Theorem pncan 8363

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8308	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8135	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8360	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   + caddc 8013   - cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330

This theorem is referenced by:  pncan2  8364  addsubass  8367  pncan3oi  8373  subid1  8377  nppcan2  8388  pncand  8469  nn1m1nn  9139  nnsub  9160  elnn0nn  9422  zrevaddcl  9508  nzadd  9510  elz2  9529  qrevaddcl  9851  irradd  9853  fzrev3  10295  elfzp1b  10305  fzrevral3  10315  fzval3  10422  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  subsq2  10881  bcp1nk  10996  bcp1m1  10999  bcpasc  11000  ccatalpha  11161  wrdind  11270  wrd2ind  11271  shftlem  11343  shftval5  11356  fsump1  11947  mptfzshft  11969  telfsumo  11993  fsumparts  11997  bcxmas  12016  isum1p  12019  geolim  12038  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  eftlub  12217  effsumlt  12219  eirraplem  12304  dvdsadd  12363  prmind2  12658  fldivp1  12887  prmpwdvds  12894  pockthlem  12895  4sqlem11  12940  dvexp  15401  plyaddlem1  15437  plymullem1  15438  dvply1  15455  abssinper  15536  perfectlem1  15689  perfectlem2  15690  perfect  15691  lgsvalmod  15714  lgseisen  15769  lgsquadlem1  15772  lgsquad2lem1  15776  2sqlem10  15820