Theorem setsiedg 15874

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	|- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13065	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		edgfndxnn 15830	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (.ef ` ndx ) e. NN )
6		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
7		setsex 13085	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
9	1, 5, 6	setsn0fun 13090	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) )
10		setsvtx.b	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
11	1, 5, 6, 10	bassetsnn 13110	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
12		funiedgvalg 15859	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
14		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
15	14	opeq1i 3860	. . . . 5 |- <. I , E >. = <. (.ef ` ndx ) , E >.
16	15	oveq2i 6021	. . . 4 |- ( G sSet <. I , E >. ) = ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. )
17	16	fveq2i 5635	. . 3 |- (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
19		edgfid 15828	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
20	19, 4	ndxslid 13078	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
21	20	setsslid 13104	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
22	3, 6, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
23	13, 18, 22	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4720   Fun wfun 5315   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   NNcn 9126   Struct cstr 13049   ndxcnx 13050   sSet csts 13051   Basecbs 13053  .efcedgf 15826  iEdgciedg 15835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-en 6901  df-dom 6902  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-edgf 15827  df-iedg 15837

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16050