Theorem vtxval0 15648

Description: Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vtxval0	⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Proof of Theorem vtxval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4703	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2	1	iffalsei 3580	. 2 ⊢ if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)) = (Base‘∅)
3		0ex 4171	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		vtxvalg 15615	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅))
6		base0 12882	. 2 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	2, 5, 6	3eqtr4i 2236	1 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  ∅c0 3460  ifcif 3571   × cxp 4673  ‘cfv 5271  1^st c1st 6224  Basecbs 12832  Vtxcvtx 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-1st 6226  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-vtx 15613

This theorem is referenced by: (None)