Theorem metcnp 12872

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp3 12871	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
4		ffun 5319	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
5	4	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> Fun F )
6		simpll1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simpll3 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> P e. X )
8		rpxr 9550	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
9	8	ad2antll 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR* )
10		blssm 12781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
12		fdm 5322	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
13	12	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> dom F = X )
14	11, 13	sseqtrrd 3167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F )
15		funimass4 5516	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
17		elbl 12751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
19	18	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
20		impexp 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
21		simpl2 986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
22	21	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
23		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR+ )
24	23	rpxrd 9586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR* )
25		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
26	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
27	25, 26	ffvelrnd 5600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
28		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> F : X --> Y )
29	28	ffvelrnda 5599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
30		elbl2 12753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ y e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
32	31	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
33	32	pm5.74da 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
34	20, 33	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
35	19, 34	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
37	16, 36	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
38	37	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
39	38	rexbidva 2454	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
40	39	ralbidva 2453	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
41	40	pm5.32da 448	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
42	3, 41	bitrd 187	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   dom cdm 4583   "cima 4586   Fun wfun 5161   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RR*cxr 7894   < clt 7895   RR+crp 9542   *Metcxmet 12340   ballcbl 12342   MetOpencmopn 12345   CnP ccnp 12546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cnp 12549

This theorem is referenced by:  metcnp2  12873  metcn  12874  metcnpi  12875  txmetcnp  12878  metcnpd  12880