Theorem sseqtrrd 3281

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2240	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3280	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3293  fnfvima  5926  tfrlemiubacc  6574  tfr1onlemubacc  6590  tfrcllemubacc  6603  rdgivallem  6625  nnnninf  7430  nninfwlpoimlemg  7479  ccatass  11321  swrdval2  11368  dfphi2  12942  ctinf  13265  imasaddfnlemg  13611  imasaddvallemg  13612  subsubm  13780  subsubg  13998  subsubrng  14445  subsubrg  14476  lidlss  14736  toponss  15003  ssntr  15099  iscnp3  15180  cnprcl2k  15183  tgcn  15185  tgcnp  15186  ssidcn  15187  cncnp  15207  txcnp  15248  imasnopn  15276  hmeontr  15290  blssec  15415  blssopn  15462  xmettx  15487  metcnp  15489  plyaddlem1  15724  plymullem1  15725  plycoeid3  15734  nnsf  16895  nninfsellemsuc  16902