Theorem 0elixp 6707

Description: Membership of the empty set in an infinite Cartesian product. (Contributed by Steve Rodriguez, 29-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0elixp	⊢ ∅ ∈ X𝑥 ∈ ∅ 𝐴

Proof of Theorem 0elixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 3614	. 2 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		ixp0x 6704	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ ∅ 𝐴 = {∅}
4	2, 3	eleqtrri 2246	1 ⊢ ∅ ∈ X𝑥 ∈ ∅ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  {csn 3583  Xcixp 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200  df-fn 5201  df-ixp 6677

This theorem is referenced by: (None)