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Theorem rexanuz 11539
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Distinct variable groups:   j, k   ph, j   ps, j
Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)
Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2657 . . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
21rexbii 2537 . . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
3 r19.40 2685 . . 3 |- ( E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
42, 3sylbi 121 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
5 uzf 9748 . . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5479 . . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
7 raleq 2728 . . . . 5 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. x ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
87rexrn 5780 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 8 . . 3 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
10 raleq 2728 . . . . 5 |- ( y = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. y ps <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
1110rexrn 5780 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 8 . . 3 |- ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
13 uzin2 11538 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) -> ( x i^i y ) e. ran ZZ>= )
14 inss1 3425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
15 ssralv 3289 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ x -> ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph )
17 inss2 3426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
18 ssralv 3289 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ y -> ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps )
2016, 19anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
21 r19.26 2657 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
2220, 21sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) )
23 raleq 2728 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i y ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) )
2423rspcev 2908 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x i^i y ) e. ran ZZ>= /\ A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2513, 22, 24syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) /\ ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2625an4s 590 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) /\ ( y e. ran ZZ>= /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2726rexlimdvaa 2649 . . . . . 6 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2827rexlimiva 2643 . . . . 5 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2928imp 124 . . . 4 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
30 raleq 2728 . . . . . 6 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
3130rexrn 5780 . . . . 5 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
325, 6, 31mp2b 8 . . . 4 |- ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
3329, 32sylib 122 . . 3 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
349, 12, 33syl2anbr 292 . 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
354, 34impbii 126 1 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3197   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   ran crn 4724   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746
This theorem is referenced by:  rexfiuz  11540  rexuz3  11541  rexanuz2  11542
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