Theorem rng2idl0 14907

Description: The zero (additive identity) of a non-unital ring is an element of each two-sided ideal of the ring which is a non-unital ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )
rng2idlsubrng.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
rng2idlsubrng.u	|- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )

Assertion

Ref	Expression
rng2idl0	|- ( ph -> ( 0g ` R ) e. I )

Proof of Theorem rng2idl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Rng )
2		rng2idlsubrng.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
3		rng2idlsubrng.u	. . 3 |- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )
4	1, 2, 3	rng2idlsubrng 14905	. 2 |- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )
5		subrngsubg 14563	. 2 |- ( I e. (SubRng ` R ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
6		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
7	6	subg0cl 14036	. 2 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. I )
8	4, 5, 7	3syl 17	1 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. I )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ↾_s cress 13404   0gc0g 13661  SubGrpcsubg 14021  Rngcrng 14282  SubRngcsubrng 14556  2Idealc2idl 14887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-sets 13410  df-iress 13411  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-sca 13498  df-vsca 13499  df-ip 13500  df-0g 13663  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-grp 13859  df-subg 14024  df-abl 14141  df-rng 14283  df-subrng 14557  df-lssm 14741  df-sra 14823  df-rgmod 14824  df-lidl 14857  df-2idl 14888

This theorem is used by: (None)