Theorem subneg 8172

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8097	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5868	. . 3 |- ( A - -u B ) = ( A - ( 0 - B ) )
3		0cn 7916	. . . 4 |- 0 e. CC
4		subsub 8153	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an2 1321	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
6	2, 5	eqtrid 2216	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
7		subid1 8143	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5872	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - 0 ) + B ) = ( A + B ) )
10	6, 9	eqtrd 2204	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142  (class class class)co 5857   CCcc 7776   0cc0 7778   + caddc 7781   - cmin 8094   -ucneg 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-setind 4522  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-sub 8096  df-neg 8097

This theorem is referenced by:  negneg  8173  negdi  8180  neg2sub  8183  subnegi  8202  subnegd  8241  recextlem1  8573  fzshftral  10068  shftval4  10796  fsumshftm  11412  eftlub  11657  summodnegmod  11788