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Theorem issubg3 13729
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, S
Proof of Theorem issubg3
Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2229 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21subg0cl 13719 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
32a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
41subm0cl 13511 . . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
65a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
7 elex2 2816 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
8 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S )
97, 82thd 175 . . . . . . 7 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
11 r19.26 2657 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1310, 123anbi23d 1349 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
14 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
15 df-3an 1004 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) )
1615anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
17 df-3an 1004 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 213 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1913, 18bitrdi 196 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
20 eqid 2229 . . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21 eqid 2229 . . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
22 issubg3.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
2320, 21, 22issubg2m 13726 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
25 grpmnd 13540 . . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2620, 1, 21issubm 13505 . . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2827anbi1d 465 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
2928adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 220 . . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3130ex 115 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( 0g ` G ) e. S -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 710 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449  SubMndcsubmnd 13491   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534  SubGrpcsubg 13704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-submnd 13493  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-subg 13707
This theorem is referenced by:  subgsubm  13733  0subg  13736  ghmeql  13804
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