Theorem eluzel2 9606

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9604	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5412	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5590	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5415	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2289	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ~Pcpw 3605   dom cdm 4663   Rel wrel 4668   -->wf 5254   ` cfv 5258   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  eluz2  9607  uztrn  9618  uzneg  9620  uzss  9622  uz11  9624  eluzadd  9630  uzm1  9632  uzin  9634  uzind4  9662  elfz5  10092  elfzel1  10099  eluzfz1  10106  fzsplit2  10125  fzopth  10136  fzpred  10145  fzpreddisj  10146  fzdifsuc  10156  uzsplit  10167  uzdisj  10168  elfzp12  10174  fzm1  10175  uznfz  10178  nn0disj  10213  fzolb  10229  fzoss2  10248  fzouzdisj  10256  ige2m2fzo  10274  elfzonelfzo  10306  frec2uzrand  10497  frecfzen2  10519  seq3p1  10557  seqp1cd  10562  seq3clss  10563  seq3feq2  10568  seqfveqg  10570  seq3fveq  10571  seq3shft2  10573  seqshft2g  10574  ser3mono  10579  seq3split  10580  seqsplitg  10581  seq3caopr3  10583  seqcaopr3g  10584  seq3caopr2  10585  seq3f1olemp  10607  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  seqf1oglem2a  10610  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  seq3id3  10616  seq3id  10617  seq3homo  10619  seq3z  10620  seqhomog  10622  seqfeq4g  10623  seq3distr  10624  ser3ge0  10628  ser3le  10629  leexp2a  10684  hashfz  10913  hashfzo  10914  hashfzp1  10916  seq3coll  10934  rexanuz2  11156  cau4  11281  clim2ser  11502  clim2ser2  11503  climserle  11510  fsum3cvg  11543  fsum3cvg2  11559  fsumsersdc  11560  fsum3ser  11562  fsumm1  11581  fsum1p  11583  telfsumo  11631  fsumparts  11635  cvgcmpub  11641  isumsplit  11656  cvgratnnlemmn  11690  clim2prod  11704  clim2divap  11705  prodfrecap  11711  prodfdivap  11712  ntrivcvgap  11713  fproddccvg  11737  fprodm1  11763  fprodabs  11781  fprodeq0  11782  uzwodc  12204  pcaddlem  12508  fngsum  13031  igsumvalx  13032  gsumfzval  13034  gsumval2  13040  gsumfzz  13127  gsumfzconst  13471  gsumfzfsumlemm  14143  inffz  15716