Theorem lidlss 14493

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	|- B = ( Base ` W )
lidlss.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlss	|- ( U e. I -> U C_ B )

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmfn 14470	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
2		lidlss.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
3	2	lidlmex 14492	. . . 4 |- ( U e. I -> W e. _V )
4		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5432	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( U e. I -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		id 19	. . . 4 |- ( U e. I -> U e. I )
8		lidlvalg 14488	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
9	3, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( U e. I -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
10	2, 9	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( U e. I -> I = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
11	7, 10	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( U e. I -> U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
12		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` W ) ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) )
14	12, 13	lssssg 14377	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` W ) e. _V /\ U e. ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) ) -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
15	6, 11, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. I -> U C_ ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
16		lidlss.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
17		rlmbasg 14472	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
18	3, 17	syl 14	. . 3 |- ( U e. I -> ( Base ` W ) = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
19	16, 18	eqtrid 2276	. 2 |- ( U e. I -> B = ( Base ` (ringLMod ` W ) ) )
20	15, 19	sseqtrrd 3266	1 |- ( U e. I -> U C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   Basecbs 13084   LSubSpclss 14369  ringLModcrglmod 14451  LIdealclidl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486

This theorem is referenced by:  lidlbas  14495  lidlsubg  14503  2idlss  14531  2idlcpblrng  14540  zndvds  14666