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Theorem peano5uzti 9392
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4022 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 2908 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
32anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  <-> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) ) )
4 zcn 9289 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54ad2antrl 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
6 zcn 9289 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 8004 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7subcld 8299 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 npcan 8197 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
105, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
11 ax-1cn 7935 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 subsub 8218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
1311, 12mp3an3 1337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
145, 6, 13syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  =  ( ( n  -  N
)  +  1 ) )
15 znn0sub 9349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1615biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  N  <_  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1716anasss 399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1817ancoms 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1918adantll 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 9246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2214, 21eqeltrd 2266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  e.  NN )
23 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )
25 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2625eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2726imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
2827imbi2d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
29 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
3029eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3231imbi2d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
33 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3635imbi2d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
37 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3938imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
4039imbi2d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
41 1cnd 8004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  1  e.  CC )
426adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  CC )
4341, 42pncan3d 8302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N )
44 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  A )
4543, 44eqeltrd 2266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A )
4645ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
47 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
4847eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4948rspccv 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
5049ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
51 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  NN )
5251nncnd 8964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
538ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
54 1cnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
1  e.  CC )
5552, 53, 54add32d 8156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
5655eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5750, 56sylibd 149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5857ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
6059ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6160a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) ) )
6322, 23, 24, 62syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
)
6410, 63eqeltrrd 2267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A
)
653, 64sylanb 284 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A )
6665expcom 116 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  ->  n  e.  A ) )
6766expdimp 259 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A
) )
6867ssrdv 3176 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
)
6968ex 115 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472    C_ wss 3144   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   1c1 7843    + caddc 7845    <_ cle 8024    - cmin 8159   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZcz 9284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285
This theorem is referenced by:  peano5uzi  9393  uzind  9395
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