Theorem subm0cl 13566

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subm0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13559	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		subm0cl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5	2, 3, 4	issubm 13560	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
7	6	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
8	7	simp2d 1036	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  0_gc0g 13344  Mndcmnd 13504  SubMndcsubmnd 13546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-submnd 13548

This theorem is referenced by:  subm0  13570  subsubm  13571  resmhm  13575  mhmima  13579  gsumsubm  13582  gsumwsubmcl  13584  submmulgcl  13757  issubg3  13784  gsumfzsubmcl  13930