Theorem opprex 13835

Description: Existence of the opposite ring. If you know that R is a ring, see opprring 13841. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprex.o	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprex	|- ( R e. V -> O e. _V )

Proof of Theorem opprex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2205	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3		opprex.o	. . 3 |- O = (oppr ` R )
4	1, 2, 3	opprvalg 13831	. 2 |- ( R e. V -> O = ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos ( .r ` R ) >. ) )
5		mulrslid 12964	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
6	5	simpri 113	. . . 4 |- ( .r ` ndx ) e. NN
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` ndx ) e. NN )
8	5	slotex 12859	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		tposexg 6344	. . . 4 |- ( ( .r ` R ) e. _V -> tpos ( .r ` R ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( R e. V -> tpos ( .r ` R ) e. _V )
11		setsex 12864	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` ndx ) e. NN /\ tpos ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos ( .r ` R ) >. ) e. _V )
12	7, 10, 11	mpd3an23 1352	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos ( .r ` R ) >. ) e. _V )
13	4, 12	eqeltrd 2282	1 |- ( R e. V -> O e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  tpos ctpos 6330   NNcn 9036   ndxcnx 12829   sSet csts 12830  Slot cslot 12831   Basecbs 12832   .rcmulr 12910  opp_rcoppr 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-tpos 6331  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-sets 12839  df-mulr 12923  df-oppr 13830

This theorem is referenced by:  opprrngbg  13840  oppr0g  13843  oppr1g  13844  opprnegg  13845  opprsubgg  13846  crngridl  14292