Theorem climmpt 10955

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		uzf 9225	. . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
5	4	ffvelrni 5506	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ )
6		elex 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
8	1, 7	syl5eqel 2199	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> Z e. _V )
9		mptexg 5597	. . . . 5 |- ( Z e. _V -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
11	3, 10	syl5eqel 2199	. . 3 |- ( M e. ZZ -> G e. _V )
12	11	adantr 272	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
13		simpl 108	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
14		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> m e. Z )
15		fvexg 5392	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
16	15	adantll 465	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
17		fveq2 5373	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
18	17, 3	fvmptg 5449	. . . 4 |- ( ( m e. Z /\ ( F ` m ) e. _V ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
19	14, 16, 18	syl2anc 406	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
20	19	eqcomd 2118	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 10954	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   ~Pcpw 3474   class class class wbr 3893   |-> cmpt 3947   ` cfv 5079   ZZcz 8952   ZZ>=cuz 9222   ~~> cli 10933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-clim 10934

This theorem is referenced by: (None)