Theorem blssec 14985

Description: A ball centered at P is contained in the set of points finitely separated from P. This is just an application of ssbl 14973 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
blssec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 9931	. . . . 5 |- ( S e. RR* -> S <_ +oo )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> S <_ +oo )
3		pnfxr 8145	. . . . 5 |- +oo e. RR*
4		ssbl 14973	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ S <_ +oo ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
5	4	3expia 1208	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
6	3, 5	mpanr2 438	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
7	2, 6	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
8	7	3impa 1197	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
9		xmeter.1	. . . 4 |- .~ = ( `' D " RR )
10	9	xmetec 14984	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
11	10	3adant3 1020	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
12	8, 11	sseqtrrd 3236	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   class class class wbr 4051   `'ccnv 4682   "cima 4686   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   [cec 6631   RRcr 7944   +oocpnf 8124   RR*cxr 8126   <_ cle 8128   *Metcxmet 14373   ballcbl 14375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-ec 6635  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-2 9115  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-bl 14383

This theorem is referenced by:  xmetresbl  14987