Theorem climmpt 11806

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 110	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		uzf 9721	. . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
5	4	ffvelcdmi 5768	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ )
6		elex 2811	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrid 2316	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> Z e. _V )
9		mptexg 5863	. . . . 5 |- ( Z e. _V -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( M e. ZZ -> G e. _V )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
13		simpl 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> m e. Z )
15		fvexg 5645	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
16	15	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
17		fveq2 5626	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
18	17, 3	fvmptg 5709	. . . 4 |- ( ( m e. Z /\ ( F ` m ) e. _V ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
19	14, 16, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
20	19	eqcomd 2235	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 11805	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ~~> cli 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-clim 11785

This theorem is referenced by: (None)