Theorem pncan 8522

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8467	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8294	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8519	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  pncan2  8523  addsubass  8526  pncan3oi  8532  subid1  8536  nppcan2  8547  pncand  8628  nn1m1nn  9301  nnsub  9322  elnn0nn  9584  zrevaddcl  9674  nzadd  9676  elz2  9695  qrevaddcl  10023  irradd  10025  fzrev3  10472  elfzp1b  10482  fzrevral3  10492  fzval3  10600  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  subsq2  11062  bcp1nk  11178  bcp1m1  11181  bcpasc  11182  hashfibclem  11260  ccatalpha  11359  wrdind  11472  wrd2ind  11473  shftlem  11559  shftval5  11572  fsump1  12165  mptfzshft  12187  telfsumo  12211  fsumparts  12215  bcxmas  12234  isum1p  12237  geolim  12256  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  eftlub  12435  effsumlt  12437  eirraplem  12522  dvdsadd  12581  prmind2  12876  fldivp1  13105  prmpwdvds  13112  pockthlem  13113  4sqlem11  13158  dvexp  15735  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  dvply1  15789  abssinper  15870  perfectlem1  16027  perfectlem2  16028  perfect  16029  lgsvalmod  16052  lgseisen  16107  lgsquadlem1  16110  lgsquad2lem1  16114  2sqlem10  16158