Theorem tgtop 14236

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 14225	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 = ∪ 𝑦)
3		uniopn 14169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
5	2, 4	eqeltrd 2270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽)
6	5	expl 378	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
7	6	exlimdv 1830	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐽))
8	1, 7	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
9	8	ssrdv 3185	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
10		bastg 14229	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐽))
11	9, 10	eqssd 3196	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  ∪ cuni 3835  ‘cfv 5254  topGenctg 12865  Topctop 14165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871  df-top 14166

This theorem is referenced by:  eltop  14237  eltop2  14238  eltop3  14239  bastop  14243  tgtop11  14244  basgen  14248  bastop1  14251  resttop  14338