Theorem subrngsubg 14495

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrngsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 14494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2		rnggrp 14220	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrngss 14491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrngrng 14493	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
8		rnggrp 14220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 13959	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  Grpcgrp 13788  SubGrpcsubg 13953  Rngcrng 14214  SubRngcsubrng 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-subg 13956  df-abl 14073  df-rng 14215  df-subrng 14489

This theorem is referenced by:  subrngringnsg  14496  subrngbas  14497  subrng0  14498  subrngacl  14499  issubrng2  14501  subrngintm  14503  rng2idl0  14839  rng2idlsubg0  14842