Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5956  tfrlemiubacc  6606  tfr1onlemubacc  6622  tfrcllemubacc  6635  rdgivallem  6657  isfsuppf  7298  nnnninf  7473  nninfwlpoimlemg  7522  ccatass  11398  swrdval2  11445  dfphi2  13027  ctinf  13379  imasaddfnlemg  13694  imasaddvallemg  13695  subsubm  13849  subsubg  14059  cntzmhm2  14174  subsubrng  14631  subsubrg  14662  lidlss  14922  mvrclfi  15238  toponss  15285  ssntr  15381  iscnp3  15462  cnprcl2k  15465  tgcn  15467  tgcnp  15468  ssidcn  15469  cncnp  15489  txcnp  15530  imasnopn  15558  hmeontr  15572  blssec  15697  blssopn  15744  xmettx  15769  metcnp  15771  plyaddlem1  16006  plymullem1  16007  plycoeid3  16016  nnsf  17287  nninfsellemsuc  17294