Theorem peano5uzti 9481

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	|- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4048	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( N <_ k <-> N <_ n ) )
2	1	elrab 2929	. . . . . . 7 |- ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } <-> ( n e. ZZ /\ N <_ n ) )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) )
4		zcn 9377	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. CC )
6		zcn 9377	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 8088	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	subcld 8383	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		npcan 8281	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n )
11		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
12		subsub 8302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
13	11, 12	mp3an3 1339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ N e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) )
15		znn0sub 9438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) )
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ N <_ n ) -> ( n - N ) e. NN0 )
17	16	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - N ) e. NN0 )
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
19	18	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - N ) e. NN0 )
20		nn0p1nn 9334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - N ) e. NN0 -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN )
22	14, 21	eqeltrd 2282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( n - ( N - 1 ) ) e. NN )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) )
25		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( 1 + ( N - 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
29		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( n + ( N - 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
33		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
34	33	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
37		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) ) <-> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
41		1cnd 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. CC )
43	41, 42	pncan3d 8386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) = N )
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> N e. A )
45	43, 44	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A )
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) )
47		oveq1 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) )
48	47	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
49	48	rspccv 2874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
50	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) )
51		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. NN )
52	51	nncnd 9050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. CC )
53	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( N - 1 ) e. CC )
54		1cnd 8088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> 1 e. CC )
55	52, 53, 54	add32d 8240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) )
56	55	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) )
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) )
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9052	. . . . . . . 8 |- ( ( n - ( N - 1 ) ) e. NN -> ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) )
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A )
64	10, 63	eqeltrrd 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) /\ N e. ZZ ) -> n e. A )
66	65	expcom 116	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ n e. { k e. ZZ | N <_ k } ) -> n e. A ) )
67	66	expdimp 259	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } -> n e. A ) )
68	67	ssrdv 3199	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )
69	68	ex 115	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   1c1 7926   + caddc 7928   <_ cle 8108   - cmin 8243   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9482  uzind  9484