Theorem pncan 8313

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8258	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8085	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8310	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  pncan2  8314  addsubass  8317  pncan3oi  8323  subid1  8327  nppcan2  8338  pncand  8419  nn1m1nn  9089  nnsub  9110  elnn0nn  9372  zrevaddcl  9458  nzadd  9460  elz2  9479  qrevaddcl  9800  irradd  9802  fzrev3  10244  elfzp1b  10254  fzrevral3  10264  fzval3  10370  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  subsq2  10829  bcp1nk  10944  bcp1m1  10947  bcpasc  10948  wrdind  11213  wrd2ind  11214  shftlem  11242  shftval5  11255  fsump1  11846  mptfzshft  11868  telfsumo  11892  fsumparts  11896  bcxmas  11915  isum1p  11918  geolim  11937  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  eftlub  12116  effsumlt  12118  eirraplem  12203  dvdsadd  12262  prmind2  12557  fldivp1  12786  prmpwdvds  12793  pockthlem  12794  4sqlem11  12839  dvexp  15298  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  dvply1  15352  abssinper  15433  perfectlem1  15586  perfectlem2  15587  perfect  15588  lgsvalmod  15611  lgseisen  15666  lgsquadlem1  15669  lgsquad2lem1  15673  2sqlem10  15717