Theorem subneg 8241

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8166	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5911	. . 3 |- ( A - -u B ) = ( A - ( 0 - B ) )
3		0cn 7984	. . . 4 |- 0 e. CC
4		subsub 8222	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an2 1336	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
6	2, 5	eqtrid 2234	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
7		subid1 8212	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5915	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - 0 ) + B ) = ( A + B ) )
10	6, 9	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5900   CCcc 7844   0cc0 7846   + caddc 7849   - cmin 8163   -ucneg 8164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-setind 4557  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sub 8165  df-neg 8166

This theorem is referenced by:  negneg  8242  negdi  8249  neg2sub  8252  subnegi  8271  subnegd  8310  recextlem1  8643  fzshftral  10144  shftval4  10878  fsumshftm  11494  eftlub  11739  summodnegmod  11870  wilthlem1  14883