ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climmpt Unicode version

Theorem climmpt 11279
Description: Exhibit a function  G with the same convergence properties as the not-quite-function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt.2  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climmpt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, Z
Allowed substitution hints:    G( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 simpr 110 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
3 climmpt.2 . . . 4  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
4 uzf 9507 . . . . . . . 8  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
54ffvelcdmi 5645 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
~P ZZ )
6 elex 2748 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  M )  e. 
~P ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
_V )
81, 7eqeltrid 2264 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  e.  _V )
9 mptexg 5736 . . . . 5  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  e.  _V )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  e.  _V )
113, 10eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  G  e.  _V )
1211adantr 276 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  G  e.  _V )
13 simpl 109 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  M  e.  ZZ )
14 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  m  e.  Z )
15 fvexg 5529 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  _V )
1615adantll 476 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  e.  _V )
17 fveq2 5510 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1817, 3fvmptg 5587 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Z  /\  ( F `  m )  e.  _V )  -> 
( G `  m
)  =  ( F `
 m ) )
1914, 16, 18syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
2019eqcomd 2183 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
211, 2, 12, 13, 20climeq 11278 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   ~Pcpw 3574   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ` cfv 5211   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504    ~~> cli 11257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-clim 11258
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator