Theorem lidlss 14514

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	|- B = ( Base ` W )
lidlss.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlss	|- ( U e. I -> U C_ B )

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 14491	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
2		lidlss.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
3	2	lidlmex 14513	. . . 4 |- ( U e. I -> W e. _V )
4		funfvex 5659	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5434	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( U e. I -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		id 19	. . . 4 |- ( U e. I -> U e. I )
8		lidlvalg 14509	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( U e. I -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
10	2, 9	eqtrid 2275	. . . 4 |- ( U e. I -> I = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
11	7, 10	eleqtrd 2309	. . 3 |- ( U e. I -> U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
12		eqid 2230	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` W ) ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) )
13		eqid 2230	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) )
14	12, 13	lssssg 14398	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` W ) e. _V /\ U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) ) -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. I -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
16		lidlss.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
17		rlmbasg 14493	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
18	3, 17	syl 14	. . 3 |- ( U e. I -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
19	16, 18	eqtrid 2275	. 2 |- ( U e. I -> B = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
20	15, 19	sseqtrrd 3265	1 |- ( U e. I -> U C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   Fn wfn 5323   ` cfv 5328   Basecbs 13105   LSubSpclss 14390  ringLModcrglmod 14472  LIdealclidl 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-lssm 14391  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507

This theorem is referenced by:  lidlbas  14516  lidlsubg  14524  2idlss  14552  2idlcpblrng  14561  zndvds  14687