Theorem pncan 8444

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8389	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8217	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8441	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   - cmin 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411

This theorem is referenced by:  pncan2  8445  addsubass  8448  pncan3oi  8454  subid1  8458  nppcan2  8469  pncand  8550  nn1m1nn  9220  nnsub  9241  elnn0nn  9503  zrevaddcl  9591  nzadd  9593  elz2  9612  qrevaddcl  9939  irradd  9941  fzrev3  10384  elfzp1b  10394  fzrevral3  10404  fzval3  10512  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  subsq2  10972  bcp1nk  11087  bcp1m1  11090  bcpasc  11091  ccatalpha  11256  wrdind  11369  wrd2ind  11370  shftlem  11456  shftval5  11469  fsump1  12061  mptfzshft  12083  telfsumo  12107  fsumparts  12111  bcxmas  12130  isum1p  12133  geolim  12152  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  eftlub  12331  effsumlt  12333  eirraplem  12418  dvdsadd  12477  prmind2  12772  fldivp1  13001  prmpwdvds  13008  pockthlem  13009  4sqlem11  13054  dvexp  15522  plyaddlem1  15558  plymullem1  15559  dvply1  15576  abssinper  15657  perfectlem1  15813  perfectlem2  15814  perfect  15815  lgsvalmod  15838  lgseisen  15893  lgsquadlem1  15896  lgsquad2lem1  15900  2sqlem10  15944