Theorem subneg 8011

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7936	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5785	. . 3 |- ( A - -u B ) = ( A - ( 0 - B ) )
3		0cn 7758	. . . 4 |- 0 e. CC
4		subsub 7992	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an2 1303	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
6	2, 5	syl5eq 2184	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
7		subid1 7982	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5789	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - 0 ) + B ) = ( A + B ) )
10	6, 9	eqtrd 2172	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   - cmin 7933   -ucneg 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by:  negneg  8012  negdi  8019  neg2sub  8022  subnegi  8041  subnegd  8080  recextlem1  8412  fzshftral  9888  shftval4  10600  fsumshftm  11214  eftlub  11396  summodnegmod  11524