Theorem sseqtrrd 3266

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3265	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3278  fnfvima  5889  tfrlemiubacc  6496  tfr1onlemubacc  6512  tfrcllemubacc  6525  rdgivallem  6547  nnnninf  7325  nninfwlpoimlemg  7374  ccatass  11189  swrdval2  11236  dfphi2  12797  ctinf  13056  imasaddfnlemg  13402  imasaddvallemg  13403  subsubm  13571  subsubg  13789  subsubrng  14234  subsubrg  14265  lidlss  14496  toponss  14756  ssntr  14852  iscnp3  14933  cnprcl2k  14936  tgcn  14938  tgcnp  14939  ssidcn  14940  cncnp  14960  txcnp  15001  imasnopn  15029  hmeontr  15043  blssec  15168  blssopn  15215  xmettx  15240  metcnp  15242  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plycoeid3  15487  nnsf  16633  nninfsellemsuc  16640