ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Unicode version

Theorem eluzel2 8993
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 uzf 8991 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2 frel 5151 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  Rel  ZZ>= )
31, 2ax-mp 7 . . 3  |-  Rel  ZZ>=
4 relelfvdm 5320 . . 3  |-  ( ( Rel  ZZ>=  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
53, 4mpan 415 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
61fdmi 5154 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
75, 6syl6eleq 2180 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1438   ~Pcpw 3425   dom cdm 4428   Rel wrel 4433   -->wf 4998   ` cfv 5002   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-neg 7635  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  eluz2  8994  uztrn  9004  uzneg  9006  uzss  9008  uz11  9010  eluzadd  9016  uzm1  9018  uzin  9020  uzind4  9045  elfz5  9401  elfzel1  9408  eluzfz1  9414  fzsplit2  9433  fzopth  9443  fzpred  9451  fzpreddisj  9452  fzdifsuc  9462  uzsplit  9473  uzdisj  9474  elfzp12  9480  fzm1  9481  uznfz  9484  nn0disj  9514  fzolb  9529  fzoss2  9548  fzouzdisj  9556  ige2m2fzo  9574  elfzonelfzo  9606  frec2uzrand  9777  frecfzen2  9799  iseqcl  9846  iseqp1  9847  iseqp1t  9848  seq3p1  9849  seq3clss  9852  iseqfeq2  9856  seq3feq2  9858  iseqfveq  9859  seq3fveq  9860  iseqshft2  9863  seq3shft2  9864  seq3split  9872  iseqsplit  9873  iseqcaopr3  9875  seq3f1olemp  9896  seq3f1oleml  9897  seq3f1o  9898  ser3add  9900  iseqid3s  9903  iseqid  9904  iseqhomo  9907  iseqz  9908  seq3homo  9909  seq3distr  9911  ser0  9914  ser3ge0  9917  ser3le  9918  leexp2a  9973  hashfz  10194  hashfzo  10195  hashfzp1  10197  iseqcoll  10212  rexanuz2  10389  cau4  10514  clim2ser  10689  clim2ser2  10690  climserle  10698  fisumcvg  10730  fsum3cvg  10731  fisumcvg2  10750  fisumsers  10751  fisumser  10753  fsum3ser  10754  fsumm1  10773  fsum1p  10775  telfsumo  10823  fsumparts  10827  cvgcmpub  10832  isumsplit  10847  cvgratnnlemmn  10880  inffz  11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator