 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
128	127, 26	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. CC )
129		addcom 8358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
130	22, 128, 129	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 26	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
133		eluzadd 9829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
134	132, 2, 133	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
135	130, 134	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
136	135, 4	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
137	136	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
138	70	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
139	138	rspccva 2910	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
140	137, 139	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
141	126, 140	ffvelcdmd 5791	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
142	74, 141	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
143	26, 1, 125, 142	isum 12009	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
145		sumfct 11997	. . 3 |- ( A. j e. W A e. CC -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
146	9, 145	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
147		sumfct 11997	. . 3 |- ( A. k e. Z B e. CC -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
148	103, 147	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2272	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   [_csb 3128   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   iotacio 5291   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   + caddc 8078   <_ cle 8257   - cmin 8392   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   seqcseq 10755   shift cshi 11437   ~~> cli 11901   sum_csu 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977

This theorem is referenced by:  eftlub  12314