Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5947  tfrlemiubacc  6595  tfr1onlemubacc  6611  tfrcllemubacc  6624  rdgivallem  6646  nnnninf  7460  nninfwlpoimlemg  7509  ccatass  11359  swrdval2  11406  dfphi2  12981  ctinf  13304  imasaddfnlemg  13618  imasaddvallemg  13619  subsubm  13773  subsubg  13983  subsubrng  14505  subsubrg  14536  lidlss  14796  toponss  15110  ssntr  15206  iscnp3  15287  cnprcl2k  15290  tgcn  15292  tgcnp  15293  ssidcn  15294  cncnp  15314  txcnp  15355  imasnopn  15383  hmeontr  15397  blssec  15522  blssopn  15569  xmettx  15594  metcnp  15596  plyaddlem1  15831  plymullem1  15832  plycoeid3  15841  nnsf  17022  nninfsellemsuc  17029