Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5956  tfrlemiubacc  6605  tfr1onlemubacc  6621  tfrcllemubacc  6634  rdgivallem  6656  nnnninf  7473  nninfwlpoimlemg  7522  ccatass  11399  swrdval2  11446  dfphi2  13028  ctinf  13380  imasaddfnlemg  13695  imasaddvallemg  13696  subsubm  13850  subsubg  14060  cntzmhm2  14175  subsubrng  14632  subsubrg  14663  lidlss  14923  toponss  15264  ssntr  15360  iscnp3  15441  cnprcl2k  15444  tgcn  15446  tgcnp  15447  ssidcn  15448  cncnp  15468  txcnp  15509  imasnopn  15537  hmeontr  15551  blssec  15676  blssopn  15723  xmettx  15748  metcnp  15750  plyaddlem1  15985  plymullem1  15986  plycoeid3  15995  nnsf  17266  nninfsellemsuc  17273