Theorem eluzel2 9727

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9725	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5478	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5659	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5481	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2322	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ~Pcpw 3649   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   -->wf 5314   ` cfv 5318   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  eluz2  9728  uztrn  9739  uzneg  9741  uzss  9743  uz11  9745  eluzadd  9751  uzm1  9753  uzin  9755  uzind4  9783  elfz5  10213  elfzel1  10220  eluzfz1  10227  fzsplit2  10246  fzopth  10257  fzpred  10266  fzpreddisj  10267  fzdifsuc  10277  uzsplit  10288  uzdisj  10289  elfzp12  10295  fzm1  10296  uznfz  10299  nn0disj  10334  fzolb  10350  fzoss2  10370  fzouzdisj  10378  fzoun  10379  ige2m2fzo  10404  elfzonelfzo  10436  frec2uzrand  10627  frecfzen2  10649  seq3p1  10687  seqp1cd  10692  seq3clss  10693  seq3feq2  10698  seqfveqg  10700  seq3fveq  10701  seq3shft2  10703  seqshft2g  10704  ser3mono  10709  seq3split  10710  seqsplitg  10711  seq3caopr3  10713  seqcaopr3g  10714  seq3caopr2  10715  seq3f1olemp  10737  seq3f1oleml  10738  seq3f1o  10739  seqf1oglem2a  10740  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  seqf1og  10743  seq3id3  10746  seq3id  10747  seq3homo  10749  seq3z  10750  seqhomog  10752  seqfeq4g  10753  seq3distr  10754  ser3ge0  10758  ser3le  10759  leexp2a  10814  hashfz  11043  hashfzo  11044  hashfzp1  11046  seq3coll  11064  rexanuz2  11502  cau4  11627  clim2ser  11848  clim2ser2  11849  climserle  11856  fsum3cvg  11889  fsum3cvg2  11905  fsumsersdc  11906  fsum3ser  11908  fsumm1  11927  fsum1p  11929  telfsumo  11977  fsumparts  11981  cvgcmpub  11987  isumsplit  12002  cvgratnnlemmn  12036  clim2prod  12050  clim2divap  12051  prodfrecap  12057  prodfdivap  12058  ntrivcvgap  12059  fproddccvg  12083  fprodm1  12109  fprodabs  12127  fprodeq0  12128  uzwodc  12558  pcaddlem  12862  fngsum  13421  igsumvalx  13422  gsumfzval  13424  gsumval2  13430  gsumfzz  13528  gsumfzconst  13878  gsumfzfsumlemm  14551  inffz  16440