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Theorem issubg3 13643
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, S
Proof of Theorem issubg3
Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2207 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21subg0cl 13633 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
32a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
41subm0cl 13425 . . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
65a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
7 elex2 2793 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
8 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S )
97, 82thd 175 . . . . . . 7 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
11 r19.26 2634 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1310, 123anbi23d 1328 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
14 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
15 df-3an 983 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) )
1615anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
17 df-3an 983 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 213 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1913, 18bitrdi 196 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
20 eqid 2207 . . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21 eqid 2207 . . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
22 issubg3.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
2320, 21, 22issubg2m 13640 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
25 grpmnd 13454 . . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2620, 1, 21issubm 13419 . . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2827anbi1d 465 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
2928adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 220 . . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3130ex 115 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( 0g ` G ) e. S -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 707 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Mndcmnd 13363  SubMndcsubmnd 13405   Grpcgrp 13447   invgcminusg 13448  SubGrpcsubg 13618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-submnd 13407  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621
This theorem is referenced by:  subgsubm  13647  0subg  13650  ghmeql  13718
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