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Theorem issubg3 13926
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, S
Proof of Theorem issubg3
Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2234 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21subg0cl 13916 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
32a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
41subm0cl 13708 . . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
65a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
7 elex2 2832 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
8 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S )
97, 82thd 175 . . . . . . 7 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
11 r19.26 2671 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1310, 123anbi23d 1352 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
14 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
15 df-3an 1007 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) )
1615anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
17 df-3an 1007 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 213 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1913, 18bitrdi 196 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
20 eqid 2234 . . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21 eqid 2234 . . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
22 issubg3.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
2320, 21, 22issubg2m 13923 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
25 grpmnd 13737 . . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2620, 1, 21issubm 13702 . . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2827anbi1d 465 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
2928adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 220 . . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3130ex 115 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( 0g ` G ) e. S -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 713 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Mndcmnd 13646  SubMndcsubmnd 13688   Grpcgrp 13730   invgcminusg 13731  SubGrpcsubg 13901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-submnd 13690  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-subg 13904
This theorem is referenced by:  subgsubm  13930  0subg  13933  ghmeql  14001
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