Theorem eluzel2 9935

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9933	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5538	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5541	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2331	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   -->wf 5373   ` cfv 5377   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  eluz2  9936  uztrn  9948  uzneg  9950  uzss  9952  uz11  9954  eluzadd  9960  uzm1  9962  uzin  9964  uzind4  9997  elfz5  10430  elfzel1  10437  eluzfz1  10445  fzsplit2  10465  fzopth  10477  fzpred  10487  fzpreddisj  10488  fzdifsuc  10498  uzsplit  10509  uzdisj  10510  elfzp12  10516  fzm1  10517  uznfz  10520  nn0disj  10555  fzolb  10571  fzoss2  10591  fzouzdisj  10599  fzoun  10600  ige2m2fzo  10626  elfzonelfzo  10658  frec2uzrand  10855  frecfzen2  10877  seq3p1  10915  seqp1cd  10920  seq3clss  10921  seq3feq2  10926  seqfveqg  10928  seq3fveq  10929  seq3shft2  10931  seqshft2g  10932  ser3mono  10937  seq3split  10938  seqsplitg  10939  seq3caopr3  10941  seqcaopr3g  10942  seq3caopr2  10943  seq3f1olemp  10965  seq3f1oleml  10966  seq3f1o  10967  seqf1oglem2a  10968  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  seqf1og  10971  seq3id3  10974  seq3id  10975  seq3homo  10977  seq3z  10978  seqhomog  10980  seqfeq4g  10981  seq3distr  10982  ser3ge0  10986  ser3le  10987  leexp2a  11042  hashfz  11276  hashfzo  11277  hashfzp1  11279  seq3coll  11308  rexanuz2  11771  cau4  11897  clim2ser  12119  clim2ser2  12120  climserle  12127  fsum3cvg  12161  fsum3cvg2  12177  fsumsersdc  12178  fsum3ser  12180  fsumm1  12199  fsum1p  12201  telfsumo  12249  fsumparts  12253  cvgcmpub  12259  isumsplit  12274  cvgratnnlemmn  12308  clim2prod  12322  clim2divap  12323  prodfrecap  12329  prodfdivap  12330  ntrivcvgap  12331  fproddccvg  12355  fprodm1  12381  fprodabs  12399  fprodeq0  12400  uzwodc  12830  pcaddlem  13138  prmlem0  13240  fngzsum  13757  gzsumvalx  13758  gzsumfzval  13760  gzsumval2  13763  gzsumconst  14192  gzsumshift  14198  logfac  16048  ppidif  16175  bcmono  16202  inffz  17220