Theorem iswomni0 13930

Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 13929 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomni0	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem iswomni0

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomninn 13929	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( f ` z ) = 0 )
3	2	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
4		1m0e1 8970	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 1 )
6		1ex 7894	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
7	6	prid2 3683	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 }
8	5, 7	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( f ` z ) = 1 )
10	9	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 8926	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 0 )
13		c0ex 7893	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	prid1 3682	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 , 1 }
15	12, 14	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
16		elmapi 6636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
19	17, 18	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( f ` z ) e. { 0 , 1 } )
20		elpri 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
22	8, 15, 21	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
23	22	fmpttd 5640	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
24		0nn0 9129	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
25		1nn0 9130	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
26		prexg 4189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
27	24, 25, 26	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
29		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
30	28, 29	elmapd 6628	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
31	23, 30	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
32		fveq1 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( g ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) )
33	32	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( ( g ` x ) = 1 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
34	33	ralbidv 2466	. . . . . . . 8 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
35	34	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
36	35	rspcv 2826	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
38		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) )
39		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( f ` z ) = ( f ` x ) )
40	39	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
42	22	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
43	40	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
44	43	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
45	42, 44	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
46	45	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
47	38, 40, 41, 46	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
48	47	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 ) )
49		1cnd 7915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
50		0z 9202	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
51		1z 9217	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
52		prssi 3731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } C_ ZZ )
53	50, 51, 52	mp2an 423	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ ZZ
54	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
55	54	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
56	53, 55	sselid 3140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
57	56	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
58		subsub23 8103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( f ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
59	49, 57, 49, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
60	48, 59	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
61	11	eqeq1i 2173	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> 0 = ( f ` x ) )
62		eqcom 2167	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
63	61, 62	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
64	60, 63	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( f ` x ) = 0 ) )
65	64	ralbidva 2462	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
66	65	dcbid 828	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
67	37, 66	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
68	67	ralrimdva 2546	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
69		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( g ` z ) = 0 )
70	69	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
71	70, 4	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 1 )
72	71, 7	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
73		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( g ` z ) = 1 )
74	73	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
75	74, 11	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 0 )
76	75, 14	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
77		elmapi 6636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
79	78	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( g ` z ) e. { 0 , 1 } )
80		elpri 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
82	72, 76, 81	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
83	82	fmpttd 5640	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
84	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
85		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
86	84, 85	elmapd 6628	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
87	83, 86	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
88		fveq1 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) )
89	88	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
90	89	ralbidv 2466	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
91	90	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
92	91	rspcv 2826	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
94		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) )
95		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( g ` z ) = ( g ` x ) )
96	95	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
97		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
98	82	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
99	96	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
100	99	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
101	98, 100	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
102	101	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
103	94, 96, 97, 102	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
104	103	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 ) )
105		1cnd 7915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
106	78	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. { 0 , 1 } )
107	53, 106	sselid 3140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
109		0cnd 7892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
110		subsub23 8103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( g ` x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
111	105, 108, 109, 110	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
112	104, 111	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
113	4	eqeq1i 2173	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> 1 = ( g ` x ) )
114		eqcom 2167	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
115	113, 114	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
116	112, 115	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( g ` x ) = 1 ) )
117	116	ralbidva 2462	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
118	117	dcbid 828	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
119	93, 118	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
120	119	ralrimdva 2546	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
121	68, 120	impbid 128	. 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
122	1, 121	bitrd 187	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   {cpr 3577   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614  WOmnicwomni 7127   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-womni 7128  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  13944