Theorem metcnp 13152

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp3 13151	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
4		ffun 5340	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
5	4	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> Fun F )
6		simpll1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simpll3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> P e. X )
8		rpxr 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
9	8	ad2antll 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR* )
10		blssm 13061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
12		fdm 5343	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
13	12	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> dom F = X )
14	11, 13	sseqtrrd 3181	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F )
15		funimass4 5537	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
17		elbl 13031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
19	18	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
20		impexp 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
21		simpl2 991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
22	21	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
23		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR+ )
24	23	rpxrd 9633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR* )
25		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
26	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
27	25, 26	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
28		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> F : X --> Y )
29	28	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
30		elbl2 13033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ y e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
32	31	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
33	32	pm5.74da 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
34	20, 33	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
35	19, 34	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
37	16, 36	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
38	37	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
39	38	rexbidva 2463	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
40	39	ralbidva 2462	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
41	40	pm5.32da 448	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
42	3, 41	bitrd 187	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RR*cxr 7932   < clt 7933   RR+crp 9589   *Metcxmet 12620   ballcbl 12622   MetOpencmopn 12625   CnP ccnp 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cnp 12829

This theorem is referenced by:  metcnp2  13153  metcn  13154  metcnpi  13155  txmetcnp  13158  metcnpd  13160