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Theorem rexanuz 11732
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Distinct variable groups:   j, k   ph, j   ps, j
Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)
Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2677 . . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
21rexbii 2557 . . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
3 r19.40 2705 . . 3 |- ( E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
42, 3sylbi 121 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
5 uzf 9903 . . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5528 . . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
7 raleq 2749 . . . . 5 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. x ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
87rexrn 5836 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 8 . . 3 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
10 raleq 2749 . . . . 5 |- ( y = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. y ps <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
1110rexrn 5836 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 8 . . 3 |- ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
13 uzin2 11731 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) -> ( x i^i y ) e. ran ZZ>= )
14 inss1 3451 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
15 ssralv 3312 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ x -> ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph )
17 inss2 3452 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
18 ssralv 3312 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ y -> ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps )
2016, 19anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
21 r19.26 2677 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
2220, 21sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) )
23 raleq 2749 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i y ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) )
2423rspcev 2929 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x i^i y ) e. ran ZZ>= /\ A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2513, 22, 24syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) /\ ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2625an4s 596 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) /\ ( y e. ran ZZ>= /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2726rexlimdvaa 2669 . . . . . 6 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2827rexlimiva 2663 . . . . 5 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2928imp 124 . . . 4 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
30 raleq 2749 . . . . . 6 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
3130rexrn 5836 . . . . 5 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
325, 6, 31mp2b 8 . . . 4 |- ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
3329, 32sylib 122 . . 3 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
349, 12, 33syl2anbr 292 . 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
354, 34impbii 126 1 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   ran crn 4770   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901
This theorem is referenced by:  rexfiuz  11733  rexuz3  11734  rexanuz2  11735
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