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Theorem issubg3 13398
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, S
Proof of Theorem issubg3
Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21subg0cl 13388 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
32a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
41subm0cl 13180 . . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
65a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
7 elex2 2779 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
8 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S )
97, 82thd 175 . . . . . . 7 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
11 r19.26 2623 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1310, 123anbi23d 1326 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
14 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
15 df-3an 982 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) )
1615anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
17 df-3an 982 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 213 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1913, 18bitrdi 196 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
20 eqid 2196 . . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21 eqid 2196 . . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
22 issubg3.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
2320, 21, 22issubg2m 13395 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
25 grpmnd 13209 . . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2620, 1, 21issubm 13174 . . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2827anbi1d 465 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
2928adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 220 . . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3130ex 115 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( 0g ` G ) e. S -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 706 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  SubMndcsubmnd 13160   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203  SubGrpcsubg 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-submnd 13162  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-subg 13376
This theorem is referenced by:  subgsubm  13402  0subg  13405  ghmeql  13473
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