Theorem peano5uzti 9183

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	|- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( N <_ k <-> N <_ n ) )
2	1	elrab 2844	. . . . . . 7 |- ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } <-> ( n e. ZZ /\ N <_ n ) )
3	2	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) )
4		zcn 9083	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	ad2antrl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. CC )
6		zcn 9083	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 7806	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	subcld 8097	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		npcan 7995	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
10	5, 8, 9	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
11		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		subsub 8016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
13	11, 12	mp3an3 1305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
14	5, 6, 13	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
15		znn0sub 9143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) )
16	15	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ N <_ n ) -> ( n - N ) e. NN0 )
17	16	anasss 397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - N ) e. NN0 )
18	17	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
19	18	adantll 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
20		nn0p1nn 9040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - N ) e. NN0 -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
22	14, 21	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) e. NN )
23		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24		simpll 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) )
25		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( 1 + ( N - 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
27	26	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
28	27	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
29		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( n + ( N - 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) )
31	30	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
32	31	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
33		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
34	33	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
35	34	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
36	35	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
37		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
39	38	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
40	39	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
41		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
42	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. CC )
43	41, 42	pncan3d 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
44		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. A )
45	43, 44	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A )
46	45	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
47		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) )
48	47	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
49	48	rspccv 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
50	49	ad2antll 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
51		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. NN )
52	51	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. CC )
53	8	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( N - 1 ) e. CC )
54		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
55	52, 53, 54	add32d 7954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
56	55	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
57	50, 56	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
58	57	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
60	59	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 8760	. . . . . . . 8 |- ( ( n - ( N - 1 ) ) e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A )
64	10, 63	eqeltrrd 2218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
65	3, 64	sylanb 282	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
66	65	expcom 115	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) -> n e. A ) )
67	66	expdimp 257	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } -> n e. A ) )
68	67	ssrdv 3108	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )
69	68	ex 114	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   C_ wss 3076   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9184  uzind  9186