Theorem setsiedg 15896

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	|- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13087	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		edgfndxnn 15852	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (.ef ` ndx ) e. NN )
6		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
7		setsex 13107	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
9	1, 5, 6	setsn0fun 13112	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) )
10		setsvtx.b	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
11	1, 5, 6, 10	bassetsnn 13132	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
12		funiedgvalg 15881	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
14		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
15	14	opeq1i 3863	. . . . 5 |- <. I , E >. = <. (.ef ` ndx ) , E >.
16	15	oveq2i 6024	. . . 4 |- ( G sSet <. I , E >. ) = ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. )
17	16	fveq2i 5638	. . 3 |- (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
19		edgfid 15850	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
20	19, 4	ndxslid 13100	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
21	20	setsslid 13126	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
22	3, 6, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
23	13, 18, 22	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   {cpr 3668   <.cop 3670   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   Fun wfun 5318   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   NNcn 9136   Struct cstr 13071   ndxcnx 13072   sSet csts 13073   Basecbs 13075  .efcedgf 15848  iEdgciedg 15857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-en 6905  df-dom 6906  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-edgf 15849  df-iedg 15859

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16075