Theorem uzin2 10791

Description: The upper integers are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin2	|- ( ( A e. ran ZZ>= /\ B e. ran ZZ>= ) -> ( A i^i B ) e. ran ZZ>= )

Proof of Theorem uzin2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9353	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		ffn 5280	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ZZ>= Fn ZZ
4		fvelrnb 5477	. . 3 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( A e. ran ZZ>= <-> E. x e. ZZ ( ZZ>= ` x ) = A ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( A e. ran ZZ>= <-> E. x e. ZZ ( ZZ>= ` x ) = A )
6		fvelrnb 5477	. . 3 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( B e. ran ZZ>= <-> E. y e. ZZ ( ZZ>= ` y ) = B ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( B e. ran ZZ>= <-> E. y e. ZZ ( ZZ>= ` y ) = B )
8		ineq1 3275	. . 3 |- ( ( ZZ>= ` x ) = A -> ( ( ZZ>= ` x ) i^i ( ZZ>= ` y ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` y ) ) )
9	8	eleq1d 2209	. 2 |- ( ( ZZ>= ` x ) = A -> ( ( ( ZZ>= ` x ) i^i ( ZZ>= ` y ) ) e. ran ZZ>= <-> ( A i^i ( ZZ>= ` y ) ) e. ran ZZ>= ) )
10		ineq2 3276	. . 3 |- ( ( ZZ>= ` y ) = B -> ( A i^i ( ZZ>= ` y ) ) = ( A i^i B ) )
11	10	eleq1d 2209	. 2 |- ( ( ZZ>= ` y ) = B -> ( ( A i^i ( ZZ>= ` y ) ) e. ran ZZ>= <-> ( A i^i B ) e. ran ZZ>= ) )
12		uzin 9382	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` x ) i^i ( ZZ>= ` y ) ) = ( ZZ>= ` if ( x <_ y , y , x ) ) )
13		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
14		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
15		zdcle 9151	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID x <_ y )
16	13, 14, 15	ifcldcd 3512	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> if ( x <_ y , y , x ) e. ZZ )
17		fnfvelrn 5560	. . . 4 |- ( ( ZZ>= Fn ZZ /\ if ( x <_ y , y , x ) e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` if ( x <_ y , y , x ) ) e. ran ZZ>= )
18	3, 16, 17	sylancr 411	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` if ( x <_ y , y , x ) ) e. ran ZZ>= )
19	12, 18	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` x ) i^i ( ZZ>= ` y ) ) e. ran ZZ>= )
20	5, 7, 9, 11, 19	2gencl 2722	1 |- ( ( A e. ran ZZ>= /\ B e. ran ZZ>= ) -> ( A i^i B ) e. ran ZZ>= )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   i^i cin 3075   ifcif 3479   ~Pcpw 3515   class class class wbr 3937   ran crn 4548   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  rexanuz  10792