Theorem peano5uzti 9689

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	|- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4115	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( N <_ k <-> N <_ n ) )
2	1	elrab 2975	. . . . . . 7 |- ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } <-> ( n e. ZZ /\ N <_ n ) )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) )
4		zcn 9584	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. CC )
6		zcn 9584	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 8292	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	subcld 8586	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		npcan 8484	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
11		ax-1cn 8222	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		subsub 8505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
13	11, 12	mp3an3 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
15		znn0sub 9645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) )
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ N <_ n ) -> ( n - N ) e. NN0 )
17	16	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - N ) e. NN0 )
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
19	18	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
20		nn0p1nn 9537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - N ) e. NN0 -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
22	14, 21	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) e. NN )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) )
25		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( 1 + ( N - 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
29		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( n + ( N - 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
33		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
34	33	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
37		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
41		1cnd 8292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. CC )
43	41, 42	pncan3d 8589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
44		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. A )
45	43, 44	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A )
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
47		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) )
48	47	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
49	48	rspccv 2920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
50	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
51		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. NN )
52	51	nncnd 9253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. CC )
53	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( N - 1 ) e. CC )
54		1cnd 8292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
55	52, 53, 54	add32d 8443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
56	55	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9255	. . . . . . . 8 |- ( ( n - ( N - 1 ) ) e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A )
64	10, 63	eqeltrrd 2312	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
66	65	expcom 116	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) -> n e. A ) )
67	66	expdimp 259	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } -> n e. A ) )
68	67	ssrdv 3246	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )
69	68	ex 115	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   C_ wss 3213   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8127   1c1 8130   + caddc 8132   <_ cle 8311   - cmin 8446   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9690  uzind  9692