Theorem eluzel2 9936

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9934	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5538	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5541	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2331	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   -->wf 5373   ` cfv 5377   ZZcz 9649   ZZ>=cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  eluz2  9937  uztrn  9949  uzneg  9951  uzss  9953  uz11  9955  eluzadd  9961  uzm1  9963  uzin  9965  uzind4  9998  elfz5  10431  elfzel1  10438  eluzfz1  10446  fzsplit2  10466  fzopth  10478  fzpred  10488  fzpreddisj  10489  fzdifsuc  10499  uzsplit  10510  uzdisj  10511  elfzp12  10517  fzm1  10518  uznfz  10521  nn0disj  10556  fzolb  10572  fzoss2  10592  fzouzdisj  10600  fzoun  10601  ige2m2fzo  10627  elfzonelfzo  10659  frec2uzrand  10857  frecfzen2  10879  seq3p1  10917  seqp1cd  10922  seq3clss  10923  seq3feq2  10928  seqfveqg  10930  seq3fveq  10931  seq3shft2  10933  seqshft2g  10934  ser3mono  10939  seq3split  10940  seqsplitg  10941  seq3caopr3  10943  seqcaopr3g  10944  seq3caopr2  10945  seq3f1olemp  10967  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  seqf1oglem2a  10970  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  seqf1og  10973  seq3id3  10976  seq3id  10977  seq3homo  10979  seq3z  10980  seqhomog  10982  seqfeq4g  10983  seq3distr  10984  ser3ge0  10988  ser3le  10989  leexp2a  11044  hashfz  11278  hashfzo  11279  hashfzp1  11281  seq3coll  11310  rexanuz2  11773  cau4  11899  clim2ser  12122  clim2ser2  12123  climserle  12130  fsum3cvg  12164  fsum3cvg2  12180  fsumsersdc  12181  fsum3ser  12183  fsumm1  12202  fsum1p  12204  telfsumo  12252  fsumparts  12256  cvgcmpub  12262  isumsplit  12277  cvgratnnlemmn  12311  clim2prod  12325  clim2divap  12326  prodfrecap  12332  prodfdivap  12333  ntrivcvgap  12334  fproddccvg  12358  fprodm1  12384  fprodabs  12402  fprodeq0  12403  uzwodc  12833  pcaddlem  13141  prmlem0  13243  fngzsum  13761  gzsumvalx  13762  gzsumfzval  13764  gzsumval2  13767  gzsumconst  14227  gzsumshift  14233  logfac  16090  chtdif  16225  ppidif  16230  bcmono  16265  inffz  17289