ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Unicode version

Theorem eluzel2 9280
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 uzf 9278 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2 frel 5245 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  Rel  ZZ>= )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  ZZ>=
4 relelfvdm 5419 . . 3  |-  ( ( Rel  ZZ>=  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
53, 4mpan 418 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
61fdmi 5248 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
75, 6syl6eleq 2208 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   ~Pcpw 3478   dom cdm 4507   Rel wrel 4512   -->wf 5087   ` cfv 5091   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-neg 7900  df-z 9006  df-uz 9276
This theorem is referenced by:  eluz2  9281  uztrn  9291  uzneg  9293  uzss  9295  uz11  9297  eluzadd  9303  uzm1  9305  uzin  9307  uzind4  9332  elfz5  9738  elfzel1  9745  eluzfz1  9751  fzsplit2  9770  fzopth  9781  fzpred  9790  fzpreddisj  9791  fzdifsuc  9801  uzsplit  9812  uzdisj  9813  elfzp12  9819  fzm1  9820  uznfz  9823  nn0disj  9855  fzolb  9870  fzoss2  9889  fzouzdisj  9897  ige2m2fzo  9915  elfzonelfzo  9947  frec2uzrand  10118  frecfzen2  10140  seq3p1  10175  seqp1cd  10179  seq3clss  10180  seq3feq2  10183  seq3fveq  10184  seq3shft2  10186  ser3mono  10191  seq3split  10192  seq3caopr3  10194  seq3caopr2  10195  seq3f1olemp  10215  seq3f1oleml  10216  seq3f1o  10217  seq3id3  10220  seq3id  10221  seq3homo  10223  seq3z  10224  seq3distr  10226  ser3ge0  10230  ser3le  10231  leexp2a  10286  hashfz  10507  hashfzo  10508  hashfzp1  10510  seq3coll  10525  rexanuz2  10703  cau4  10828  clim2ser  11046  clim2ser2  11047  climserle  11054  fsum3cvg  11086  fsum3cvg2  11103  fsumsersdc  11104  fsum3ser  11106  fsumm1  11125  fsum1p  11127  telfsumo  11175  fsumparts  11179  cvgcmpub  11185  isumsplit  11200  cvgratnnlemmn  11234  inffz  13061
  Copyright terms: Public domain W3C validator