Theorem lidlss 13789

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	|- B = ( Base ` W )
lidlss.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlss	|- ( U e. I -> U C_ B )

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 13766	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
2		lidlss.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
3	2	lidlmex 13788	. . . 4 |- ( U e. I -> W e. _V )
4		funfvex 5551	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5335	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( U e. I -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		id 19	. . . 4 |- ( U e. I -> U e. I )
8		lidlvalg 13784	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( U e. I -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
10	2, 9	eqtrid 2234	. . . 4 |- ( U e. I -> I = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
11	7, 10	eleqtrd 2268	. . 3 |- ( U e. I -> U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
12		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` W ) ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) )
13		eqid 2189	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) )
14	12, 13	lssssg 13673	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` W ) e. _V /\ U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) ) -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. I -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
16		lidlss.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
17		rlmbasg 13768	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
18	3, 17	syl 14	. . 3 |- ( U e. I -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
19	16, 18	eqtrid 2234	. 2 |- ( U e. I -> B = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
20	15, 19	sseqtrrd 3209	1 |- ( U e. I -> U C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   Fn wfn 5230   ` cfv 5235   Basecbs 12511   LSubSpclss 13665  ringLModcrglmod 13747  LIdealclidl 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-lssm 13666  df-sra 13748  df-rgmod 13749  df-lidl 13782

This theorem is referenced by:  lidlbas  13791  lidlsubg  13799  2idlss  13826  2idlcpblrng  13835