Theorem 0grsubgr 16505

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	|- ( G e. W -> (/) SubGraph G )

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ (Vtx ` G )
2		dm0 4995	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
3	2	reseq2i 5060	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) |` dom (/) ) = ( (iEdg ` G ) |` (/) )
4		res0 5067	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) |` (/) ) = (/)
5	3, 4	eqtr2i 2260	. . 3 |- (/) = ( (iEdg ` G ) |` dom (/) )
6		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ ~P (/)
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1206	. 2 |- ( (/) C_ (Vtx ` G ) /\ (/) = ( (iEdg ` G ) |` dom (/) ) /\ (/) C_ ~P (/) )
8		0ex 4260	. . 3 |- (/) e. _V
9		vtxval0 16294	. . . . 5 |- (Vtx ` (/) ) = (/)
10	9	eqcomi 2242	. . . 4 |- (/) = (Vtx ` (/) )
11		eqid 2238	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
12		iedgval0 16295	. . . . 5 |- (iEdg ` (/) ) = (/)
13	12	eqcomi 2242	. . . 4 |- (/) = (iEdg ` (/) )
14		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
15		edgval 16301	. . . . 5 |- (Edg ` (/) ) = ran (iEdg ` (/) )
16	12	rneqi 5010	. . . . 5 |- ran (iEdg ` (/) ) = ran (/)
17		rn0 5038	. . . . 5 |- ran (/) = (/)
18	15, 16, 17	3eqtrri 2264	. . . 4 |- (/) = (Edg ` (/) )
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 16498	. . 3 |- ( ( G e. W /\ (/) e. _V ) -> ( (/) SubGraph G <-> ( (/) C_ (Vtx ` G ) /\ (/) = ( (iEdg ` G ) |` dom (/) ) /\ (/) C_ ~P (/) ) ) )
20	8, 19	mpan2 429	. 2 |- ( G e. W -> ( (/) SubGraph G <-> ( (/) C_ (Vtx ` G ) /\ (/) = ( (iEdg ` G ) |` dom (/) ) /\ (/) C_ ~P (/) ) ) )
21	7, 20	mpbiri 168	1 |- ( G e. W -> (/) SubGraph G )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ran crn 4775   |` cres 4776   ` cfv 5377  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  Edgcedg 16298   SubGraph csubgr 16494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-edg 16299  df-subgr 16495

This theorem is used by: (None)