Theorem eluzel2 9857

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9855	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5512	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5701	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5515	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2325	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ~Pcpw 3668   dom cdm 4748   Rel wrel 4753   -->wf 5347   ` cfv 5351   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-neg 8446  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  eluz2  9858  uztrn  9870  uzneg  9872  uzss  9874  uz11  9876  eluzadd  9882  uzm1  9884  uzin  9886  uzind4  9919  elfz5  10350  elfzel1  10357  eluzfz1  10364  fzsplit2  10383  fzopth  10394  fzpred  10403  fzpreddisj  10404  fzdifsuc  10414  uzsplit  10425  uzdisj  10426  elfzp12  10432  fzm1  10433  uznfz  10436  nn0disj  10471  fzolb  10487  fzoss2  10507  fzouzdisj  10515  fzoun  10516  ige2m2fzo  10542  elfzonelfzo  10574  frec2uzrand  10766  frecfzen2  10788  seq3p1  10826  seqp1cd  10831  seq3clss  10832  seq3feq2  10837  seqfveqg  10839  seq3fveq  10840  seq3shft2  10842  seqshft2g  10843  ser3mono  10848  seq3split  10849  seqsplitg  10850  seq3caopr3  10852  seqcaopr3g  10853  seq3caopr2  10854  seq3f1olemp  10876  seq3f1oleml  10877  seq3f1o  10878  seqf1oglem2a  10879  seqf1oglem1  10880  seqf1oglem2  10881  seqf1og  10882  seq3id3  10885  seq3id  10886  seq3homo  10888  seq3z  10889  seqhomog  10891  seqfeq4g  10892  seq3distr  10893  ser3ge0  10897  ser3le  10898  leexp2a  10953  hashfz  11184  hashfzo  11185  hashfzp1  11187  seq3coll  11210  rexanuz2  11672  cau4  11797  clim2ser  12018  clim2ser2  12019  climserle  12026  fsum3cvg  12060  fsum3cvg2  12076  fsumsersdc  12077  fsum3ser  12079  fsumm1  12098  fsum1p  12100  telfsumo  12148  fsumparts  12152  cvgcmpub  12158  isumsplit  12173  cvgratnnlemmn  12207  clim2prod  12221  clim2divap  12222  prodfrecap  12228  prodfdivap  12229  ntrivcvgap  12230  fproddccvg  12254  fprodm1  12280  fprodabs  12298  fprodeq0  12299  uzwodc  12729  pcaddlem  13033  fngsum  13593  igsumvalx  13594  gsumfzval  13596  gsumval2  13602  gsumfzz  13700  gsumfzconst  14050  gsumfzfsumlemm  14727  inffz  16849  gsumgfsumlem  16856