Theorem iedgval0 15649

Description: Degenerated case 1 for edges: The set of indexed edges of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgval0	|- (iEdg ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem iedgval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4703	. . 3 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2	1	iffalsei 3580	. 2 |- if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` (/) ) , (.ef ` (/) ) ) = (.ef ` (/) )
3		0ex 4171	. . 3 |- (/) e. _V
4		iedgvalg 15616	. . 3 |- ( (/) e. _V -> (iEdg ` (/) ) = if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` (/) ) , (.ef ` (/) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (iEdg ` (/) ) = if ( (/) e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` (/) ) , (.ef ` (/) ) )
6		edgfid 15605	. . . 4 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
7		edgfndxnn 15607	. . . 4 |- (.ef ` ndx ) e. NN
8	6, 7	ndxslid 12857	. . 3 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
9	8	strsl0 12881	. 2 |- (/) = (.ef ` (/) )
10	2, 5, 9	3eqtr4i 2236	1 |- (iEdg ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   ifcif 3571   X. cxp 4673   ` cfv 5271   2ndc2nd 6225   ndxcnx 12829  .efcedgf 15603  iEdgciedg 15612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-2nd 6227  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-dec 9505  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-edgf 15604  df-iedg 15614

This theorem is referenced by: (None)