Theorem metcnp 15226

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp3 15225	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
4		ffun 5482	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> Fun F )
6		simpll1 1060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simpll3 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> P e. X )
8		rpxr 9886	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
9	8	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR* )
10		blssm 15135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
12		fdm 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> dom F = X )
14	11, 13	sseqtrrd 3264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F )
15		funimass4 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
17		elbl 15105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
20		impexp 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
21		simpl2 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
23		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR+ )
24	23	rpxrd 9922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR* )
25		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
26	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
27	25, 26	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> F : X --> Y )
29	28	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
30		elbl2 15107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ y e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
33	32	pm5.74da 443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
34	20, 33	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
35	19, 34	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
37	16, 36	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
38	37	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
39	38	rexbidva 2527	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
40	39	ralbidva 2526	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
41	40	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
42	3, 41	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   "cima 4726   Fun wfun 5318   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RR*cxr 8203   < clt 8204   RR+crp 9878   *Metcxmet 14540   ballcbl 14542   MetOpencmopn 14545   CnP ccnp 14900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-cnp 14903

This theorem is referenced by:  metcnp2  15227  metcn  15228  metcnpi  15229  txmetcnp  15232  metcnpd  15234