Theorem setsiedg 16173

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	|- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13308	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		edgfndxnn 16129	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) e. NN
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (.ef ` ndx ) e. NN )
6		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
7		setsex 13328	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V )
9	1, 5, 6	setsn0fun 13333	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) )
10		setsvtx.b	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
11	1, 5, 6, 10	bassetsnn 13353	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
12		funiedgvalg 16158	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
14		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
15	14	opeq1i 3891	. . . . 5 |- <. I , E >. = <. (.ef ` ndx ) , E >.
16	15	oveq2i 6069	. . . 4 |- ( G sSet <. I , E >. ) = ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. )
17	16	fveq2i 5678	. . 3 |- (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = (iEdg ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
19		edgfid 16127	. . . . 5 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
20	19, 4	ndxslid 13321	. . . 4 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
21	20	setsslid 13347	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
22	3, 6, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E = (.ef ` ( G sSet <. (.ef ` ndx ) , E >. ) ) )
23	13, 18, 22	3eqtr4d 2277	1 |- ( ph -> (iEdg ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   Fun wfun 5351   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   NNcn 9254   Struct cstr 13292   ndxcnx 13293   sSet csts 13294   Basecbs 13296  .efcedgf 16125  iEdgciedg 16134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-dom 6990  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-edgf 16126  df-iedg 16136

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16352