Theorem sseqtrrd 3194

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2183	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	sseqtrd 3193	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ⊆ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  sseqtrrid  3206  fnfvima  5747  tfrlemiubacc  6326  tfr1onlemubacc  6342  tfrcllemubacc  6355  rdgivallem  6377  nnnninf  7119  nninfwlpoimlemg  7168  dfphi2  12210  ctinf  12421  subsubg  12983  toponss  13306  ssntr  13404  iscnp3  13485  cnprcl2k  13488  tgcn  13490  tgcnp  13491  ssidcn  13492  cncnp  13512  txcnp  13553  imasnopn  13581  hmeontr  13595  blssec  13720  blssopn  13767  xmettx  13792  metcnp  13794  nnsf  14525  nninfsellemsuc  14532