ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pncan Unicode version

Theorem pncan 8096
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
31, 2addcomd 8041 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) )
4 addcl 7870 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
5 subadd 8093 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( A  +  B )  -  B
)  =  A  <->  ( B  +  A )  =  ( A  +  B ) ) )
64, 1, 2, 5syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  =  A  <-> 
( B  +  A
)  =  ( A  +  B ) ) )
73, 6mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1342    e. wcel 2135  (class class class)co 5837   CCcc 7743    + caddc 7748    - cmin 8061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-setind 4509  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-sub 8063
This theorem is referenced by:  pncan2  8097  addsubass  8100  pncan3oi  8106  subid1  8110  nppcan2  8121  pncand  8202  nn1m1nn  8867  nnsub  8888  elnn0nn  9148  zrevaddcl  9233  nzadd  9235  elz2  9254  qrevaddcl  9574  irradd  9576  fzrev3  10013  elfzp1b  10023  fzrevral3  10033  fzval3  10130  subsq2  10553  bcp1nk  10665  bcp1m1  10668  bcpasc  10669  shftlem  10745  shftval5  10758  fsump1  11348  mptfzshft  11370  telfsumo  11394  fsumparts  11398  bcxmas  11417  isum1p  11420  geolim  11439  mertenslem2  11464  mertensabs  11465  eftlub  11618  effsumlt  11620  eirraplem  11704  dvdsadd  11762  prmind2  12038  fldivp1  12264  prmpwdvds  12271  pockthlem  12272  dvexp  13233  abssinper  13325
  Copyright terms: Public domain W3C validator