Theorem climmpt 11263

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		uzf 9490	. . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
5	4	ffvelrni 5630	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ )
6		elex 2741	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` M ) e. ~P ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrid 2257	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> Z e. _V )
9		mptexg 5721	. . . . 5 |- ( Z e. _V -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrid 2257	. . 3 |- ( M e. ZZ -> G e. _V )
12	11	adantr 274	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
13		simpl 108	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
14		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> m e. Z )
15		fvexg 5515	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
16	15	adantll 473	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. _V )
17		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
18	17, 3	fvmptg 5572	. . . 4 |- ( ( m e. Z /\ ( F ` m ) e. _V ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
19	14, 16, 18	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
20	19	eqcomd 2176	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 11262	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   ~Pcpw 3566   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   ` cfv 5198   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ~~> cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-clim 11242

This theorem is referenced by: (None)