Theorem iswomni0 15782

Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 15781 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomni0	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem iswomni0

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomninn 15781	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( f ` z ) = 0 )
3	2	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
4		1m0e1 9120	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 1 )
6		1ex 8038	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
7	6	prid2 3730	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 }
8	5, 7	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( f ` z ) = 1 )
10	9	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 9076	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 0 )
13		c0ex 8037	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	prid1 3729	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 , 1 }
15	12, 14	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
16		elmapi 6738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
19	17, 18	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( f ` z ) e. { 0 , 1 } )
20		elpri 3646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
22	8, 15, 21	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
23	22	fmpttd 5720	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
24		0nn0 9281	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
25		1nn0 9282	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
26		prexg 4245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
27	24, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
29		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
30	28, 29	elmapd 6730	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
31	23, 30	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
32		fveq1 5560	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( g ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) )
33	32	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( ( g ` x ) = 1 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
34	33	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
35	34	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
36	35	rspcv 2864	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
38		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) )
39		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( f ` z ) = ( f ` x ) )
40	39	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
42	22	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
43	40	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
44	43	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
46	45	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
47	38, 40, 41, 46	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
48	47	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 ) )
49		1cnd 8059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
50		0z 9354	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
51		1z 9369	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
52		prssi 3781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } C_ ZZ )
53	50, 51, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ ZZ
54	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
55	54	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
56	53, 55	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
57	56	zcnd 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
58		subsub23 8248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( f ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
59	49, 57, 49, 58	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
60	48, 59	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
61	11	eqeq1i 2204	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> 0 = ( f ` x ) )
62		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
63	61, 62	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
64	60, 63	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( f ` x ) = 0 ) )
65	64	ralbidva 2493	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
66	65	dcbid 839	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
67	37, 66	sylibd 149	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
68	67	ralrimdva 2577	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( g ` z ) = 0 )
70	69	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
71	70, 4	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 1 )
72	71, 7	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
73		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( g ` z ) = 1 )
74	73	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
75	74, 11	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 0 )
76	75, 14	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
77		elmapi 6738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
79	78	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( g ` z ) e. { 0 , 1 } )
80		elpri 3646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
82	72, 76, 81	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
83	82	fmpttd 5720	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
84	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
85		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
86	84, 85	elmapd 6730	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
88		fveq1 5560	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) )
89	88	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
90	89	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
91	90	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
92	91	rspcv 2864	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
94		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) )
95		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( g ` z ) = ( g ` x ) )
96	95	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
97		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
98	82	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
99	96	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
100	99	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
101	98, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
102	101	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
103	94, 96, 97, 102	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
104	103	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 ) )
105		1cnd 8059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
106	78	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. { 0 , 1 } )
107	53, 106	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
109		0cnd 8036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
110		subsub23 8248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( g ` x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
111	105, 108, 109, 110	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
112	104, 111	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
113	4	eqeq1i 2204	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> 1 = ( g ` x ) )
114		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
115	113, 114	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
116	112, 115	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( g ` x ) = 1 ) )
117	116	ralbidva 2493	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
118	117	dcbid 839	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
119	93, 118	sylibd 149	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
120	119	ralrimdva 2577	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
121	68, 120	impbid 129	. 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
122	1, 121	bitrd 188	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   {cpr 3624   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716  WOmnicwomni 7238   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-womni 7239  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  15797