Theorem lidlss 13975

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	|- B = ( Base ` W )
lidlss.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlss	|- ( U e. I -> U C_ B )

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 13952	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
2		lidlss.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
3	2	lidlmex 13974	. . . 4 |- ( U e. I -> W e. _V )
4		funfvex 5572	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5355	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( U e. I -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		id 19	. . . 4 |- ( U e. I -> U e. I )
8		lidlvalg 13970	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( U e. I -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
10	2, 9	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( U e. I -> I = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
11	7, 10	eleqtrd 2272	. . 3 |- ( U e. I -> U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
12		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` W ) ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) )
13		eqid 2193	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) )
14	12, 13	lssssg 13859	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` W ) e. _V /\ U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) ) -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. I -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
16		lidlss.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
17		rlmbasg 13954	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
18	3, 17	syl 14	. . 3 |- ( U e. I -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
19	16, 18	eqtrid 2238	. 2 |- ( U e. I -> B = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
20	15, 19	sseqtrrd 3219	1 |- ( U e. I -> U C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Basecbs 12621   LSubSpclss 13851  ringLModcrglmod 13933  LIdealclidl 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-lssm 13852  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968

This theorem is referenced by:  lidlbas  13977  lidlsubg  13985  2idlss  14013  2idlcpblrng  14022  zndvds  14148