Theorem eluzel2 9941

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9939	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5541	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5730	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5544	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2331	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   -->wf 5376   ` cfv 5380   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  eluz2  9942  uztrn  9954  uzneg  9956  uzss  9958  uz11  9960  eluzadd  9966  uzm1  9968  uzin  9970  uzind4  10003  elfz5  10436  elfzel1  10443  eluzfz1  10451  fzsplit2  10471  fzopth  10483  fzpred  10493  fzpreddisj  10494  fzdifsuc  10504  uzsplit  10515  uzdisj  10516  elfzp12  10522  fzm1  10523  uznfz  10526  nn0disj  10561  fzolb  10577  fzoss2  10597  fzouzdisj  10605  fzoun  10606  ige2m2fzo  10632  elfzonelfzo  10664  frec2uzrand  10862  frecfzen2  10884  seq3p1  10922  seqp1cd  10927  seq3clss  10928  seq3feq2  10933  seqfveqg  10935  seq3fveq  10936  seq3shft2  10938  seqshft2g  10939  ser3mono  10944  seq3split  10945  seqsplitg  10946  seq3caopr3  10948  seqcaopr3g  10949  seq3caopr2  10950  seq3f1olemp  10972  seq3f1oleml  10973  seq3f1o  10974  seqf1oglem2a  10975  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  seqf1og  10978  seq3id3  10981  seq3id  10982  seq3homo  10984  seq3z  10985  seqhomog  10987  seqfeq4g  10988  seq3distr  10989  ser3ge0  10993  ser3le  10994  leexp2a  11049  hashfz  11283  hashfzo  11284  hashfzp1  11286  seq3coll  11315  rexanuz2  11778  cau4  11904  clim2ser  12127  clim2ser2  12128  climserle  12135  fsum3cvg  12169  fsum3cvg2  12185  fsumsersdc  12186  fsum3ser  12188  fsumm1  12207  fsum1p  12209  telfsumo  12257  fsumparts  12261  cvgcmpub  12267  isumsplit  12282  cvgratnnlemmn  12316  clim2prod  12330  clim2divap  12331  prodfrecap  12337  prodfdivap  12338  ntrivcvgap  12339  fproddccvg  12363  fprodm1  12389  fprodabs  12407  fprodeq0  12408  uzwodc  12838  pcaddlem  13146  prmlem0  13248  fngzsum  13766  gzsumvalx  13767  gzsumfzval  13769  gzsumval2  13772  gzsumconst  14232  gzsumshift  14238  logfac  16143  chtdif  16281  ppidif  16286  bcmono  16321  inffz  17346