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Theorem rexanuz 10981
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Distinct variable groups:   j, k   ph, j   ps, j
Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)
Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2603 . . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
21rexbii 2484 . . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
3 r19.40 2631 . . 3 |- ( E. j e. ZZ ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
42, 3sylbi 121 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
5 uzf 9520 . . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5361 . . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
7 raleq 2672 . . . . 5 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. x ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
87rexrn 5649 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 8 . . 3 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
10 raleq 2672 . . . . 5 |- ( y = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. y ps <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
1110rexrn 5649 . . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 8 . . 3 |- ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
13 uzin2 10980 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) -> ( x i^i y ) e. ran ZZ>= )
14 inss1 3355 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
15 ssralv 3219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ x -> ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. x ph -> A. k e. ( x i^i y ) ph )
17 inss2 3356 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
18 ssralv 3219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i y ) C_ y -> ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. y ps -> A. k e. ( x i^i y ) ps )
2016, 19anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
21 r19.26 2603 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) <-> ( A. k e. ( x i^i y ) ph /\ A. k e. ( x i^i y ) ps ) )
2220, 21sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) -> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) )
23 raleq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i y ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) )
2423rspcev 2841 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x i^i y ) e. ran ZZ>= /\ A. k e. ( x i^i y ) ( ph /\ ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2513, 22, 24syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ y e. ran ZZ>= ) /\ ( A. k e. x ph /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2625an4s 588 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) /\ ( y e. ran ZZ>= /\ A. k e. y ps ) ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
2726rexlimdvaa 2595 . . . . . 6 |- ( ( x e. ran ZZ>= /\ A. k e. x ph ) -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2827rexlimiva 2589 . . . . 5 |- ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph -> ( E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) ) )
2928imp 124 . . . 4 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) )
30 raleq 2672 . . . . . 6 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
3130rexrn 5649 . . . . 5 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
325, 6, 31mp2b 8 . . . 4 |- ( E. z e. ran ZZ>= A. k e. z ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
3329, 32sylib 122 . . 3 |- ( ( E. x e. ran ZZ>= A. k e. x ph /\ E. y e. ran ZZ>= A. k e. y ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
349, 12, 33syl2anbr 292 . 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )
354, 34impbii 126 1 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3128   C_ wss 3129   ~Pcpw 3574   ran crn 4624   Fn wfn 5207   -->wf 5208   ` cfv 5212   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518
This theorem is referenced by:  rexfiuz  10982  rexuz3  10983  rexanuz2  10984
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