Theorem pncan 8352

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 8297	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 8124	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 8349	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  pncan2  8353  addsubass  8356  pncan3oi  8362  subid1  8366  nppcan2  8377  pncand  8458  nn1m1nn  9128  nnsub  9149  elnn0nn  9411  zrevaddcl  9497  nzadd  9499  elz2  9518  qrevaddcl  9839  irradd  9841  fzrev3  10283  elfzp1b  10293  fzrevral3  10303  fzval3  10410  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  subsq2  10869  bcp1nk  10984  bcp1m1  10987  bcpasc  10988  wrdind  11254  wrd2ind  11255  shftlem  11327  shftval5  11340  fsump1  11931  mptfzshft  11953  telfsumo  11977  fsumparts  11981  bcxmas  12000  isum1p  12003  geolim  12022  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  eftlub  12201  effsumlt  12203  eirraplem  12288  dvdsadd  12347  prmind2  12642  fldivp1  12871  prmpwdvds  12878  pockthlem  12879  4sqlem11  12924  dvexp  15385  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  dvply1  15439  abssinper  15520  perfectlem1  15673  perfectlem2  15674  perfect  15675  lgsvalmod  15698  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquad2lem1  15760  2sqlem10  15804