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Theorem amgm2 11141
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
amgm2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 9004 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
3 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
4 remulcl 7953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
6 mulge0 8590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
7 resqrtcl 11052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
98recnd 8000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
10 sqmul 10596 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A  x.  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
111, 9, 10sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
12 sq2 10630 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1312oveq1i 5898 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^ 2 ) )
14 resqrtth 11054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( A  x.  B )
) ^ 2 )  =  ( A  x.  B ) )
155, 6, 14syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^
2 )  =  ( A  x.  B ) )
1615oveq2d 5904 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
1713, 16eqtrid 2232 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
1811, 17eqtrd 2220 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
192, 3resubcld 8352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
2019sqge0d 10695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( ( A  -  B
) ^ 2 ) )
212recnd 8000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
223recnd 8000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  CC )
23 binom2 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) ) )
25 binom2sub 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
2621, 22, 25syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) ) )
2724, 26oveq12d 5906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
282resqcld 10694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
29 2re 9003 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
30 remulcl 7953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
3129, 5, 30sylancr 414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  e.  RR )
3228, 31readdcld 8001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
3332recnd 8000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  CC )
3428, 31resubcld 8352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
3534recnd 8000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  CC )
363resqcld 10694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 8000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3833, 35, 37pnpcan2d 8320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) ) )
3931recnd 8000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  e.  CC )
40392timesd 9175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
41 2t2e4 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4241oveq1i 5898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)
43 2cnd 9006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  2  e.  CC )
445recnd 8000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
4543, 43, 44mulassd 7995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  2 )  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4642, 45eqtr3id 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4728recnd 8000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4847, 39, 39pnncand 8321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4940, 46, 483eqtr4rd 2231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )
5027, 38, 493eqtrd 2224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )
512, 3readdcld 8001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5251resqcld 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  RR )
5352recnd 8000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
5419resqcld 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  RR )
5554recnd 8000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  CC )
56 4re 9010 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
57 remulcl 7953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
5856, 5, 57sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  e.  RR )
5958recnd 8000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  e.  CC )
60 subsub23 8176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)  <->  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )  =  ( ( A  -  B
) ^ 2 ) ) )
6153, 55, 59, 60syl3anc 1248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B
) )  <->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) ) )
6250, 61mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) )
6320, 62breqtrrd 4043 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
6452, 58subge0d 8506 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 0  <_  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )  <->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  <_ 
( ( A  +  B ) ^ 2 ) ) )
6563, 64mpbid 147 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  <_ 
( ( A  +  B ) ^ 2 ) )
6618, 65eqbrtrd 4037 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  <_  (
( A  +  B
) ^ 2 ) )
67 remulcl 7953 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( A  x.  B ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) )  e.  RR )
6829, 8, 67sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
69 sqrtge0 11056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )
705, 6, 69syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) )
71 0le2 9023 . . . . . 6  |-  0  <_  2
72 mulge0 8590 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )  ->  0  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )
7329, 71, 72mpanl12 436 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ) )
748, 70, 73syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )
75 addge0 8422 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
7675an4s 588 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7768, 51, 74, 76le2sqd 10700 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( A  +  B ) ^ 2 ) ) )
7866, 77mpbird 167 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  <_  ( A  +  B )
)
79 2pos 9024 . . . . 5  |-  0  <  2
8029, 79pm3.2i 272 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemuldiv2 8853 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( sqr `  ( A  x.  B )
)  <_  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
838, 51, 81, 82syl3anc 1248 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( sqr `  ( A  x.  B )
)  <_  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
8478, 83mpbid 147 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825    + caddc 7828    x. cmul 7830    < clt 8006    <_ cle 8007    - cmin 8142    / cdiv 8643   2c2 8984   4c4 8986   ^cexp 10533   sqrcsqrt 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-rsqrt 11021
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