Theorem eluzel2 9331

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9329	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5277	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5453	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 420	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5280	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2232	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   ~Pcpw 3510   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  eluz2  9332  uztrn  9342  uzneg  9344  uzss  9346  uz11  9348  eluzadd  9354  uzm1  9356  uzin  9358  uzind4  9383  elfz5  9798  elfzel1  9805  eluzfz1  9811  fzsplit2  9830  fzopth  9841  fzpred  9850  fzpreddisj  9851  fzdifsuc  9861  uzsplit  9872  uzdisj  9873  elfzp12  9879  fzm1  9880  uznfz  9883  nn0disj  9915  fzolb  9930  fzoss2  9949  fzouzdisj  9957  ige2m2fzo  9975  elfzonelfzo  10007  frec2uzrand  10178  frecfzen2  10200  seq3p1  10235  seqp1cd  10239  seq3clss  10240  seq3feq2  10243  seq3fveq  10244  seq3shft2  10246  ser3mono  10251  seq3split  10252  seq3caopr3  10254  seq3caopr2  10255  seq3f1olemp  10275  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3id3  10280  seq3id  10281  seq3homo  10283  seq3z  10284  seq3distr  10286  ser3ge0  10290  ser3le  10291  leexp2a  10346  hashfz  10567  hashfzo  10568  hashfzp1  10570  seq3coll  10585  rexanuz2  10763  cau4  10888  clim2ser  11106  clim2ser2  11107  climserle  11114  fsum3cvg  11147  fsum3cvg2  11163  fsumsersdc  11164  fsum3ser  11166  fsumm1  11185  fsum1p  11187  telfsumo  11235  fsumparts  11239  cvgcmpub  11245  isumsplit  11260  cvgratnnlemmn  11294  clim2prod  11308  clim2divap  11309  prodfrecap  11315  prodfdivap  11316  ntrivcvgap  11317  fproddccvg  11341  inffz  13238