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Theorem peano5uzti 8824
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 2769 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
32anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  <-> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) ) )
4 zcn 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
6 zcn 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 7483 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7subcld 7772 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 npcan 7670 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
105, 8, 9syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
11 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 subsub 7691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
1311, 12mp3an3 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
145, 6, 13syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  =  ( ( n  -  N
)  +  1 ) )
15 znn0sub 8785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1615biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  N  <_  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1716anasss 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1817ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1918adantll 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 8682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2214, 21eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  e.  NN )
23 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )
25 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2625eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2726imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
2827imbi2d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
29 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
3029eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3231imbi2d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
33 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3534imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3635imbi2d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
37 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3938imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
4039imbi2d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
41 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  1  e.  CC )
426adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  CC )
4341, 42pncan3d 7775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N )
44 simprl 498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  A )
4543, 44eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A )
4645ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
47 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
4847eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4948rspccv 2719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
5049ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
51 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  NN )
5251nncnd 8408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
538ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
54 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
1  e.  CC )
5552, 53, 54add32d 7629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
5655eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5750, 56sylibd 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5857ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
6059ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6160a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8410 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) ) )
6322, 23, 24, 62syl3c 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
)
6410, 63eqeltrrd 2165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A
)
653, 64sylanb 278 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A )
6665expcom 114 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  ->  n  e.  A ) )
6766expdimp 255 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A
) )
6867ssrdv 3029 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
)
6968ex 113 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363    C_ wss 2997   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   1c1 7330    + caddc 7332    <_ cle 7502    - cmin 7632   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  peano5uzi  8825  uzind  8827
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