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Theorem rexanuz 11299
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Distinct variable groups:   j, k   ph, j   ps, j
Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)
Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2632 . . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
21rexbii 2513 . . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
3 r19.40 2660 . . 3 |- ( E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
42, 3sylbi 121 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
5 uzf 9651 . . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5425 . . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
7 raleq 2702 . . . . 5 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. x ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
87rexrn 5717 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 8 . . 3 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
10 raleq 2702 . . . . 5 |- ( y = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. y ps <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
1110rexrn 5717 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 8 . . 3 |- ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
13 uzin2 11298 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) -> ( x i^i y ) e. ran ZZ>= )
14 inss1 3393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
15 ssralv 3257 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ x -> ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph )
17 inss2 3394 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
18 ssralv 3257 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ y -> ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps )
2016, 19anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
21 r19.26 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
2220, 21sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) )
23 raleq 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i y ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) )
2423rspcev 2877 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x i^i y ) e. ran ZZ>= /\ A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2513, 22, 24syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) /\ ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2625an4s 588 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) /\ ( y e. ran ZZ>= /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2726rexlimdvaa 2624 . . . . . 6 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2827rexlimiva 2618 . . . . 5 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2928imp 124 . . . 4 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
30 raleq 2702 . . . . . 6 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
3130rexrn 5717 . . . . 5 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
325, 6, 31mp2b 8 . . . 4 |- ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
3329, 32sylib 122 . . 3 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
349, 12, 33syl2anbr 292 . 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
354, 34impbii 126 1 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   ran crn 4676   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649
This theorem is referenced by:  rexfiuz  11300  rexuz3  11301  rexanuz2  11302
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