Theorem subneg 8395

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8320	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 6012	. . 3 |- ( A - -u B ) = ( A - ( 0 - B ) )
3		0cn 8138	. . . 4 |- 0 e. CC
4		subsub 8376	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an2 1359	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
6	2, 5	eqtrid 2274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
7		subid1 8366	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - 0 ) = A )
9	8	oveq1d 6016	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - 0 ) + B ) = ( A + B ) )
10	6, 9	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  negneg  8396  negdi  8403  neg2sub  8406  subnegi  8425  subnegd  8464  recextlem1  8798  fzshftral  10304  shftval4  11339  fsumshftm  11956  eftlub  12201  summodnegmod  12333  wilthlem1  15654