Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5953  tfrlemiubacc  6601  tfr1onlemubacc  6617  tfrcllemubacc  6630  rdgivallem  6652  nnnninf  7466  nninfwlpoimlemg  7515  ccatass  11378  swrdval2  11425  dfphi2  13000  ctinf  13323  imasaddfnlemg  13637  imasaddvallemg  13638  subsubm  13792  subsubg  14002  subsubrng  14524  subsubrg  14555  lidlss  14815  toponss  15129  ssntr  15225  iscnp3  15306  cnprcl2k  15309  tgcn  15311  tgcnp  15312  ssidcn  15313  cncnp  15333  txcnp  15374  imasnopn  15402  hmeontr  15416  blssec  15541  blssopn  15588  xmettx  15613  metcnp  15615  plyaddlem1  15850  plymullem1  15851  plycoeid3  15860  nnsf  17060  nninfsellemsuc  17067