Theorem peano5uzti 9733

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	|- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4129	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( N <_ k <-> N <_ n ) )
2	1	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } <-> ( n e. ZZ /\ N <_ n ) )
3	2	anbi2i 461	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) )
4		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. CC )
6		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 8332	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	subcld 8627	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		npcan 8525	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
11		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		subsub 8546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
13	11, 12	mp3an3 1367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
15		znn0sub 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) )
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ N <_ n ) -> ( n - N ) e. NN0 )
17	16	anasss 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - N ) e. NN0 )
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
19	18	adantll 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
20		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - N ) e. NN0 -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
22	14, 21	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) e. NN )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) )
25		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( 1 + ( N - 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
29		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( n + ( N - 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
33		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
37		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
41		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. CC )
43	41, 42	pncan3d 8630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
44		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. A )
45	43, 44	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A )
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
47		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) )
48	47	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
49	48	rspccv 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
50	49	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
51		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. NN )
52	51	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. CC )
53	8	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( N - 1 ) e. CC )
54		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
55	52, 53, 54	add32d 8484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
56	55	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9299	. . . . . . . 8 |- ( ( n - ( N - 1 ) ) e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A )
64	10, 63	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
66	65	expcom 116	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) -> n e. A ) )
67	66	expdimp 259	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } -> n e. A ) )
68	67	ssrdv 3254	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )
69	68	ex 115	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9734  uzind  9736