Theorem iswomni0 13585

Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 13584 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomni0	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem iswomni0

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomninn 13584	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( f ` z ) = 0 )
3	2	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
4		1m0e1 8929	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 1 )
6		1ex 7856	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
7	6	prid2 3666	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 }
8	5, 7	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( f ` z ) = 1 )
10	9	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 8885	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 0 )
13		c0ex 7855	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	prid1 3665	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 , 1 }
15	12, 14	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
16		elmapi 6608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
19	17, 18	ffvelrnd 5600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( f ` z ) e. { 0 , 1 } )
20		elpri 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
22	8, 15, 21	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
23	22	fmpttd 5619	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
24		0nn0 9088	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
25		1nn0 9089	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
26		prexg 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
27	24, 25, 26	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
29		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
30	28, 29	elmapd 6600	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
31	23, 30	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
32		fveq1 5464	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( g ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) )
33	32	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( ( g ` x ) = 1 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
34	33	ralbidv 2457	. . . . . . . 8 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
35	34	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
36	35	rspcv 2812	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
38		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) )
39		fveq2 5465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( f ` z ) = ( f ` x ) )
40	39	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
42	22	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
43	40	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
44	43	cbvralv 2680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
45	42, 44	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
46	45	r19.21bi 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
47	38, 40, 41, 46	fvmptd3 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
48	47	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 ) )
49		1cnd 7877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
50		0z 9161	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
51		1z 9176	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
52		prssi 3714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } C_ ZZ )
53	50, 51, 52	mp2an 423	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ ZZ
54	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
55	54	ffvelrnda 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
56	53, 55	sseldi 3126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
57	56	zcnd 9270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
58		subsub23 8063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( f ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
59	49, 57, 49, 58	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
60	48, 59	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
61	11	eqeq1i 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> 0 = ( f ` x ) )
62		eqcom 2159	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
63	61, 62	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
64	60, 63	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( f ` x ) = 0 ) )
65	64	ralbidva 2453	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
66	65	dcbid 824	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
67	37, 66	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
68	67	ralrimdva 2537	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
69		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( g ` z ) = 0 )
70	69	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
71	70, 4	eqtrdi 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 1 )
72	71, 7	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
73		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( g ` z ) = 1 )
74	73	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
75	74, 11	eqtrdi 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 0 )
76	75, 14	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
77		elmapi 6608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
79	78	ffvelrnda 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( g ` z ) e. { 0 , 1 } )
80		elpri 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
82	72, 76, 81	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
83	82	fmpttd 5619	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
84	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
85		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
86	84, 85	elmapd 6600	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
87	83, 86	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
88		fveq1 5464	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) )
89	88	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
90	89	ralbidv 2457	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
91	90	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
92	91	rspcv 2812	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
94		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) )
95		fveq2 5465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( g ` z ) = ( g ` x ) )
96	95	oveq2d 5834	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
97		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
98	82	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
99	96	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
100	99	cbvralv 2680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
101	98, 100	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
102	101	r19.21bi 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
103	94, 96, 97, 102	fvmptd3 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
104	103	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 ) )
105		1cnd 7877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
106	78	ffvelrnda 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. { 0 , 1 } )
107	53, 106	sseldi 3126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
109		0cnd 7854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
110		subsub23 8063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( g ` x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
111	105, 108, 109, 110	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
112	104, 111	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
113	4	eqeq1i 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> 1 = ( g ` x ) )
114		eqcom 2159	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
115	113, 114	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
116	112, 115	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( g ` x ) = 1 ) )
117	116	ralbidva 2453	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
118	117	dcbid 824	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
119	93, 118	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
120	119	ralrimdva 2537	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
121	68, 120	impbid 128	. 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
122	1, 121	bitrd 187	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   {cpr 3561   |-> cmpt 4025   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   ^m cmap 6586  WOmnicwomni 7089   CCcc 7713   0cc0 7715   1c1 7716   - cmin 8029   NN0cn0 9073   ZZcz 9150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-recs 6246  df-frec 6332  df-1o 6357  df-2o 6358  df-map 6588  df-womni 7090  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  13599