Theorem vtxval0 15869

Description: Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vtxval0	⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Proof of Theorem vtxval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4747	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2	1	iffalsei 3611	. 2 ⊢ if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)) = (Base‘∅)
3		0ex 4211	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		vtxvalg 15832	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅))
6		base0 13097	. 2 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	2, 5, 6	3eqtr4i 2260	1 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491  ifcif 3602   × cxp 4717  ‘cfv 5318  1^st c1st 6290  Basecbs 13047  Vtxcvtx 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-1st 6292  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-vtx 15830

This theorem is referenced by:  uhgr0  15900  vtxdg0v  16053  0wlk0  16112