Theorem vtxval0 15735

Description: Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vtxval0	⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Proof of Theorem vtxval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4716	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2	1	iffalsei 3584	. 2 ⊢ if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)) = (Base‘∅)
3		0ex 4182	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		vtxvalg 15700	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅))
6		base0 12967	. 2 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	2, 5, 6	3eqtr4i 2237	1 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ∅c0 3464  ifcif 3575   × cxp 4686  ‘cfv 5285  1^st c1st 6242  Basecbs 12917  Vtxcvtx 15696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fo 5291  df-fv 5293  df-1st 6244  df-inn 9067  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-vtx 15698

This theorem is referenced by:  uhgr0  15766