Theorem sseqtrrd 3263

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3262	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3275  fnfvima  5881  tfrlemiubacc  6487  tfr1onlemubacc  6503  tfrcllemubacc  6516  rdgivallem  6538  nnnninf  7309  nninfwlpoimlemg  7358  ccatass  11161  swrdval2  11204  dfphi2  12763  ctinf  13022  imasaddfnlemg  13368  imasaddvallemg  13369  subsubm  13537  subsubg  13755  subsubrng  14199  subsubrg  14230  lidlss  14461  toponss  14721  ssntr  14817  iscnp3  14898  cnprcl2k  14901  tgcn  14903  tgcnp  14904  ssidcn  14905  cncnp  14925  txcnp  14966  imasnopn  14994  hmeontr  15008  blssec  15133  blssopn  15180  xmettx  15205  metcnp  15207  plyaddlem1  15442  plymullem1  15443  plycoeid3  15452  nnsf  16485  nninfsellemsuc  16492