Theorem blssec 15539

Description: A ball centered at P is contained in the set of points finitely separated from P. This is just an application of ssbl 15527 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
blssec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 10191	. . . . 5 |- ( S e. RR* -> S <_ +oo )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> S <_ +oo )
3		pnfxr 8378	. . . . 5 |- +oo e. RR*
4		ssbl 15527	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ S <_ +oo ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
5	4	3expia 1236	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
6	3, 5	mpanr2 442	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
7	2, 6	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
8	7	3impa 1225	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
9		xmeter.1	. . . 4 |- .~ = ( `' D " RR )
10	9	xmetec 15538	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
11	10	3adant3 1048	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
12	8, 11	sseqtrrd 3287	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   "cima 4777   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   [cec 6805   RRcr 8178   +oocpnf 8357   RR*cxr 8359   <_ cle 8361   *Metcxmet 14873   ballcbl 14875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-ec 6809  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-2 9363  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883

This theorem is used by:  xmetresbl  15541