Theorem sseqtrrd 3287

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrid  3299  fnfvima  5953  tfrlemiubacc  6601  tfr1onlemubacc  6617  tfrcllemubacc  6630  rdgivallem  6652  nnnninf  7467  nninfwlpoimlemg  7516  ccatass  11391  swrdval2  11438  dfphi2  13020  ctinf  13372  imasaddfnlemg  13686  imasaddvallemg  13687  subsubm  13841  subsubg  14051  subsubrng  14573  subsubrg  14604  lidlss  14864  toponss  15179  ssntr  15275  iscnp3  15356  cnprcl2k  15359  tgcn  15361  tgcnp  15362  ssidcn  15363  cncnp  15383  txcnp  15424  imasnopn  15452  hmeontr  15466  blssec  15591  blssopn  15638  xmettx  15663  metcnp  15665  plyaddlem1  15900  plymullem1  15901  plycoeid3  15910  nnsf  17170  nninfsellemsuc  17177