Theorem subsub 8376

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
subsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B - C ) ) = ( ( A - B ) + C ) )

Proof of Theorem subsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsub2 8374	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B - C ) ) = ( A + ( C - B ) ) )
2		addsubass 8356	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + C ) - B ) = ( A + ( C - B ) ) )
3		addsub 8357	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + C ) - B ) = ( ( A - B ) + C ) )
4	2, 3	eqtr3d 2264	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( C - B ) ) = ( ( A - B ) + C ) )
5	4	3com23 1233	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + ( C - B ) ) = ( ( A - B ) + C ) )
6	1, 5	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B - C ) ) = ( ( A - B ) + C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  nppcan2  8377  pnncan  8387  subneg  8395  negsubdi  8402  subsubd  8485  peano5uzti  9555