Theorem isumshft 12257

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumshft.2	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
isumshft.3	|- ( j = ( K + k ) -> A = B )
isumshft.4	|- ( ph -> K e. ZZ )
isumshft.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumshft.6	|- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   j, k, K   ph, j, k   j, W, k   B, j   j, Z, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)   M( j, k)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	zaddcld 9772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
5	4	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W <-> x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> x e. W )
7	6	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> x e. W )
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. W ) -> A e. CC )
9	8	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. j e. W A e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> A. j e. W A e. CC )
11		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ x / j ]_ A
12	11	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ x / j ]_ A e. CC
13		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = x -> A = [_ x / j ]_ A )
14	13	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = x -> ( A e. CC <-> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2923	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. W -> ( A. j e. W A e. CC -> [_ x / j ]_ A e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> [_ x / j ]_ A e. CC )
17		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A )
18	17	fvmpts 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. W /\ [_ x / j ]_ A e. CC ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
19	7, 16, 18	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) = [_ x / j ]_ A )
20	19, 16	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` x ) e. CC )
21	4	eleq2i 2305	. . . . . . . . 9 |- ( m e. W <-> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
22	2	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. CC )
23		eluzelcn 9933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> m e. CC )
24	23, 4	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. W -> m e. CC )
25		zex 9653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27		uzssz 9942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
28	26, 27	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z C_ ZZ
29	25, 28	ssexi 4271	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
30	29	mptex 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> B ) e. _V
31	30	shftval 11590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
32	22, 24, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
33		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B ) )
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = ( K + k ) -> A = B )
35	34	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = ( K + k ) -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
36	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. j e. W A e. CC )
37	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. ZZ )
38	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. ZZ )
39	37, 38	zaddcld 9772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) e. ZZ )
40		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
41	40, 26	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
43	38, 42	zaddcld 9772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ZZ )
44	37	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. RR )
45	42	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. RR )
46	38	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. RR )
47	26	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
48	47	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
50		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M <_ k )
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) )
53	42	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. CC )
54	38	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> K e. CC )
55	53, 54	addcomd 8477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) = ( K + k ) )
56	52, 55	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + K ) <_ ( K + k ) )
57		eluz2 9927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( K + k ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( K + k ) ) )
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
59	58, 4	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
60	35, 36, 59	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
61	33, 60	fvmpt2d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = B )
62		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) = ( j e. W |-> A ) )
63	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j = ( K + k ) ) -> A = B )
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = B )
65	61, 64	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
66	65	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) )
67		nffvmpt1 5706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n )
68	67	nfeq1 2402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) )
69		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
70		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( K + k ) = ( K + n ) )
71	70	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
73	68, 72	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> ( A. k e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + k ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) ) )
74	66, 73	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
75	74	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) )
77	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> M e. ZZ )
78	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> K e. ZZ )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. W )
80	79, 4	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
81		eluzsub 9952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
83	82, 26	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( m - K ) e. Z )
84		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) )
85		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( K + n ) = ( K + ( m - K ) ) )
86	85	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m - K ) -> ( ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) <-> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) ) )
88	87	rspccva 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) /\ ( m - K ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
89	76, 83, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` ( m - K ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) )
90		pncan3 8534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
91	22, 24, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
92	91	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + ( m - K ) ) ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
94	21, 93	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ` m ) )
95		addcl 8304	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
96	95	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10917	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) = seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) )
98	97	breq1d 4140	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. Z |-> B ) e. _V )
100	26	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
101	100	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. Z )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. Z )
103	60	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. Z B e. CC )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z B e. CC )
105		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
106	105	nfel1 2403	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ x / k ]_ B e. CC
107		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
108	107	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( B e. CC <-> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
109	106, 108	rspc 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Z -> ( A. k e. Z B e. CC -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
111		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z |-> B ) = ( k e. Z |-> B )
112	111	fvmpts 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Z /\ [_ x / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
113	102, 110, 112	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) = [_ x / k ]_ B )
114	113, 110	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` x ) e. CC )
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 12112	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x <-> seq ( M + K ) ( + , ( ( k e. Z |-> B ) shift K ) ) ~~> x ) )
116	98, 115	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
117	116	iotabidv 5360	. . . 4 |- ( ph -> ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x ) )
118		df-fv 5385	. . . 4 |- ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( iota x seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ~~> x )
119		df-fv 5385	. . . 4 |- ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) = ( iota x seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ~~> x )
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2296	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
121		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ( j e. W |-> A ) ` m ) )
122	8	fmpttd 5863	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
123	122	ffvelcdmda 5843	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. W ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` m ) e. CC )
124	4, 3, 121, 123	isum 12152	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = ( ~~> ` seq ( M + K ) ( + , ( j e. W |-> A ) ) ) )
125		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
126	122	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( j e. W |-> A ) : W --> CC )
127		eluzelcn 9933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
128	127, 26	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. CC )
129		addcom 8463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
130	22, 128, 129	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 26	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
133		eluzadd 9951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
134	132, 2, 133	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
135	130, 134	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
136	135, 4	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K + k ) e. W )
137	136	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( K + k ) e. W )
138	70	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( K + k ) e. W <-> ( K + n ) e. W ) )
139	138	rspccva 2928	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. Z ( K + k ) e. W /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
140	137, 139	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( K + n ) e. W )
141	126, 140	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( j e. W |-> A ) ` ( K + n ) ) e. CC )
142	74, 141	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) e. CC )
143	26, 1, 125, 142	isum 12152	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. Z |-> B ) ) ) )
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) )
145		sumfct 12140	. . 3 |- ( A. j e. W A e. CC -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
146	9, 145	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. W ( ( j e. W |-> A ) ` m ) = sum_ j e. W A )
147		sumfct 12140	. . 3 |- ( A. k e. Z B e. CC -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
148	103, 147	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. Z ( ( k e. Z |-> B ) ` n ) = sum_ k e. Z B )
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2279	1 |- ( ph -> sum_ j e. W A = sum_ k e. Z B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   iotacio 5335   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884   shift cshi 11579   ~~> cli 12044   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  eftlub  12457