Theorem metcnp 15503

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp3 15502	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
4		ffun 5516	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> Fun F )
6		simpll1 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
7		simpll3 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> P e. X )
8		rpxr 10012	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR+ -> z e. RR* )
9	8	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR* )
10		blssm 15412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ X )
12		fdm 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> dom F = X )
14	11, 13	sseqtrrd 3281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F )
15		funimass4 5732	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( P ( ball ` C ) z ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) )
17		elbl 15382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ z e. RR* ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) <-> ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
20		impexp 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) )
21		simpl2 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
23		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR+ )
24	23	rpxrd 10048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> y e. RR* )
25		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
26	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
27	25, 26	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
28		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> F : X --> Y )
29	28	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
30		elbl2 15384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ y e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
33	32	pm5.74da 443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
34	20, 33	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( ( w e. X /\ ( P C w ) < z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
35	19, 34	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( w e. ( P ( ball ` C ) z ) -> ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( w e. X -> ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2546	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. ( P ( ball ` C ) z ) ( F ` w ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
37	16, 36	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
38	37	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
39	38	rexbidva 2541	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
40	39	ralbidva 2540	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
41	40	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ ( F " ( P ( ball ` C ) z ) ) C_ ( ( F ` P ) ( ball ` D ) y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
42	3, 41	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   "cima 4757   Fun wfun 5351   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RR*cxr 8323   < clt 8324   RR+crp 10004   *Metcxmet 14810   ballcbl 14812   MetOpencmopn 14815   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180

This theorem is referenced by:  metcnp2  15504  metcn  15505  metcnpi  15506  txmetcnp  15509  metcnpd  15511