Theorem metcnp 15613

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp3 15612	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
4		ffun 5536	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
5	4	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> Fun F )
6		simpll1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simpll3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> P e. X )
8		rpxr 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
9	8	ad2antll 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR* )
10		blssm 15522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
12		fdm 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
13	12	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> dom F = X )
14	11, 13	sseqtrrd 3287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F )
15		funimass4 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
17		elbl 15492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
20		impexp 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
21		simpl2 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
22	21	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
23		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR+ )
24	23	rpxrd 10098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR* )
25		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
26	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
27	25, 26	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
28		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> F : X --> Y )
29	28	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
30		elbl2 15494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ y e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
33	32	pm5.74da 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
34	20, 33	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
35	19, 34	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2552	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
37	16, 36	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
38	37	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
39	38	rexbidva 2547	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
40	39	ralbidva 2546	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
41	40	pm5.32da 456	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
42	3, 41	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   "cima 4777   Fun wfun 5371   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RR*cxr 8359   < clt 8360   RR+crp 10054   *Metcxmet 14873   ballcbl 14875   MetOpencmopn 14878   CnP ccnp 15287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cnp 15290

This theorem is used by:  metcnp2  15614  metcn  15615  metcnpi  15616  txmetcnp  15619  metcnpd  15621