Theorem vtxval0 16277

Description: Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vtxval0	|- (Vtx ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem vtxval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4800	. . 3 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2	1	iffalsei 3649	. 2 |- if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` (/) ) , ( Base ` (/) ) ) = ( Base ` (/) )
3		0ex 4258	. . 3 |- (/) e. _V
4		vtxvalg 16240	. . 3 |- ( (/) e. _V -> (Vtx ` (/) ) = if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` (/) ) , ( Base ` (/) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (Vtx ` (/) ) = if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` (/) ) , ( Base ` (/) ) )
6		base0 13385	. 2 |- (/) = ( Base ` (/) )
7	2, 5, 6	3eqtr4i 2269	1 |- (Vtx ` (/) ) = (/)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3638   X. cxp 4770   ` cfv 5375   1stc1st 6366   Basecbs 13335  Vtxcvtx 16236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fo 5381  df-fv 5383  df-1st 6368  df-inn 9288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-vtx 16238

This theorem is used by:  uhgr0  16309  usgr0  16463  0grsubgr  16488  vtxdg0v  16518  0wlk0  16595