Theorem sseqtrrd 3281

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2240	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3280	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3293  fnfvima  5926  tfrlemiubacc  6574  tfr1onlemubacc  6590  tfrcllemubacc  6603  rdgivallem  6625  nnnninf  7430  nninfwlpoimlemg  7479  ccatass  11324  swrdval2  11371  dfphi2  12946  ctinf  13269  imasaddfnlemg  13582  imasaddvallemg  13583  subsubm  13742  subsubg  13954  subsubrng  14464  subsubrg  14495  lidlss  14754  toponss  15021  ssntr  15117  iscnp3  15198  cnprcl2k  15201  tgcn  15203  tgcnp  15204  ssidcn  15205  cncnp  15225  txcnp  15266  imasnopn  15294  hmeontr  15308  blssec  15433  blssopn  15480  xmettx  15505  metcnp  15507  plyaddlem1  15742  plymullem1  15743  plycoeid3  15752  nnsf  16923  nninfsellemsuc  16930