Theorem pncan 8532

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8477	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8304	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8529	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  pncan2  8533  addsubass  8536  pncan3oi  8542  subid1  8546  nppcan2  8557  pncand  8638  nn1m1nn  9322  nnsub  9343  elnn0nn  9605  zrevaddcl  9695  nzadd  9697  elz2  9716  qrevaddcl  10044  irradd  10046  fzrev3  10494  elfzp1b  10504  fzrevral3  10514  fzval3  10622  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  subsq2  11084  bcp1nk  11200  bcp1m1  11203  bcpasc  11204  hashfibclem  11282  ccatalpha  11381  wrdind  11494  wrd2ind  11495  shftlem  11581  shftval5  11594  fsump1  12187  mptfzshft  12209  telfsumo  12233  fsumparts  12237  bcxmas  12256  isum1p  12259  geolim  12278  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  eftlub  12457  effsumlt  12459  eirraplem  12544  dvdsadd  12603  prmind2  12898  fldivp1  13127  prmpwdvds  13134  pockthlem  13135  4sqlem11  13180  dvexp  15812  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  dvply1  15866  abssinper  15947  perfectlem1  16113  perfectlem2  16114  perfect  16115  lgsvalmod  16138  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquad2lem1  16200  2sqlem10  16244