Theorem isumshft 11431

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   j, Z, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 9317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W <-> x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	5	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> x e. W )
7	6	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> x e. W )
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
9	8	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. j e. W A e. CC )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> A. j e. W A e. CC )
11		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ x / j ]_ A
12	11	nfel1 2319	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ x / j ]_ A e. CC
13		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = x -> A = [_ x / j ]_ A )
14	13	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = x -> ( A e. CC <-> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. W -> ( A. j e. W A e. CC -> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> [_ x / j ]_ A e. CC )
17		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
18	17	fvmpts 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. W /\ [_ x / j ]_ A e. CC ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
19	7, 16, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
20	19, 16	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) e. CC )
21	4	eleq2i 2233	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
22	2	zcnd 9314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
23		eluzelcn 9477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
24	23, 4	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
25		zex 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27		uzssz 9485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
28	26, 27	eqsstri 3174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z C_ ZZ
29	25, 28	ssexi 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
30	29	mptex 5711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
31	30	shftval 10767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
32	22, 24, 31	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
33		eqidd 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B ) )
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
35	34	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
36	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. j e. W A e. CC )
37	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. ZZ )
38	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. ZZ )
39	37, 38	zaddcld 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) e. ZZ )
40		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
41	40, 26	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
43	38, 42	zaddcld 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ZZ )
44	37	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. RR )
45	42	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. RR )
46	38	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. RR )
47	26	eleq2i 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
48	47	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
50		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M <_ k )
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) )
53	42	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. CC )
54	38	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. CC )
55	53, 54	addcomd 8049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) = ( K + k ) )
56	52, 55	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( K + k ) )
57		eluz2 9472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( K + k ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( K + k ) ) )
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
59	58, 4	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
60	35, 36, 59	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
61	33, 60	fvmpt2d 5572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = B )
62		eqidd 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A ) )
63	34	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j = ( K + k ) ) -> A = B )
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = B )
65	61, 64	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
66	65	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
67		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
68	67	nfeq1 2318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
69		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
70		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
71	70	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
73	68, 72	rspc 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
74	66, 73	mpan9 279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
75	74	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
77	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
78	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
79		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
80	79, 4	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
81		eluzsub 9495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
83	82, 26	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
84		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
85		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
86	85	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
88	87	rspccva 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
89	76, 83, 88	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
90		pncan3 8106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
91	22, 24, 90	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
92	91	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
94	21, 93	sylan2br 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
95		addcl 7878	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
96	95	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10407	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
98	97	breq1d 3992	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) e. _V )
100	26	eleq2i 2233	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
101	100	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. Z )
102	101	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. Z )
103	60	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. Z B e. CC )
104	103	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z B e. CC )
105		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
106	105	nfel1 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ x / k ]_ B e. CC
107		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
108	107	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( B e. CC <-> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
109	106, 108	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Z -> ( A. k e. Z B e. CC -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
111		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
112	111	fvmpts 5564	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Z /\ [_ x / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
113	102, 110, 112	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
114	113, 110	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) e. CC )
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 11287	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
116	98, 115	bitr4d 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
117	116	iotabidv 5174	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
118		df-fv 5196	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
119		df-fv 5196	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2224	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
121		eqidd 2166	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
122	8	fmpttd 5640	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
123	122	ffvelrnda 5620	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
124	4, 3, 121, 123	isum 11326	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
125		eqidd 2166	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
126	122	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
127		eluzelcn 9477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
128	127, 26	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. CC )
129		addcom 8035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
130	22, 128, 129	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 26	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
133		eluzadd 9494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
134	132, 2, 133	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
135	130, 134	eqeltrd 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
136	135, 4	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
137	136	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
138	70	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
139	138	rspccva 2829	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
140	137, 139	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
141	126, 140	ffvelrnd 5621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
142	74, 141	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
143	26, 1, 125, 142	isum 11326	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
145		sumfct 11315	. . 3 |- ( A. j e. W A e. CC -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
146	9, 145	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
147		sumfct 11315	. . 3 |- ( A. k e. Z B e. CC -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
148	103, 147	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2206	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   [_csb 3045   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   iotacio 5151   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   + caddc 7756   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380   shift cshi 10756   ~~> cli 11219   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  eftlub  11631