Theorem iswomni0 16962

Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 16961 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomni0	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem iswomni0

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomninn 16961	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( f ` z ) = 0 )
3	2	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
4		1m0e1 9367	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 1 )
6		1ex 8285	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
7	6	prid2 3803	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 }
8	5, 7	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( f ` z ) = 1 )
10	9	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 9323	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 0 )
13		c0ex 8284	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	prid1 3802	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 , 1 }
15	12, 14	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
16		elmapi 6917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
19	17, 18	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( f ` z ) e. { 0 , 1 } )
20		elpri 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
22	8, 15, 21	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
23	22	fmpttd 5837	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
24		0nn0 9528	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
25		1nn0 9529	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
26		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
27	24, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
29		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
30	28, 29	elmapd 6909	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
31	23, 30	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
32		fveq1 5674	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( g ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) )
33	32	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( ( g ` x ) = 1 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
34	33	ralbidv 2544	. . . . . . . 8 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
35	34	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
36	35	rspcv 2919	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
38		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) )
39		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( f ` z ) = ( f ` x ) )
40	39	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
42	22	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
43	40	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
44	43	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
46	45	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
47	38, 40, 41, 46	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
48	47	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 ) )
49		1cnd 8306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
50		0z 9605	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
51		1z 9620	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
52		prssi 3857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } C_ ZZ )
53	50, 51, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ ZZ
54	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
55	54	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
56	53, 55	sselid 3240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
57	56	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
58		subsub23 8494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( f ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
59	49, 57, 49, 58	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
60	48, 59	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
61	11	eqeq1i 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> 0 = ( f ` x ) )
62		eqcom 2236	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
63	61, 62	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
64	60, 63	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( f ` x ) = 0 ) )
65	64	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
66	65	dcbid 846	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
67	37, 66	sylibd 149	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
68	67	ralrimdva 2624	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( g ` z ) = 0 )
70	69	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
71	70, 4	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 1 )
72	71, 7	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
73		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( g ` z ) = 1 )
74	73	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
75	74, 11	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 0 )
76	75, 14	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
77		elmapi 6917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
79	78	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( g ` z ) e. { 0 , 1 } )
80		elpri 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
82	72, 76, 81	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
83	82	fmpttd 5837	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
84	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
85		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
86	84, 85	elmapd 6909	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
88		fveq1 5674	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) )
89	88	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
90	89	ralbidv 2544	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
91	90	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
92	91	rspcv 2919	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
94		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) )
95		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( g ` z ) = ( g ` x ) )
96	95	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
97		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
98	82	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
99	96	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
100	99	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
101	98, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
102	101	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
103	94, 96, 97, 102	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
104	103	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 ) )
105		1cnd 8306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
106	78	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. { 0 , 1 } )
107	53, 106	sselid 3240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
109		0cnd 8283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
110		subsub23 8494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( g ` x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
111	105, 108, 109, 110	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
112	104, 111	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
113	4	eqeq1i 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> 1 = ( g ` x ) )
114		eqcom 2236	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
115	113, 114	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
116	112, 115	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( g ` x ) = 1 ) )
117	116	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
118	117	dcbid 846	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
119	93, 118	sylibd 149	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
120	119	ralrimdva 2624	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
121	68, 120	impbid 129	. 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
122	1, 121	bitrd 188	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   {cpr 3695   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895  WOmnicwomni 7467   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   - cmin 8460   NN0cn0 9513   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-womni 7468  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  16978