Theorem subsub23 7685

Description: Swap subtrahend and result of subtraction. (Contributed by NM, 14-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
subsub23	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( A - C ) = B ) )

Proof of Theorem subsub23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 7617	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
2	1	3adant1 961	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
3	2	eqeq1d 2096	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B + C ) = A <-> ( C + B ) = A ) )
4		subadd 7683	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )
5		subadd 7683	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) = B <-> ( C + B ) = A ) )
6	5	3com23 1149	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) = B <-> ( C + B ) = A ) )
7	3, 4, 6	3bitr4d 218	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( A - C ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7346   + caddc 7351   - cmin 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653

This theorem is referenced by:  subsub23i  7770  amgm2  10547