Theorem subm0cl 12891

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12884	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		subm0cl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
4		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5	2, 3, 4	issubm 12885	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
7	6	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
8	7	simp2d 1011	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   ⊆ wss 3141  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  +_gcplusg 12551  0_gc0g 12723  Mndcmnd 12839  SubMndcsubmnd 12872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-submnd 12874

This theorem is referenced by:  mhmima  12897  submmulgcl  13058  issubg3  13084