Theorem climmpt 11726

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 110	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		uzf 9686	. . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
5	4	ffvelcdmi 5737	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ )
6		elex 2788	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrid 2294	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> Z e. _V )
9		mptexg 5832	. . . . 5 |- ( Z e. _V -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrid 2294	. . 3 |- ( M e. ZZ -> G e. _V )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
13		simpl 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> m e. Z )
15		fvexg 5618	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
16	15	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
17		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
18	17, 3	fvmptg 5678	. . . 4 |- ( ( m e. Z /\ ( F ` m ) e. _V ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
19	14, 16, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
20	19	eqcomd 2213	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 11725	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   ~Pcpw 3626   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   ` cfv 5290   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ~~> cli 11704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-clim 11705

This theorem is referenced by: (None)