Theorem issubrng2 13557

Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrng2.b	|- B = ( Base ` R )
issubrng2.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
issubrng2	|- ( R e. Rng -> ( A e. (SubRng ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem issubrng2

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 13551	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		issubrng2.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
3	2	subrngmcl 13556	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ x e. A /\ y e. A ) -> ( x .x. y ) e. A )
4	3	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x .x. y ) e. A )
5	4	ralrimivva 2572	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
6	1, 5	jca 306	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> R e. Rng )
8		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
9		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
10	9	subgbas 13117	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
12		eqidd 2190	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s A ) )
13		eqidd 2190	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
14		id 19	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
15		subgrcl 13118	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
16	12, 13, 14, 15	ressplusgd 12640	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
17	8, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
18	9, 2	ressmulrg 12656	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ R e. Grp ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
19	8, 15, 18	syl2anc2 412	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
20		rngabl 13289	. . . . . 6 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
21	9	subgabl 13269	. . . . . 6 |- ( ( R e. Abel /\ A e. (SubGrp ` R ) ) -> ( R ↾s A ) e. Abel )
22	20, 8, 21	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Abel )
23		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
24		oveq1 5903	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( x .x. y ) = ( u .x. y ) )
25	24	eleq1d 2258	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( x .x. y ) e. A <-> ( u .x. y ) e. A ) )
26		oveq2 5904	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( u .x. y ) = ( u .x. v ) )
27	26	eleq1d 2258	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( u .x. y ) e. A <-> ( u .x. v ) e. A ) )
28	25, 27	rspc2v 2869	. . . . . . 7 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A -> ( u .x. v ) e. A ) )
29	23, 28	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A ) )
30	29	3impib 1203	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A )
31		issubrng2.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
32	31	subgss 13113	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A C_ B )
33	8, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A C_ B )
34	33	sseld 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( u e. A -> u e. B ) )
35	33	sseld 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( v e. A -> v e. B ) )
36	33	sseld 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) )
37	34, 35, 36	3anim123d 1330	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
38	37	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
39	31, 2	rngass 13293	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
40	39	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
41	38, 40	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
42		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
43	31, 42, 2	rngdi 13294	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
44	43	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
45	38, 44	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
46	31, 42, 2	rngdir 13295	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
47	46	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
48	38, 47	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
49	11, 17, 19, 22, 30, 41, 45, 48	isrngd 13307	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Rng )
50	31	issubrng 13546	. . . 4 |- ( A e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s A ) e. Rng /\ A C_ B ) )
51	7, 49, 33, 50	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubRng ` R ) )
52	51	ex 115	. 2 |- ( R e. Rng -> ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) -> A e. (SubRng ` R ) ) )
53	6, 52	impbid2 143	1 |- ( R e. Rng -> ( A e. (SubRng ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   Basecbs 12512   ↾_s cress 12513   +g cplusg 12589   .rcmulr 12590   Grpcgrp 12945  SubGrpcsubg 13106   Abelcabl 13224  Rngcrng 13286  SubRngcsubrng 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-sets 12519  df-iress 12520  df-plusg 12602  df-mulr 12603  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-grp 12948  df-subg 13109  df-cmn 13225  df-abl 13226  df-mgp 13275  df-rng 13287  df-subrng 13545

This theorem is referenced by:  opprsubrngg  13558  subrngintm  13559