Theorem pncan 8390

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8335	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8162	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8387	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201  (class class class)co 6023   CCcc 8035   + caddc 8040   - cmin 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-setind 4637  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-sub 8357

This theorem is referenced by:  pncan2  8391  addsubass  8394  pncan3oi  8400  subid1  8404  nppcan2  8415  pncand  8496  nn1m1nn  9166  nnsub  9187  elnn0nn  9449  zrevaddcl  9535  nzadd  9537  elz2  9556  qrevaddcl  9883  irradd  9885  fzrev3  10327  elfzp1b  10337  fzrevral3  10347  fzval3  10455  seqf1oglem1  10787  seqf1oglem2  10788  subsq2  10915  bcp1nk  11030  bcp1m1  11033  bcpasc  11034  ccatalpha  11199  wrdind  11312  wrd2ind  11313  shftlem  11399  shftval5  11412  fsump1  12004  mptfzshft  12026  telfsumo  12050  fsumparts  12054  bcxmas  12073  isum1p  12076  geolim  12095  mertenslem2  12120  mertensabs  12121  eftlub  12274  effsumlt  12276  eirraplem  12361  dvdsadd  12420  prmind2  12715  fldivp1  12944  prmpwdvds  12951  pockthlem  12952  4sqlem11  12997  dvexp  15464  plyaddlem1  15500  plymullem1  15501  dvply1  15518  abssinper  15599  perfectlem1  15752  perfectlem2  15753  perfect  15754  lgsvalmod  15777  lgseisen  15832  lgsquadlem1  15835  lgsquad2lem1  15839  2sqlem10  15883