Theorem eluzel2 9533

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9531	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5371	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5548	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5374	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2270	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ~Pcpw 3576   dom cdm 4627   Rel wrel 4632   -->wf 5213   ` cfv 5217   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  eluz2  9534  uztrn  9544  uzneg  9546  uzss  9548  uz11  9550  eluzadd  9556  uzm1  9558  uzin  9560  uzind4  9588  elfz5  10017  elfzel1  10024  eluzfz1  10031  fzsplit2  10050  fzopth  10061  fzpred  10070  fzpreddisj  10071  fzdifsuc  10081  uzsplit  10092  uzdisj  10093  elfzp12  10099  fzm1  10100  uznfz  10103  nn0disj  10138  fzolb  10153  fzoss2  10172  fzouzdisj  10180  ige2m2fzo  10198  elfzonelfzo  10230  frec2uzrand  10405  frecfzen2  10427  seq3p1  10462  seqp1cd  10466  seq3clss  10467  seq3feq2  10470  seq3fveq  10471  seq3shft2  10473  ser3mono  10478  seq3split  10479  seq3caopr3  10481  seq3caopr2  10482  seq3f1olemp  10502  seq3f1oleml  10503  seq3f1o  10504  seq3id3  10507  seq3id  10508  seq3homo  10510  seq3z  10511  seq3distr  10513  ser3ge0  10517  ser3le  10518  leexp2a  10573  hashfz  10801  hashfzo  10802  hashfzp1  10804  seq3coll  10822  rexanuz2  11000  cau4  11125  clim2ser  11345  clim2ser2  11346  climserle  11353  fsum3cvg  11386  fsum3cvg2  11402  fsumsersdc  11403  fsum3ser  11405  fsumm1  11424  fsum1p  11426  telfsumo  11474  fsumparts  11478  cvgcmpub  11484  isumsplit  11499  cvgratnnlemmn  11533  clim2prod  11547  clim2divap  11548  prodfrecap  11554  prodfdivap  11555  ntrivcvgap  11556  fproddccvg  11580  fprodm1  11606  fprodabs  11624  fprodeq0  11625  uzwodc  12038  pcaddlem  12338  inffz  14822