Theorem blssec 15133

Description: A ball centered at P is contained in the set of points finitely separated from P. This is just an application of ssbl 15121 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
blssec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 10002	. . . . 5 |- ( S e. RR* -> S <_ +oo )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> S <_ +oo )
3		pnfxr 8215	. . . . 5 |- +oo e. RR*
4		ssbl 15121	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ S <_ +oo ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
5	4	3expia 1229	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
6	3, 5	mpanr2 438	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
7	2, 6	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
8	7	3impa 1218	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
9		xmeter.1	. . . 4 |- .~ = ( `' D " RR )
10	9	xmetec 15132	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
11	10	3adant3 1041	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
12	8, 11	sseqtrrd 3263	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   `'ccnv 4719   "cima 4723   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   [cec 6691   RRcr 8014   +oocpnf 8194   RR*cxr 8196   <_ cle 8198   *Metcxmet 14521   ballcbl 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-ec 6695  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-2 9185  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-bl 14531

This theorem is referenced by:  xmetresbl  15135