Theorem pncan 8278

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8223	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8050	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8275	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   + caddc 7928   - cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245

This theorem is referenced by:  pncan2  8279  addsubass  8282  pncan3oi  8288  subid1  8292  nppcan2  8303  pncand  8384  nn1m1nn  9054  nnsub  9075  elnn0nn  9337  zrevaddcl  9423  nzadd  9425  elz2  9444  qrevaddcl  9765  irradd  9767  fzrev3  10209  elfzp1b  10219  fzrevral3  10229  fzval3  10333  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  subsq2  10792  bcp1nk  10907  bcp1m1  10910  bcpasc  10911  shftlem  11127  shftval5  11140  fsump1  11731  mptfzshft  11753  telfsumo  11777  fsumparts  11781  bcxmas  11800  isum1p  11803  geolim  11822  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  eftlub  12001  effsumlt  12003  eirraplem  12088  dvdsadd  12147  prmind2  12442  fldivp1  12671  prmpwdvds  12678  pockthlem  12679  4sqlem11  12724  dvexp  15183  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  dvply1  15237  abssinper  15318  perfectlem1  15471  perfectlem2  15472  perfect  15473  lgsvalmod  15496  lgseisen  15551  lgsquadlem1  15554  lgsquad2lem1  15558  2sqlem10  15602