Theorem sseqtrrd 3267

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3279  fnfvima  5899  tfrlemiubacc  6539  tfr1onlemubacc  6555  tfrcllemubacc  6568  rdgivallem  6590  nnnninf  7368  nninfwlpoimlemg  7417  ccatass  11232  swrdval2  11279  dfphi2  12853  ctinf  13112  imasaddfnlemg  13458  imasaddvallemg  13459  subsubm  13627  subsubg  13845  subsubrng  14290  subsubrg  14321  lidlss  14552  toponss  14817  ssntr  14913  iscnp3  14994  cnprcl2k  14997  tgcn  14999  tgcnp  15000  ssidcn  15001  cncnp  15021  txcnp  15062  imasnopn  15090  hmeontr  15104  blssec  15229  blssopn  15276  xmettx  15301  metcnp  15303  plyaddlem1  15538  plymullem1  15539  plycoeid3  15548  nnsf  16711  nninfsellemsuc  16718