Theorem negsubdi 8572

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( -u A + B ) )

Proof of Theorem negsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8308	. . 3 |- 0 e. CC
2		subsub 8546	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 - ( A - B ) ) = ( ( 0 - A ) + B ) )
3	1, 2	mp3an1 1365	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 - ( A - B ) ) = ( ( 0 - A ) + B ) )
4		df-neg 8490	. 2 |- -u ( A - B ) = ( 0 - ( A - B ) )
5		df-neg 8490	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
6	5	oveq1i 6085	. 2 |- ( -u A + B ) = ( ( 0 - A ) + B )
7	3, 4, 6	3eqtr4g 2296	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( -u A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   - cmin 8487   -ucneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  negdi  8573  negsubdi2  8575  neg2sub  8576  negsubdid  8642  odd2np1  12618  sin2pim  15837  cos2pim  15838