Theorem eluzel2 9355

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9353	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		frel 5285	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> Rel ZZ>= )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ZZ>=
4		relelfvdm 5461	. . 3 |- ( ( Rel ZZ>= /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. dom ZZ>= )
5	3, 4	mpan 421	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. dom ZZ>= )
6	1	fdmi 5288	. 2 |- dom ZZ>= = ZZ
7	5, 6	eleqtrdi 2233	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   ~Pcpw 3515   dom cdm 4547   Rel wrel 4552   -->wf 5127   ` cfv 5131   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  eluz2  9356  uztrn  9366  uzneg  9368  uzss  9370  uz11  9372  eluzadd  9378  uzm1  9380  uzin  9382  uzind4  9410  elfz5  9829  elfzel1  9836  eluzfz1  9842  fzsplit2  9861  fzopth  9872  fzpred  9881  fzpreddisj  9882  fzdifsuc  9892  uzsplit  9903  uzdisj  9904  elfzp12  9910  fzm1  9911  uznfz  9914  nn0disj  9946  fzolb  9961  fzoss2  9980  fzouzdisj  9988  ige2m2fzo  10006  elfzonelfzo  10038  frec2uzrand  10209  frecfzen2  10231  seq3p1  10266  seqp1cd  10270  seq3clss  10271  seq3feq2  10274  seq3fveq  10275  seq3shft2  10277  ser3mono  10282  seq3split  10283  seq3caopr3  10285  seq3caopr2  10286  seq3f1olemp  10306  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3id3  10311  seq3id  10312  seq3homo  10314  seq3z  10315  seq3distr  10317  ser3ge0  10321  ser3le  10322  leexp2a  10377  hashfz  10599  hashfzo  10600  hashfzp1  10602  seq3coll  10617  rexanuz2  10795  cau4  10920  clim2ser  11138  clim2ser2  11139  climserle  11146  fsum3cvg  11179  fsum3cvg2  11195  fsumsersdc  11196  fsum3ser  11198  fsumm1  11217  fsum1p  11219  telfsumo  11267  fsumparts  11271  cvgcmpub  11277  isumsplit  11292  cvgratnnlemmn  11326  clim2prod  11340  clim2divap  11341  prodfrecap  11347  prodfdivap  11348  ntrivcvgap  11349  fproddccvg  11373  inffz  13429