ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgtop GIF version

Theorem tgtop 12276
Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgtop (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem tgtop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltg3 12265 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐽𝑥 = 𝑦)))
2 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
3 uniopn 12207 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐽)
43adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐽)
52, 4eqeltrd 2217 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐽)
65expl 376 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ((𝑦𝐽𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐽))
76exlimdv 1792 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (∃𝑦(𝑦𝐽𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐽))
81, 7sylbid 149 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐽) → 𝑥𝐽))
98ssrdv 3108 . 2 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
10 bastg 12269 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐽))
119, 10eqssd 3119 1 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wex 1469  wcel 1481  wss 3076   cuni 3744  cfv 5131  topGenctg 12174  Topctop 12203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-topgen 12180  df-top 12204
This theorem is referenced by:  eltop  12277  eltop2  12278  eltop3  12279  bastop  12283  tgtop11  12284  basgen  12288  bastop1  12291  resttop  12378
  Copyright terms: Public domain W3C validator