Theorem subrngsubg 13836

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrngsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 13835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2		rnggrp 13570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrngss 13832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrngrng 13834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
8		rnggrp 13570	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 13379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703   ↾_s cress 12704  Grpcgrp 13202  SubGrpcsubg 13373  Rngcrng 13564  SubRngcsubrng 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-subg 13376  df-abl 13493  df-rng 13565  df-subrng 13830

This theorem is referenced by:  subrngringnsg  13837  subrngbas  13838  subrng0  13839  subrngacl  13840  issubrng2  13842  subrngintm  13844  rng2idl0  14151  rng2idlsubg0  14154