Theorem blssec 12420

Description: A ball centered at P is contained in the set of points finitely separated from P. This is just an application of ssbl 12408 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
blssec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 9461	. . . . 5 |- ( S e. RR* -> S <_ +oo )
2	1	adantl 273	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> S <_ +oo )
3		pnfxr 7735	. . . . 5 |- +oo e. RR*
4		ssbl 12408	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ S <_ +oo ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
5	4	3expia 1164	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( S e. RR* /\ +oo e. RR* ) ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
6	3, 5	mpanr2 432	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( S <_ +oo -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
7	2, 6	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
8	7	3impa 1157	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ ( P ( ball ` D ) +oo ) )
9		xmeter.1	. . . 4 |- .~ = ( `' D " RR )
10	9	xmetec 12419	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
11	10	3adant3 982	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
12	8, 11	sseqtr4d 3100	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ S e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) S ) C_ [ P ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 943   = wceq 1312   e. wcel 1461   C_ wss 3035   class class class wbr 3893   `'ccnv 4496   "cima 4500   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   [cec 6378   RRcr 7539   +oocpnf 7714   RR*cxr 7716   <_ cle 7718   *Metcxmet 11985   ballcbl 11987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-ec 6382  df-map 6495  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-2 8682  df-xneg 9445  df-xadd 9446  df-psmet 11992  df-xmet 11993  df-bl 11995

This theorem is referenced by:  xmetresbl  12422