Theorem iswomni0 14083

Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 14082 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomni0	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem iswomni0

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomninn 14082	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( f ` z ) = 0 )
3	2	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
4		1m0e1 8991	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
5	3, 4	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 1 )
6		1ex 7915	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
7	6	prid2 3690	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 }
8	5, 7	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( f ` z ) = 1 )
10	9	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 8947	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) = 0 )
13		c0ex 7914	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	prid1 3689	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. { 0 , 1 }
15	12, 14	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( f ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
16		elmapi 6648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
17	16	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
19	17, 18	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( f ` z ) e. { 0 , 1 } )
20		elpri 3606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( f ` z ) = 0 \/ ( f ` z ) = 1 ) )
22	8, 15, 21	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
23	22	fmpttd 5651	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
24		0nn0 9150	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
25		1nn0 9151	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
26		prexg 4196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
27	24, 25, 26	mp2an 424	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
29		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
30	28, 29	elmapd 6640	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
31	23, 30	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
32		fveq1 5495	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( g ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) )
33	32	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( ( g ` x ) = 1 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
34	33	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
35	34	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( g = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
36	35	rspcv 2830	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 ) )
38		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) )
39		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( f ` z ) = ( f ` x ) )
40	39	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( f ` z ) ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
42	22	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
43	40	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
44	43	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( f ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
45	42, 44	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
46	45	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( f ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
47	38, 40, 41, 46	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( f ` x ) ) )
48	47	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 ) )
49		1cnd 7936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
50		0z 9223	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
51		1z 9238	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
52		prssi 3738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } C_ ZZ )
53	50, 51, 52	mp2an 424	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ ZZ
54	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
55	54	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
56	53, 55	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
57	56	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
58		subsub23 8124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( f ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
59	49, 57, 49, 58	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( f ` x ) ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
60	48, 59	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) ) )
61	11	eqeq1i 2178	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> 0 = ( f ` x ) )
62		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
63	61, 62	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) = ( f ` x ) <-> ( f ` x ) = 0 )
64	60, 63	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> ( f ` x ) = 0 ) )
65	64	ralbidva 2466	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
66	65	dcbid 833	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( f ` z ) ) ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
67	37, 66	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
68	67	ralrimdva 2550	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
69		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( g ` z ) = 0 )
70	69	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 0 ) )
71	70, 4	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 1 )
72	71, 7	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 0 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
73		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( g ` z ) = 1 )
74	73	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - 1 ) )
75	74, 11	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) = 0 )
76	75, 14	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) /\ ( g ` z ) = 1 ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
77		elmapi 6648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> g : A --> { 0 , 1 } )
79	78	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( g ` z ) e. { 0 , 1 } )
80		elpri 3606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` z ) e. { 0 , 1 } -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( g ` z ) = 0 \/ ( g ` z ) = 1 ) )
82	72, 76, 81	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ z e. A ) -> ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
83	82	fmpttd 5651	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } )
84	27	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
85		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
86	84, 85	elmapd 6640	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) : A --> { 0 , 1 } ) )
87	83, 86	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
88		fveq1 5495	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( f ` x ) = ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) )
89	88	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
90	89	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
91	90	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
92	91	rspcv 2830	. . . . . 6 |- ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 ) )
94		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) = ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) )
95		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( g ` z ) = ( g ` x ) )
96	95	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( 1 - ( g ` z ) ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
97		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
98	82	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } )
99	96	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } ) )
100	99	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. A ( 1 - ( g ` z ) ) e. { 0 , 1 } <-> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
101	98, 100	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. x e. A ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
102	101	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 - ( g ` x ) ) e. { 0 , 1 } )
103	94, 96, 97, 102	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = ( 1 - ( g ` x ) ) )
104	103	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 ) )
105		1cnd 7936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 1 e. CC )
106	78	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. { 0 , 1 } )
107	53, 106	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
109		0cnd 7913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
110		subsub23 8124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( g ` x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
111	105, 108, 109, 110	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( 1 - ( g ` x ) ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
112	104, 111	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) ) )
113	4	eqeq1i 2178	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> 1 = ( g ` x ) )
114		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
115	113, 114	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 0 ) = ( g ` x ) <-> ( g ` x ) = 1 )
116	112, 115	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( g ` x ) = 1 ) )
117	116	ralbidva 2466	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
118	117	dcbid 833	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( z e. A |-> ( 1 - ( g ` z ) ) ) ` x ) = 0 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
119	93, 118	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
120	119	ralrimdva 2550	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 ) )
121	68, 120	impbid 128	. 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1 <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )
122	1, 121	bitrd 187	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   {cpr 3584   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626  WOmnicwomni 7139   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-womni 7140  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  14097