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Theorem peano5uzti 9110
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3901 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 2811 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
32anbi2i 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  <-> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) ) )
4 zcn 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54ad2antrl 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
6 zcn 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 7746 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7subcld 8037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 npcan 7935 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
105, 8, 9syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
11 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 subsub 7956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
1311, 12mp3an3 1287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
145, 6, 13syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  =  ( ( n  -  N
)  +  1 ) )
15 znn0sub 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1615biimpa 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  N  <_  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1716anasss 394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1817ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1918adantll 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2214, 21eqeltrd 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  e.  NN )
23 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 simpll 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )
25 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2625eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2726imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
2827imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
29 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
3029eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3231imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
33 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3534imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3635imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
37 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3938imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
4039imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
41 1cnd 7746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  1  e.  CC )
426adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  CC )
4341, 42pncan3d 8040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N )
44 simprl 503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  A )
4543, 44eqeltrd 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A )
4645ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
47 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
4847eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4948rspccv 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
5049ad2antll 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
51 simpll 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  NN )
5251nncnd 8691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
538ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
54 1cnd 7746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
1  e.  CC )
5552, 53, 54add32d 7894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
5655eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5750, 56sylibd 148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5857ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
6059ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6160a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8693 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) ) )
6322, 23, 24, 62syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
)
6410, 63eqeltrrd 2193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A
)
653, 64sylanb 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A )
6665expcom 115 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  ->  n  e.  A ) )
6766expdimp 257 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A
) )
6867ssrdv 3071 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
)
6968ex 114 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395    C_ wss 3039   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   1c1 7585    + caddc 7587    <_ cle 7765    - cmin 7897   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  peano5uzi  9111  uzind  9113
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