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Theorem issubg3 13859
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
issubg3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, S
Proof of Theorem issubg3
Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2231 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21subg0cl 13849 . . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
32a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
41subm0cl 13641 . . . 4 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S )
65a1i 9 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) -> ( 0g ` G ) e. S ) )
7 elex2 2820 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> E. w w e. S )
8 id 19 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( 0g ` G ) e. S )
97, 82thd 175 . . . . . . 7 |- ( ( 0g ` G ) e. S -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( E. w w e. S <-> ( 0g ` G ) e. S ) )
11 r19.26 2660 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) <-> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1310, 123anbi23d 1352 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
14 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
15 df-3an 1007 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) )
1615anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
17 df-3an 1007 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S ) /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 213 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) )
1913, 18bitrdi 196 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
20 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
22 issubg3.i . . . . . 6 |- I = ( invg ` G )
2320, 21, 22issubg2m 13856 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ E. w w e. S /\ A. x e. S ( A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ ( I ` x ) e. S ) ) ) )
25 grpmnd 13670 . . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2620, 1, 21issubm 13635 . . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubMnd ` G ) <-> ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
2827anbi1d 465 . . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
2928adantr 276 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) <-> ( ( S C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 220 . . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. S ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
3130ex 115 . 2 |- ( G e. Grp -> ( ( 0g ` G ) e. S -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 713 1 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. S ( I ` x ) e. S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Mndcmnd 13579  SubMndcsubmnd 13621   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664  SubGrpcsubg 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-submnd 13623  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-subg 13837
This theorem is referenced by:  subgsubm  13863  0subg  13866  ghmeql  13934
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